行列式的性质与计算

1 1 2 3 1 2
0 0 1 0 2 r2 3r1 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6
4 4 10 10 2
4 1 1 2 3 1 3
0 0 1 0 2 r3 2r1 0 2 0 4 1
3 5 7 14 6
4 4 10 10 2
1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 r4 3r1 0 2 0 4 1 r5 4r1 0 2 1 5 3 0 0 2 2 2
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论: 如果行列式的某一行（列）的元素皆为零，则
此行列式的值为零.
性质３: 交换行列式两行（列）元素的位置行列式 变号.
证明: 提示：应用数学归纳法.
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
an1 ani ann an1 an i ann
性质５: 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列 式不变．
例如:
a11 a1i a1 j a1n
a21 a2i k a2 j a2 j
推论1: 如果行列式有两行（列）完 全相同，则 此行列式为零.
证明: 互换相同的两行，有 D D,
D 0.
推论２: 行列式任一行（列）的所以元素与另一行 (列)
对应元素的代数余子式之乘积的和等于零. 推论3: 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此
行列式为零．
Proof:
a11 a12 a1n
an1 ani anj anj
a11
ci
kc j
a21
an1
(a1i ka1 j ) (a2i ka2 j )
(ani kanj )
a1 j a2 j
anj
a1n a2 j
anj
二、行列式的计算
(1) 降阶法：
例1: 计算
3 1 1 2
5 1 3 4
D
.
2 0 1 1
(transpose of determinant).
性质1：行列式与它的转置行列式相等. 说明 : 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式
的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
推论：行列式可按列展开，也可按行展开．
性质2：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以
一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
第1.2节 行列式的性质
主要内容: 一、行列式的性质 二、行列式的计算 三、思考与练习
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。
式乘积之和等于０.
ai1 A j1
ai2 Aj2
ain Ajn
D, i
0,
i
j j
a1i
A1 j
a2i
A2 j
ani
Anj
Hale Waihona Puke D, i 0,i
j j
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。
x 1 2 3 n x x 0 0 解： D x 0 x 0 x 0 0 x
x+1+…+n 2 3 n
x+ x x 0 0
x+ x 0 x 0
x+ x 0 0 x
x 00
(x
n(n 1)) 2
0
x
0
0 0 x n1
xn1(x n(n 1)). 2
(2) 三角形法：
1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r2 r4 0 2 0 4 1 0 0 1 0 2 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
r3 r2
0 0
2 0
1 1
5 1
3 2
0 0 1 0 2
ai1 ai2 ain
kai1 kai2 kain
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain k
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
0.
定理1.2: 阶行列式D 的任意一行（列）的元素与其对应
的代数余子式乘积之和等于D ；某一行（列）
的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子
性质４: 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如:
D
a21
a22
(a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D
= 15 +5 70 +120 =40.
解法2：利用性质
5 1 1 1
5 11
11 1 D
3 1 1 11 1 1
0 010
5 5 0
5 5 3 0
4 11
41
11
12 1 1 (5)
20
12 1 3 1
0 5 0
=40.
例2: 计算
x 1 2 3 n 1 x2 3 n
D 1 2 x3 n . 1 2 3 xn
1 5 3 3
解法1：直接用定理1.2按第一行展开
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
1 3 4 5 3 4 5 1 4 5 1 3 3 0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 2 0 1
5 3 3 1 3 3 1 5 3 1 5 3
=3(3+0+15 20+3+0) (15 24 3+4 15+18) (0+40 1 0+25+6) 2(030+1 0 25 6)
利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角 形行列式，从而算得行列式的值．
例3: 计算
1 1 2 3 1 3 3 7 9 5 D 2 0 4 2 1 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 解: D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2 1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 r2 3r1 2 0 4 2 1 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2