阻尼对振动的影响

几点注意： 几点注意： 增大β曲线渐趋平缓 ①随ξ增大 曲线渐趋平缓， 增大 曲线渐趋平缓， 附近β的 特别是在θ/ω=1附近 的 附近 特别是在 峰值下降的最为显著。
β
ξ=0
共振时
1 β= 2ξ
ξ=0.1
接近ω 增加很快， ②当θ接近 时， β增加很快， 接近 增加很快 ξ对β的数值影响也很大。在 的数值影响也很大。 对 的数值影响也很大 0.75< θ/ω <1.25(共振区)内， (共振区) 阻尼大大减小了受迫振动的位 因此, 移，因此, 为了研究共振时的 动力反映, 动力反映, 阻尼的影响是不容 忽略。 忽略。在共振区之外阻尼对β 的影响较小，可按无阻尼计算。 的影响较小，可按无阻尼计算。
2 o
（a）阻尼对频率和周期的影响 ）
讨论： 讨论： ω r =ω 1−ξ 2 <ω , 随ξ ↑ 而↓
T= 2π
y
Ae −ξωt
An An+1
t
ωr
2π
则存在0.96<ωr/ω<1。 0 当ξ<0.2，则存在 则存在 在工程结构问题中， 在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1， 可近似取: 可近似取: ω =ω , T = T
平衡方程: 平衡方程 C
k
m P(t) P(t)
& m&& + cy + ky = P(t ) y
m
1、阻尼对自由振动
& m&& + cy + ky = 0 y
. F (t) y .
S
FD (t)
P(t) FI(t)
c k && + y + y = 0 & y m m
&& + 2ξωy + ω 2 y = 0 & y
r r
T=
ωr
（b）阻尼对振幅的影响 ）
振幅
Ae
−ξωt
阻尼使振幅不断衰减， 阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而 作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽， 作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结 构停止振动。 构停止振动。
y y k +1 −ξωT 相邻两个振幅的比: 相邻两个振幅的比: =e = 常数 yk
结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用， 结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。
y=Asin θt +Bcos θt =yPsin(θt －α)
2 θ 2 2 θ y P = A + B = yst 1 − 2 + 4ξ 2 ω ω 2 2 2 − 12
y = (C1 + C 2 t )e −ωt y =[ y 0 (1+ωt ) + v0 t ]e −ωt
t 这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。 这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
临界阻尼常数c 时的阻尼常数。（振与不振的分界点） 临界阻尼常数 r为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点） 时的阻尼常数。（振与不振的分界点
F ω 2 −θ 2 A= , 2 2 2 2 2 2 m (ω −θ ) + 4ξ ω θ B= F − 2ξωθ m (ω 2 −θ 2 ) 2 + 4ξ 2ω 2θ 2
齐次解加特解得到通解： 齐次解加特解得到通解：
y ={e −ξωt (C1 cosω r t + C 2 sinω r t )} +{Asin θt +Bcos θt }
2ξ (θ ω ) , α = tg 1 − (θ ω ) 2
−1
振幅：yp， 振幅 最大静力位移：yst=F/k=F/mω2 最大静力位移 动力系数： 动力系数：
yP β= = y st
θ2 1− ω 2
2 2 θ + 4ξ ω2
2

− 12
动力系数β与频率比 和阻尼比ξ有关 动力系数 与频率比θ/ω和阻尼比 有关 与频率比 和阻尼比
ξ ＞1 ξ＜1
大阻尼
临界阻尼
小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( ξ <1 ) ）
令
ωr = ω 1 − ξ 2
λi=-ωξ ± iωr
方程的一般解为：
y (t ) = e −ξωt (C1 cos ω r t + C2 sin ω r t )
由初始条件确定C 由初始条件确定 1和C2；
y (0) = yo 设 & y (0) = vo
土体内土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。
阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。 与质点速度无关（如摩擦力）。
∆
k 2
W=mg
1 1 2 2 ln = 0.0355, ω r = ω 1 − ξ = ω (0.999) 2 ≈ ω ξ= 2π 1.6
(4)6周后的振幅
y0 e = −ξω ( t0 +T ) = eξωT y1 e
−ξωt0
1y1 6 An 1.61 6 An = ln ξ6 = ln× y0 = × 2= 0.524 cm y = 2 πm π A 2 y0 n +1 2 An + m
c — 阻尼系数，粘滞阻尼系数。 阻尼系数，粘滞阻尼系数。 （单位 N·s/m）
*滞变阻尼理论
其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
二、单自由度体系有阻尼振动微分方程
& && FS (t ) = −ky (t ) FI (t ) = −my (t ) FD (t ) = −cy
得 C1 = yo
C2 =
vo + ξωyo
ωr
y(t ) = e
−ξωt
( yo cosω r t +
vo + ξωyo
ωr
sin ω r t )
y (t ) = e
其中
−ξω t
A sin( ω r t + α )
2
vo + ξωyo A= y + ω r ω r yo −1 α = tg vo + ξωyo
