第五章 材料力学-弯曲应力

弯矩M
正应力s
2、研究方法 平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面t
例如： P1
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
a C A Q
P
P
B
a D
纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
校核强度： 、校核强度：
s max [s ]; t max [t ]
M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
设计载荷： M max Wz [s ]; [ P] f (M max ) 4、需要校核剪应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力 。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相 应比值时，要校核剪应力。
P1=9kN A C 1m
M
P2=4kN B D 1m
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如 图，铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度
4
1m
2.5kNm x A1 -4kNm A3
。并说明T字梁怎样放置更合理
I z D3 圆环 Wz (1 a 4 ) ymax 32
b
Iz BH 2 bh3 回字框 Wz (1 ) 3 ymax 6 BH
B
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
例1 受均布载荷作用的简支梁
如图所示，试求： （1）1——1截面上1、2两点 的正应力； （2）此截面上的最大正应力
？ 解：画弯矩图并求危面内力
G
y1
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
M B 4kNm（上拉、下压）
y2
A2 A4
画危面应力分布图，找危险点
M
2.5kNm
sA L
2
M C y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
p
x M pa x
§5－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 纵向对称面 中性层 一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力 中性轴 （一）变形几何规律： a o b M a b c d c o d M
1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）变 形后仍为直线（倾斜）， 即有转动；纵向线变为曲 线，且上缩下伸；横向线
4. 几何方程： dq O
a A c
b B d A1
x
O1 B1 y
) ) ) A B AB A B OO ) AB OO
1 1 1 1
1
1
( y )dq dq y x dq
x
y

...... (1)
（二）物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应
与纵向线变形后仍正交。
横截面，上宽下窄。
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3 . 推论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动 ，距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。 （可由对称性及无限分割法证明）
t1
s
t
y
s1
X N
2
N1 t1b(dx) 0
M N1 sdA A Iz
MS z y d A A Iz
x y
dx
图a
( M dM ) S z N2 Iz
M ( x)
Q(x) dx
Q(x)+d Q(x)
图b M(x)+d M(x) z
dM S z QSz t1 dx bI z bI z
力状态。
sx
sx
s x E x
（三）静力学关系：
Ey

ydA
......(2)
N sdA
x A
Ey
A

dA
E

ESz
A

0
S z 0 z (中性)轴过形心
M
M
1
y
(sdA) z
A
Eyz
A

Ey2
dA
E

A
yzdA
EI yz
s
M
s
s
t
Q
t
带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面
的腹、翼相交处。（以后讲）
M Q
s
s t
Qmax S z max t b Iz
t
2、正应力和剪应力强度条件：
s max
M max s Wz
t max
第五章
§5–1 引言
弯曲应力
§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
§5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §5–5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 §5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩 作业
ຫໍສະໝຸດ Baidu
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力Q 内力 剪应力t
0.8a2 a2
工字形截面与框形截面类似。
2、根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截
面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，
而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：
z G
s
（二）采用变截面梁 ，如下图： 最好是等强度梁，即
由剪应力互等
QS t t ( y) t1 bI z h
z c
t1
s
t
y
x
S y A 2
y
s1
2
h b h2 b( y) ( y 2 ) 2 2 4
图c
Q
t 矩
Q h2 ( y2 ) 2I z 4
3Q t max 1.5t 2 A t方向：与横截面上剪力方向相同；
tmax
Q Af
; Af —腹板的面积。
t min t max
结论： 翼缘部分tmax« 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin Q 故工字钢最大剪应力 tmax ; Af
②圆截面：
t max
4Q 4 t 3 A 3
qL 8
2
Qmax
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
x
q=3.6kN/m
求最大应力并校核强度
M max 6M max 6 4050 s max 2 Wz bh 0.12 0.182
qL 2
qL2 8
x
§5－3 梁横截面上的剪应力 一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 x y
dx
图a
1、两点假设：
剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。
M ( x)
Q(x) dx
Q(x)+d Q(x)
图b M(x)+d M(x) z
在梁上取微段如图b；
x 在微段上取一块如图c，平衡 图c
求应力
bh3 1201803 Iz 1012 5.832105 m 4 12 12
M
M1
120 yqL2 Mmax 8 +
z
Wz I z / 2 6.48104 m3
s1 s 2
M1 y Iz
x
60 60 105 61.7MP a 5.832
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 1 2 180 30
M1 60 s 1max 104 92.6MPa Wz 6.48
s max
M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48
120 M M1 Mmax +
求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
T字头在上面合理。
G
y1 A4
二、梁的合理截面 （一）矩形木梁的合理高宽比 h
R
北宋李诫于1100年著« 营造法式 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著« 自然哲学与机械技术讲义 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 为
h h 2 时, 强度最大 ; 3 时, 刚度最大。 b b
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 二、其它截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：
t 1 QS
z
其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；
bIz
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①工字钢截面：
各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
q=3.6kN/m
A Q B
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面
木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力 之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
M +
其它材料与其它截面形状梁的合理截面 强度：正应力： s M s Wz 剪应力：
* QSz t t bIz
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a
Wz1
D 3
32
t max
4Q 1.33t m 3A
当
D12
4
a 2时, a R; ( D1 / 2)
4
2a12时, a1 2 D1
Wz 4
bh 4a 1.67Wz1 6 6
2
3 1
t max 1.5t m
2a1
z
a1
当
D12
4
2 2 2 a2 0.8 1.6a2 时, a2 1.05D1
Wz 5 4.57Wz1
1.6a2
2a2 z
t max 2.3t m (= Q A ) f
sAL
3
M B y1 Iz
M B y2 Iz

A1 G
-4kNm A3
4 52 27.2MPa 8 76310
4 88 46.2MPa 8 76310
sA y
4

y1
y2
校核强度
A2
A3 y2
A4
s L max 28.2 s L
s y max 46.2 s y
a
Wz 2
bh2 ( R)3 1.18 Wz1 6 6
t max 1.5t m
当
D12
4

[ D 2 (0.8D) 2 ]
4
时, D 1.67D1
0.8D D
z
D 3 Wz 3 (1- 0.84 ) 2.75Wz1 32
t max 2t m
当
D12
③ 薄壁圆环：
t max
Q 2 2t A
④槽钢 ：
Q
QSz 腹板上t ; 合力为R，R Q bIz QA 翼缘上t 1 ; 合力为H。 2I z
e P z x y Q
M
x
(tdA)d 力臂 0
A
e
Hh R
e
h
§5-4 梁的正应力和剪应力强度条件 • 梁的合理截面 纯弯曲ó 公式推广应用到一切平面弯曲（横力弯曲），条 件：L/h>5，误差<1% 。 一、梁的正应力和剪应力强度条件 1、危险面与危险点分析 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。
；
（3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1—1
M
M1
120 yqL2 Mmax 8 +
z
x
截面的曲率半径。 解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
x 1
60kNm
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
Q
6.25MPa 7MPa [s ]
+
–
qL 2
x
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MP a 0.9MP a [t ]
应力之比
M +
qL2 8
x
s max M max 2 A L 16.7 t max Wz 3Q h

EI z
0
（对称面）
z
(sdA) y
A
A

dA
E

A
y dA
2

M
Mz EI z
sx
My Iz
… …(3)
EIz
杆的抗弯刚度。
...... (4)
（四）最大正应力：
s max
Iz Wz ymax
d
D
M Wz
… …(5)
抗弯截面模量。
ad D