管理运筹学动态规划

第六章 动态规划
第一节：现实中的动态规划问题 第二节：动态规划基本概念 第三节：动态规划的基本方法 第四节：配载问题 第五节：生产和库存控制问题 第六节：资源分配问题 第七节：动态规划应用
多式联运是一种以实现货物整体运输最优化为目标的联合运输组织 形式，它以集装箱为媒介，把水路、公路、以及铁路等多种运输方式有 机地结合起来，构筑连续的、综合性的一体化货物运输网络。在集装箱 多式联运系统中，各种运输方式的组织优化直接关系到货物运输的费用 、时间和运输质量。
p1(s1) = { x1(s1),x2(s2),… ,xn(sn)} ∈P 1
而
pk(sk) = { xk(sk),xk+1 (sk+1),… ,xn(sn)} ∈Pk
称为第k子过程策略，简称子策略。
8
六、指标函数
(1) 阶段指标函数
用vk(sk,xk)表示第k段处于sk状态且所作决策为xk∈P 1
如何制定 运输方式 组合优化 方案使在 满足客户 需求的条 件下降低 集装箱运 输总成本？
公路运输 铁路运输 水路运输
成都-郑州
1474 1353
/
郑州-南京
704 695
/
南京-上海
349 303 392
运输方式 铁路运输
运 载 工 具 速 70 度(km/h)
公路运输 100
水路运输 36
运输方式 铁路运输 中转时间(h) 7
2°递推 (逆推)求解 3°得出 (顺推)结论
12
20
8
2 19
c 12 14
14 6
d
35
7
9
g5
5 s
b 10
6 e
4
5
1
19 13
12 8
h
2
12 a
d1(s)=b k=1
11
k=2
f
10
2
k=3
d2(b)=d d1(s)=b d3(d)=g
f3
?d ??
min
?? ?
d
3
?d3
?d, g ?? ?d, h??
(3) 最优决策
构成最优策略的决策称为 最优决策，记为x k *。 (4) 最优值：最优策略对应的最优指标 f *1
一、最优化原理 作为一个全过程最优策略具有这样的性质：
无论过去的状态和决策如何，对前面所形成的状态而言， 余下的诸决策必构成最优策略 。
二、函数基本方程
和
f*n+1(sn+1) = 0 f*k(sk) = opt {v k(sk,xk)+f k+1*(sk+1)}
二、状态
状态表示某段的初始条件。用 sk表示第k段的状态，称为第k段 状态变量。sk ∈Sk
三、决策
是指人们对某一阶段活动中各种不同的 行为或方案或途径等的 一种选择。
用xk表示第k段的决策，称为第k段决策变量。由于决策随状态 而变,所以决策变量xk是状态变量sk的函数,记为 xk= xk(sk)
xk ?sk ?? Dk ?sk ?
公路运输 3
水路运输 18
多阶段决策问题
阶段、决策、策略
动态规划的 基本特性（ 多阶段决策问题的基本特性）
Q = S1 S2 … Sk 反证法 容易得证。
S k+1 S 'k+1
… k , Sk+1 , … , Sn , T} 全程最优
则 {S k+1 , … , Sn , T}
子程最优
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动态规划方法的基本思路
最短路问题 —— 标号法
11 2
Q
4 3
11
7 A1 4
7
6 3
A2
2 4
8 41 A3 5
4
B1
1 4
3
7
C1 3
0
6
B2 3
4
T
63 3
B3
4 C2
阶段
1
2
3
4
动态规划的 基本概念
一、阶段
把所研究的问题恰当的划分成若干个相互联系的阶段。用 k = 1，2，…，n 表示阶段序号，称为阶段变量。
ZH物流公司是一家大型的集装箱多式联运经营企业，在成都设有内 陆集装箱货运站（CFS），经营成都——上海间集装箱货物运输服务，其 多式联运通道的主要节点城市为南京与郑州。现有一个货主需要将2个20 英尺的集装箱从成都运往上海，运输路线为成都-郑州-南京-上海，要求 在货物起运后25-30小时之内到达目的地。
x k∈Xk
k = n, n -1, …, 2, 1
积
f*n+1 (sn+1) = 1
f *k ( s k )
=
opt {v
xk∈Xk
k ( s k ,x k )
×f k +1*( s k +1) }
k = n, n -1, …, 2, 1
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三、基本步骤 1°建立模型
(1) 划分阶段，设定 k (2) 设定状态变量 sk (3) 设定决策变量 xk (4) 建立状态转移方程 (5) 确定指标函数 vk，fk* (6) 建立函数基本方程
时的指标，则它就是第k段指标函数，简记为vk。
(2) 过程指标函数
用f k ( s k ,x k ) 表示第k子过程的指标函数 。
它是各vk的累积效应。
常用函数：
和函数 积函数
n
fk(s k,xk ) = ? v i(s i,xi) i= k n
fk(s k,xk ) = ? v i(s i,xi) i= k
k阶段的允许决策集合
四、状态转移方程 sk+1 与sk,xk之间必须能够建立一种明确的数量对应关系，记为
Tk(sk,xk), 即有 sk+1 = Tk(sk,xk)
这种明确的数量关系称为 状态转移方程。
五、策略 由各阶段决策x k 构成的决策序列,称为全过程策略,简称策略,记为
p 1( s1) ,有
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七、最优解
(1) 最优指标函数 fk*(sk) = opt {f k(sk, pk(sk))}, k=1,2,…,n pk∈Pk
(2) 最优策略 能使上式成立的子策略pk*称为最优子策略，记为 pk* (sk) = { xk*(sk),… ,xn*(sn)} 特别当k=1时,称为最优策略，记为 p1* (s1) = { x1*(s1),… ,xk*(sk),… ,xn*(sn)}
通常情况下，多式联运组织优化问题具有如下几个方面的特点：
? 一、两地之间集装箱货物运输有三种可选的运输方式（公路、铁路、水 路运输）
? 二、集装箱的中转过程有很好的衔接 ? 三、集装箱运量不可以分割，在某两个特定的地点之间，只能选择一种
运输方式 ? 四、集装箱运量对运输价格及运输时间没有明显的影响 ? 五、集装箱运输能力几乎不受限制 ? 六、运输时间须控制在合理范围之内（如集装箱干线船的班期）。
f4 ?g ??? f4 ?h???
?
min
?3?
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9