对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移 时顶部侧移2cm，振 例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力 时顶部侧移 ， 动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。 动一周 后 回摆 ，求大梁的重量 及 周后的振幅。 周后的振幅 由 T = 2π = 2π
ξ = c 2mω
cr = 2mω = 2 mk
ξ = cc r
阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 图示一单层建筑物的计算简图。 中在横梁处共计为m 加一水平力P=9.8kN，测得侧移 0=0.5cm， 中在横梁处共计为 ，加一水平力 ，测得侧移A ， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期 个周期后的侧移A 和阻尼系数c。 个周期后的侧移 1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数 。 。 解： ξ = 1 ln y k = 1 ln 0.5 = 0.0335 2π y k +1 2π 0.4
振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑， 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述 不同，目前主要有两种阻尼理论： 不同，目前主要有两种阻尼理论：
非弹性力与变形速度成正比： *粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比： 粘滞阻尼理论 非弹性力与变形速度成正比
& FD = −cy
4.0
3.0
2.0
ξ=0.2 ξ=0.3
1.0 ξ=1.0 0 1.0
（1）振动方程的解 特征方程
c （令2ξω = m
k 及ω = m
2
)
λ + 2ξωλ + ω = 0
2 2
设解为：
y = Be
λt
特征值
λ1,2 = ω ( −ξ ± ξ 2 − 1),
一般解
y (t ) = B1e + B2e
ξ =1
λ1t
λ2t
ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。 是一个重要参数， 的大小，使体系的运动呈不同情况。
y0 y0 e 6ξωT = −ξω ( t0 + 6T ) = e = y y6 e 1
−ξωt0
6
2、有阻尼强迫振动
简谐荷载P(t)=Fsinθt 简谐荷载
F && + 2ξω y + ω y = sin θ t & y m
2
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得 设特解为： 代入上式得： 代入上式得
个周期的两个振幅则: 设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
yk 1 ξ= ln 2πn y k +n
2)ξ=1（临界阻尼）情况 （临界阻尼）
工程中常用此 方法测定阻尼
λ =ω (−ξ ± ξ 2 −1) λ =−ω
y tg θ 0 = v 0 θ0 y0
&& + 2ξω y + ω2 y = 0 & y
θ y = y st (sinθt − sinωt ) 2 2 ω 1−θ ω
y = y st 1 1−θ
2
平稳阶段： 平稳阶段：
ω
2
sinθt
[ y]max 1 = β= y st 1−θ 2 ω 2
§10-4 阻尼对振动的影响 10一、阻尼理论
1、阻尼的两种定义或理解： 阻尼的两种定义或理解： 使振动衰减的作用； 1）使振动衰减的作用； 使能量耗散。 2）使能量耗散。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 在建筑物中产生阻尼、 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 结构在变形过程中材料内部有摩擦， 内摩擦” 耗散能量； 建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量； 振动波在土壤中传播而耗散能量；
&& + ω 2 y = 0 y
y (t ) = yo cos ω t +
y (t ) = A sin(ω t + α )
2.无阻尼受迫振动： 2.无阻尼受迫振动： 无阻尼受迫振动 F +ω 2 y = sinθ t y && m
1
ω
vo
sin ω t
A= y02 +v02 /ω2 α =1tan-1 (y0ω /v0 )
Ae −ξωt
An An+1
振幅按等比级数递减. 振幅按等比级数递减.
yk 2π ξω T ln = ln e = ξω T = ξω y k +1 ωr
称为振幅的对数递减率. 称为振幅的对数递减率.
0
T=
2π
ωr
yk yk ωr 1 ωr 1 如 ξ < 0.2 则 ≈1, ∴ξ = ln = ln 2π ω ω y k +1 2π y k +1
ω 2 k 20 1 .4 W = k ⋅ g = 0.0496 × × 981 = 486 .6kN 2 2 2π 1 1 (2)自振频率 f = = = 0.714( Hz ) ω = 2πf = 4.48 1 s T 1.4
(3)阻尼特性
解：(1)大梁的重量,
W = 1.4 s kg
ω=
2π 2π = = 4.189 s −1 T 1.5
m EI=∞
9.8kN
P 9.8×10 3 k= = =196×10 4 N / m A0 0.005
c = 2ξmω =
2ξmω 2
ω
=
2ξk
ω
2× 0.0355×196×10 4 = = 33220 N ⋅ s / m = 332 .2 N ⋅ s / cm 4.189
§10-4 阻尼对振动的影响 10-
本节主要内容 •阻尼理论的了解 阻尼理论的了解 •单自由度体系有阻尼的自由振动 单自由度体系有阻尼的自由振动 •振动方程的解 振动方程的解 •阻尼对频率和振幅的影响 阻尼对频率和振幅的影响 •阻尼比的确定 阻尼比的确定 •有阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动
无阻尼振动内容回顾 1.无阻尼自由振动： 1.无阻尼自由振动： 无阻尼自由振动