合肥八中2016-2017学年上学期高一期中考试

合肥八中2016-2017学年上学期高一期中考试
数 学 试 卷
考试说明：1.考查范围：人教A 版高中《数学》必修1。

2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟。

3.所有答案均要答在答题卡和答题卷上，否则无效。

考试结束后只交答题卡和答题卷。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
()U
C B = A ．0>y y B ．1>y y
C ．10<<y y
D ．∅
2. 函数()f x =
( )
A ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,43 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43 C ．()+∞,1 D ．()+∞⎪⎭
⎫ ⎝⎛,11,43
3．已知函数()⎩⎨⎧≤>=0
30log 2x x x x f x ，，，则⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f 的值是（ ） A ．9
1- B ．9- C ．91
D ．9
4. 函数⎩⎨⎧≥-<=0
,120
,2x x x y x 的图象大致是( )
5．当[]0,5x ∈时，函数2
()34f x x x c =-+的值域为 ( )
A ．[]c c +55,[c,55＋c ]
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-
c c ,34 C ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-c c 55,34 D ．[]c c +20,
6. 设2log 2
1=a ，31log 21=b ， 3
.021⎪⎭⎫
⎝⎛=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）
A a c b <<
B a b c <<
C b c a <<
D b a c <<
7. 已知()()f x g x ，是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32
()()1f x g x x x =++-，则
(1)+(1)=f g
（ ） A. 3- B.1- C.1 D.3
8. 函数26
()log f x x x
=-的零点所在的区间是（ ）
A.()0,1
B.(2,4)
C.()1,2
D.()4,+∞
9. 若函数()2
31-⎪⎭
⎫
⎝⎛=x x f ，则()x f 的单调递减区间是( )
A ．(]2,∞-
B ．[)+∞,2
C ． [)+∞-,2
D ．(]2,-∞-
10. 已知定义域为R 的函数()f x 在()+∞,8上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ ） A. (6)f ＞(7)f B. (6)f ＞(9)f C. (7)f ＞(9)f D . (7)f ＞(10)f
11．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0>x 时，2016()2016log x f x x =+,则方程()0f x =的实
数根的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.5 12．如果函数()x f y =
在区间I 上是增函数，而函数()x
x f y =
在区间I 上是减函数，那么称函数 ()x f y =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”。

若函数()23
22+-=x x x f ()0>x
是区间I 上的“缓增函数”，则)(x f 的“缓增区间”I 为( )
A.()+∞,1 B ．(]
3,0 C ．(]1,0 D ．[]3,1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

