指数函数的性质及其应用

[答案] 19
第四章 4．2 第2课时
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课堂归纳小结 1．比较两个指数式值的大小的主要方法 (1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数函数 y＝ax 的单调 性． (2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”，若 am<c 且 c<bn，则 am<bn；若 am>c 且 c>bn，则 am>bn.
第四章 4．2 第2课时
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题型三 指数型函数的单调性 【典例 3】 已知函数 f(x)＝13x2－2x. (1)判断函数 f(x)的单调性； (2)求函数 f(x)的值域． [思路导引] 由函数 u＝x2－2x 和函数 y＝13u 的单调性判断．
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题型四 指数函数的实际应用 【典例 4】 某林区 2016 年木材蓄积量为 200 万立方米，由 于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增 长率能达到 5%.若经过 x 年后，该林区的木材蓄积量为 y 万立方 米，求 y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．
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1．指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的函数值随自变量有怎样的 变化规律？
[答案] 当 a>1 时，若 x>0，则 y>1；若 x<0，则 0<y<1. 当 0<a<1 时，若 x>0，则 0<y<1；若 x<0，则 y>1
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[针对训练] 5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长 出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍，若荷叶 20 天可以完全长 满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了 ________天． [解析] 假设第一天荷叶覆盖水面面积为 1，则荷叶覆盖水面 面积 y 与生长时间的函数关系为 y＝2x－1，当 x＝20 时，长满水面， 所以生长 19 天时，荷叶布满水面一半．
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[解] (1)∵2＝12－1， ∴原不等式可以转化为123x－1≤12－1. ∵y＝12x 在 R 上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情况讨论： ①当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在 R 上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得 x<－1 或 x>5；
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3．图象位置关系 底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低．
(1)在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大 图高”．作出直线 x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到 小的排列顺序．
(2)在 y 轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数 的大小关系为 0<d<c<1<b<a.
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第
四
指数函数与对数函数
章
第四章 指数函数与对数函数
4．2
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指数函数
第四章 4．2 第2课时
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第 2 课时
指数函数的性质及其应用
第四章 4．2 第2课时
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课前自主预习
第四章 4．2 第2课时
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3．若 a－5x>ax＋7(a>0 且 a≠1)，求 x 的取值范围． [解] ①当 a>1 时，∵a－5x>ax＋7，且函数 y＝ax 为增函数， ∴－5x>x＋7，解得 x<－76. ②当 0<a<1 时，∵a－5x>ax＋7，且函数 y＝ax 为减函数， ∴－5x<x＋7，解得 x>－76. 综上所述，当 a>1 时，x 的取值范围为－∞，－76. 当 0<a<1 时，x 的取值范围为－76，＋∞.
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2．解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如 ax>ay 的不等式，可借助 y＝ax 的单调性求 解．如果 a 的值不确定，需分 0<a<1 和 a>1 两种情况进行讨 论． (2)形如 ax>b 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的 形式，再借助 y＝ax 的单调性求解． (3)形如 ax>bx 的不等式，可借助图象求解． 3．研究 y＝af(x)型单调区间时，要注意 a>1 还是 0<a<1. 当 a>1 时，y＝af(x)与 f(x)单调性相同． 当 0<a<1 时，y＝af(x)与 f(x)单调性相反.
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[针对训练]
1．已知 a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则 a，b，c 的大小关
系是( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
[解析] ∵函数 y＝0.8x 在 R 上为减函数，
∴0.80.7>0.80.9，即 a>b.
[解] (1)设 u＝|2x－1|，由函数 y＝2u 和 u＝|2x－1|的定义域 为 R，故函数 y＝2|2x－1|的定义域为 R.
∵u＝|2x－1|在－∞，12上单调递减，12，＋∞上单调递增， 而 y＝2u 是增函数， ∴y＝2|2x－1|在－∞，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增． (2)∵u＝|2x－1|≥0，∴2u≥1. ∴原函数的值域为[1，＋∞)．
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2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 0.3a>0.3b，则 a>b.( ) (2)函数 y＝3x2 在[0，＋∞)上为增函数．( )
1
(3)函数 y＝2x 在其定义域上为减函数．( ) (4)若 am>1，则 m>0.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
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②当 a>1 时，函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在 R 上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5. 综上所述，当 0<a<1 时，x<－1 或 x>5； 当 a>1 时，－1<x<5.
