安师大附中2019年高中自主招生数学试题及参考答案

数学试卷第1页共4页

安师大附中2019年高中自主招生考试数学试题

注意事项：

1．本试卷总分150分，考试时间120分钟。

2．答案一律用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔写在答题卷上，不能写在本试卷上。

一、选择题（每题4分，共16分）

1

、函数y =

的自变量x 的取值范围是（ ▲ ）

A. 1x ≥

B. 2x ≠

C. 1x > 且2x ≠

D. 1x ≥且2x ≠ 2、若反比例函数k y x =

的图象经过点122⎛⎫- ⎪⎝⎭

，，则2019k 的值为（ ▲ ） A. -1 B.1 C.-4 D.4 3

▲ ） A. 4

B.

C. D.3

4、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，已知△ABE 的面积为a ，

△CDE 的面积为b ，则四边形ABCD 的面积为（ ▲ ） A. 2

2

a b + B. (

a b +

C.

2

D. ()2

a b +

二、填空题（每题4分，共56分）

5、若抛物线24y x x m =-+的顶点在x 轴上，则m = ▲ .

6、已知：a 、b

为实数，且244a a ++=-

= ▲ 7、已知：31x y +=，则22967x y y -++= ▲ 8、若单项式52x

x

a b

-与2233x a b -的次数相同，则x 的整数值为 ▲ .

9、边长为整数，且周长为2019的等腰三角形有 ▲ 个. 10、已知关于x 、y 的方程组11221615

a x

b y a x b y +=⎧⎨

+=⎩的解为2

3x y =-⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的方程组

1111

2222

3230a x b y a b a x b y a b +=-+⎧⎨

+=-+⎩的解为 ▲ . 11、已知：方程2310x x --=的两根分别为α、β，则31010αβαβ+-= ▲ . 12、由一次函数2y x =-+的图象与坐标轴围成的三角形未被圆心在（1，1）半径为1的圆覆盖的面积等于 ▲ .

D

(第4题图)

数学试卷第2页共4页

13、若关于x 的不等式组410

1x m x x m

-+<+⎧⎨

+>⎩的解集是4x >，则m 的值为 ▲ .

14、在△ABD 中，AC 是BD 边上的高，且BC =9，DC =5，若AB +AD =28，则△ABD 的面积为 ▲ .

15、如图，一束光线从点O 射出照在经过A （1,0），B （0,1）的镜面上的点D ，经过AB 反射后，反射光线又照到竖立在y 轴位置的镜面，要使最后经过y 轴再反射的光线恰好通过点A ，则光线所走过的路线长为 ▲ .

16、已知，⊙O 与△ABC 的边AC 及BA 、BC 的延长线分别相切，若∠BOC =30°，则∠CAO 的度数为 ▲ °.

17、如图，扇形AOB 的圆心角∠AOB =90°，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，连接BE ，则∠OBE 的正切值为 ▲ .

18、如图，点O 为矩形ABCD 的中心，AB =8，BC =6，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上一个动点，则△AOP 面积的最大值为 ▲ .

三、解答题（本大题共7大题，共78分）

19、（本题满分10分）已知实数a 、

b 满足3a ab b ++=，222a b +=，求

11

a b

+的值.

20、（本题满分10分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 、DF 分别是其外角∠MBC 与外角∠

NDC 的角平分线，且BE ∥DF ，求证：∠A =90°.

(第20题图)

(第15题图) (第18题图) (第17题图) (第16题图)

数学试卷第3页共4页

21、（本题满分14分）阅读理解：我们知道变量y 是变量x 的函数的解析法表示就是用x 的代数式来表示y ，如23y x =-、4

y x

=

、23y x =-等，数学家欧拉是这样来表示函数的，如函数23y x =-，表示为()23f x x =-；函数4y x =表示为()4

f x x

=.在函数23y x =-中，当x =0

时，y =-3，可表示为()02033f =⨯-=-. 解答问题：（1）已知：函数(

)f x =

，①则()5f = ▲ .

②若(

)f x =x = ▲ .

（2）若()225f x x -=-，则()f x = ▲ .

（3）已知函数()y f x =满足（Ⅰ）()()()1f m n f m f n +=+-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >.请解答下列问题：①当21x x >时，求证：()()21f x f x >；

②若()20192020f =，求()1f 的值并直接写出函数()y f x =关系式.

22、（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++经过点()205A m m +-，，()

214B m m ---，，其中3m ≥，且m 为整数.

（1）求这个抛物线的解析式（用含m 的代数式表示）； （2）求坐标原点O 与抛物线的顶点C 间的最短距离；

（3）设点()00P x y ，是这个二次函数图象上的一个动点，当0-829m x m ≤≤-，0y 为负整数时，求m 的值及点P 的坐标

23、（本题满分10分）已知：如图，P 点是双曲线()0k

y k x

=

>上一点，直线P A 交双曲线于另一点A ，分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，直线PB 交双曲线于另一点B ，分别交x 轴、y 轴于点D 、C ，且A 、B 两点关于原点对称.求证：PE =PD .

24、（本题满分10分）射影几何的奠基人之一、法国数学家庞斯莱（1788--1867）发明过一种玩