13．函数)56(log )(2
2
1+-=x x x f 的单调递减区间是 ．
14. 计算：3
2
33641932log 4log 25-
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-
= . 15. 已知幂函数()
m x m m y 12--=的图象关于原点对称，则实数=m .
16. 已知函数2||,
()24,x x m f x x mx m x m
≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()b x f =
有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)
已知集合{}
50≤-<=a x x A ，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤<-
=621
x x B . (I)若∅=B A ，求a 的取值范围；
(II)若B B A = ，求a 的取值范围．
18. (本小题满分12分)
已知函数()12ax
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-．
（I ）求a 的值；
（II ）若()42x g x -=-且()()g x f x =，求满足条件的x 的值．
19．(本小题满分12分)
某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的%15 进行奖励；在此基础上当销售利润超过10万元时，超出的A 万元，则超出部分按()1log 25+A 另外再进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)． (I)写出y 与x 的函数关系式；
(II)如果某业务员获得5.5万元的奖金，那么该业务员的销售利润是多少万元？
20. (本小题满分12分)
已知函数()f x 的定义域为()2,2-，函数()g x ＝(1)f x -＋(32)f x -．
(I)求函数()g x 的定义域；
(II)若()f x 是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式()0g x ≤的解集．
21. (本小题满分12分)
已知二次函数()f x 的图象过点()4,0，对任意x 满足(3)()f x f x -=，且有最小值
4
7. (I)求()f x 的解析式；
(II)求函数()h x =()()23f x t x --在区间[]1,0上的最小值，其中t R ∈； (III)若函数()h x 有两个互不相同的且都大于1的零点，求实数t 的取值范围．
22. (本小题满分12分)
已知函数()31x
f x =-，1[,1)3
a ∈，若函数()()g x f x a =-有两个不同的
零点1212,()x x x x <，函数()()21
a
h x f x a =-+有两个不同的零点3434,()x x x x <.
(I)若2
3
a =
，求1x 的值； (II)求2143+x x x x --的最小值.
合肥八中2016-2017学年上学期高一期中考试
数学试卷(参考答案)
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．解析:A ＝{y |y ＝2x ，x <0}＝{y |0<y <1}，B ＝{y |y ＝log 2x }＝{y |y ∈R }，∴()U A
C B =∅．答案
D
2. 解析:解不等式，答案 A 3．解析:分段计算，答案C.
4. 解析:当x ＜0时，函数的图象是抛物线的一部分，当x ≥0时，只需把y ＝2x (x ≥0)的图象向下平移1个单位即可，故大致图象为B.【答案】 B 5．解析:数形结合，计算可得.答案C. 6. 解析:利用中间量0,1比较大小.答案A. 7. 解析:可以先求函数解析式，再计算.答案C. 8. 解析:根据零点的存在性定理判断.答案B. 9. 解析:利用复合函数的单调性判断.答案B.
10. 解析：方法一：∵y =f (x +8)为偶函数.∴f (－x +8)=f (x +8).可知函数y =f (x )的图象关于直线x =8对称.∴f (7)=f (－1+8)=f (1+8)=f (9).又f (x )在（8，+∞）上为减函数.∴f (9)＞f (10),即f (7)＞f (10),故选D. 方法二：y =f (x +8)的图象关于y 轴对称，故由图象向右平移8个单位长度可知y =f (x )的图象关于直线x =8对称.其他同上.故选D.
11．解析：设g (x )= log x a a x + (a ＞1),g (x )=0,即1log x a
a x = (a ＞1),函数1x y a =, 21log a
y x =的图
象有唯一的交点，如图.从图中可看出0
10log x a
a
x =,即g (0x )=0,∴g (x )= log x a a x + (a ＞1)有唯一的
零点.取a =2 016,则函数f (x )= 20162016log x
x +在区间（0，+∞）内有唯一的零点，设这个零点为0x ，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以0, 0x -也是函数f (x )的零点.故选C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