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1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求 法及单调性的判断．
2．能借助指数函数图象及单调性比较大小． 3．会解简单的指数方程、不等式． 4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．
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1．指数函数值与 1 的大小关系 (1)a>1 时，当 x>0 时， y>1 ；当 x<0 时， 0<y<1 . (2)0<a<1 时，当 x>0 时， 0<y<1 ；当 x<0 时， y>1 . 2．对称关系 函数 y＝a－x 与 y＝ax 的图象关于 y 轴 对称．
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[解] 现有木材的蓄积量为 200 万立方米，经过 1 年后木材 的蓄积量为 200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过 2 年后木材的蓄积量为 200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5% ＝200×(1＋5%)2 万立方米；
… 经过 x 年后木材的蓄积量为 200×(1＋5%)x 万立方米． 故 y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
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解决指数函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意 中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
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指数不等式的求解策略 (1)形如 ax>ay 的不等式：可借助 y＝ax 的单调性求解．如果 a 的值不确定，需分 0<a<1 和 a>1 两种情况讨论． (2)形如 ax>b 的不等式：注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的 形式，再借助 y＝ax 的单调性求解．
第四章 4．2 第2课时
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指数型函数单调性的解题技巧 (1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决 定，一是底数 a>1 还是 0<a<1；二是 f(x)的单调性．它由两个函 数 y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把 函数分解成 y＝f(u)，u＝φ(x)，通过 f(u)和 φ(x)的单调性，利用“同 增异减”的原则，求出 y＝f[φ(x)]的单调性，即若 y＝f(u)与 u＝φ(x) 的单调性相同(同增或同减)，则 y＝f[φ(x)]为增函数，若 y＝f(u) 与 u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则 y＝f[φ(x)]为减函数．
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比较幂的大小的 3 种类型及方法 (1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利 用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指 数函数的图象的变化规律来判断． (3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中 间值(如 0 或 1)来比较．
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课堂互动探究
第四章 4．2 第2课时
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题型一 利用指数函数的单调性比较大小 【典例 1】 比较下列各组数的大小： (1)0.7－0.3 与 0.7－0.4； (2)2.51.4 与 1.21.4； (3)1.90.4 与 0.92.4. [思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函 数的图象比较；(3)借助中间量 1 进行比较．
又 0.80.7<1,1.20.8>1，
∴0.80.7<1.20.8，即 a<c.∴c>a>b.选 D.
[答案] D
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题型二 解简单的指数不等式 【典例 2】 (1)解不等Baidu Nhomakorabea：123x－1≤2； (2)已知 ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且 a≠1)，求 x 的取值范围． [思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解； (2)分 a>1 与 0<a<1 两种情况解不等式．
[解] (1)令 u＝x2－2x，则原函数变为 y＝13u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋ ∞)上单调递增，又∵y＝13u 在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝13x2－2x 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递 减．
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(2)∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)， ∴0<13u≤13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．
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[变式] 若本例“f(x)＝13x2－2x”改为“f(x)＝2|2x －1|”，其他 条件不变，如何求解？
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[针对训练] 2．已知 32x－1≥13－0.5，求实数 x 的取值范围． [解] 由 32x－1≥13－0.5，得 32x－1≥30.5. ∵函数 y＝3x 在 R 上为增函数， ∴2x－1≥0.5，得 x≥34. 故 x 的取值范围是34，＋∞.
第四章 4．2 第2课时
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[针对训练] 4．求函数 f(x)＝3－x2＋2x＋3 的单调区间． [解] 由题意可知，函数 y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3 的定义域为实数集 R.设 u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则 y＝3u，故原函数是由 u＝－x2＋ 2x＋3 与 y＝3u 复合而成．∵y＝3u 是增函数，而 u＝－x2＋2x＋3 ＝－(x－1)2＋4 在 x∈(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减 函数．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋ ∞).
第四章 4．2 第2课时
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[解] (1)∵y＝0.7x 在 R 上为减函数， 又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4. (2)在同一坐标系中作出函数 y＝2.5x 与 y＝1.2x 的图象，如图 所示．由图象可知 2.51.4>1.21.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1， 0．92.4<0.90＝1， ∴1.90.4>0.92.4.