复数代数形式的加减运算及其几何意义教案

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学目标

重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义.

知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则;

2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．

教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想.

在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.

自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.

考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合.

一、 引入新课

复习引入

1.虚数单位i ：它的平方等于1-,即2i 1=-;

2.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ： 当且仅当0b =时,z 是实数a ; 当0b ≠时,z 为虚数;

当0a =且0b ≠时,z 为纯虚数; 当且仅当0a b ==时,z 就是实数0.

3.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .

4.复数几何意义：

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我

们就来研究复数的加减运算.

【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.

二、探究新知

复数()i ,z a b a b =+∈R 复平面内的点一一对应 一一对应

复数()i ,z a b a b =+∈R 复平面内的向量

1.复数的加法法则

我们规定,复数的加法法则如下:

设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,那么： 提出问题：

(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? (2)当=0,0b d =时,与实数加法法则一致吗?

(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确:

(1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致;

(3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．

【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． 2.复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的123,,z z z ∈C ,有

1221z z z z +=+（交换律）, 123123()()z z z z z z ++=++（结合律）.

【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． 3.复数加法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗?

设12,OZ OZ u u u u r u u u u r

分别与复数i,i a b c d ++对应,则有12(,),(,)OZ a b OZ c d ==u u u u r

u u u u r

,由平面向量的坐标运算有

12(,)OZ OZ a c b d +=++u u u u r u u u u r

.

这说明两个向量12OZ OZ u u u u r u u u u r

与的和就是与复数()+()i a c b d ++对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

由图可以看出,以1OZ 、2OZ 为邻边画平行四边形12OZ ZZ ,其对角线OZ 所表示的向量OZ

uuu r

就是复数()+()i a c b d ++对应的向量.

【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练

学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想. 探究二:复数的减法

类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

的复数i x y +叫做复数i a b +减去i c d +的差,记作(i)(i)a b c d +-+.根据复数相等的定义,有

,c x a d y b +=+=,

因此

,x a c y b d =-=-,

所以

i ()()i x y a c b d +=-+-,

即

(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.

这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.

【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力． 2.复数减法的几何意义

设12,OZ OZ u u u u r u u u u r

分别与复数i,i a b c d ++对应,则这两个复数的差12z z —与向量12OZ OZ u u u u r

u u u u r

—（即

21Z Z u u u u r

）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.

【设计意图】两个复数的差12z z —（即12OZ OZ u u u u r u u u u r

—）与连接两个终点1Z ,2Z ,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功

能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.

三、理解新知

1.复数的加减法法则:

设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,规定：

12()()i z z a c b d +=+++; 12()()i z z a c b d -=-+-.

2.复数加、减法的几何意义：

(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明:

(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;

(2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;