13．解析：
(5,)
+∞
14. 解析：原式=-18
16
2
)
2
1
(
9
log
2
log
5
2
log
54
3
3
3
-
=
-
-
=
-
-
+
--
15.解析：∵y＝(m2－m－1)x m是幂函数，∴m2－m－1＝1解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，y＝x2，图象关于y轴对称，不合题意，舍去．
当m＝－1时，y＝x－1，图象关于原点对称，符合题意，故m＝－1.
16. 解析：画出函数图象如下图所示：
由图所示，要()
f x b
=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即22
24,30
m m m m m m m
>-⋅+->，解得3
m>
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)
已知集合{}5
0≤
-
<
=a
x
x
A，
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤
<
-
=6
2
1
x
x
B.
(I)若∅
=
B
A ，求a的取值范围；
(II)若B
B
A=
，求a的取值范围．
【解析】A＝{x|a<x≤a＋5}，
(I)由A∩B＝∅知6
a≥或
1
5
2
a+≤-，即a的取值范围为6
a≥或
11
2
a≤-(II)由A∪B＝B知A⊆B，则
1
2
56
a
a
⎧
≥-
⎪
⎨
⎪+≤
⎩
，即a的取值范围为
1
1
2
a
-≤≤
18. (本小题满分12分)
已知函数()12ax
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-．
（I ）求a 的值； （II ）若()42x
g x -=-且()()g x f x =，求满足条件的x 的值．
【答案】（I ）1a =；（II ）1x =-.
【解析】
（I ）由已知得122a
-⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，解得1a =．
（II ）由（1）知()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()()
g x f x =，则1422x
x -⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，
即112042x
x
⎛⎫⎛⎫
--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2
112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦， 令12x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则2
20t t --=，即()()210t t -+=， 又0t >，故2t =，即122x
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，解得 1x =-．
19．(本小题满分12分)
某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的%15 进行奖励；在此基础上当销售利润超过10万元时，超出的A 万元，则超出部分按()1log 25+A 另外再进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)． (I)写出y 与x 的函数关系式；
(II)如果某业务员获得5.5万元的奖金，那么该业务员的销售利润是多少万元？ 【解析】(I)由题意，得
⎩
⎨
⎧
>-+≤<=10),9(log 25.1100,15.05x x x x y . (II)x ∈(0,10]，0.15x ≤1.5. 又∵y ＝5.5，∴x >10，
∴1.5＋2log 5(x －9)＝5.5，∴x ＝34. ∴该业务员的销售利润是34万元． 20. (本小题满分12分)
已知函数()f x 的定义域为()2,2-，函数()g x ＝(1)f x -＋(32)f x -．
(I)求函数()g x 的定义域；
(II)若()f x 是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式()0g x ≤的解集．
【解析】(I)由题意可知⎩
⎪⎨⎪⎧
－2<x －1<2，
－2<3－2x <2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1<x <3，12<x <52.
解得12<x <5
2. 故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫
12，52.
(II)由g (x )≤0，得f (x －1)＋f (3－2x )≤0，
∴f (x －1)≤－f (3－2x )．
∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 而f (x )在(－2,2)上单调递减，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≥2x －3，12<x <52.
解得12＜x ≤2. ∴g (x )≤0的解集为⎝⎛⎦⎤
12，2. 21. (本小题满分12分)
已知二次函数()f x 的图象过点()4,0，对任意x 满足(3)()f x f x -=，且有最小值
4
7. (I)求()f x 的解析式；
(II)求函数()h x =()()23f x t x --在区间[]1,0上的最小值，其中t R ∈； (III)若函数()h x 有两个互不相同的且都大于1的零点，求实数t 的取值范围．
【解析】(I)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是7
4
，
则可设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －322＋7
4
(a ≠0)， 又图象过点(0,4)，则a ⎝⎛⎭⎫0－322＋7
4
＝4，解得a ＝1. ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －322＋7
4
＝x 2－3x ＋4. (II)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t . ①t ≤0时，函数h (x )在[0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4； ②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；
③当t ≥1时，函数h (x )在[0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以h (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4，t ≤0，4－t 2
，0<t <1，
5－2t ，t ≥1.
(III) 由1
0(1)0
t h >⎧⎪
∆≥⎨⎪>⎩
得522t <<
22. (本小题满分12分)
已知函数()31x
f x =-，1[,1)3
a ∈，若函数()()g x f x a =-有两个不同的
零点1212,()x x x x <，函数()()21
a
h x f x a =-+有两个不同的零点3434,()x x x x <.
(I)若2
3
a =
，求1x 的值； (II)求2143+x x x x --的最小值.
【解析】(I)当23a =时，令2313x -=，即133x
=或53
，又12x x <，所以11x =-
(II) 由310x
a --=得31x a =±，因为12x x <，所以13log (1)x a =-，23log (1)x a =+，同理 33log (1)21a x a =-
+，43log (1)21
a
x a =++，所以
2143+x x x x --=33
(1)(1)
1321log log 1(1)(1)21a a a a a a a a ++
++=---+34log (3)1a =--，因为34y log (3)1a =--在
1[,1)3a ∈上单调递增，所以当1
3a =
时。