人教版-数学-八年级上册--例题与讲解 第十四章 14.1 整式的乘法

14.1 整式的乘法

1．同底数幂的乘法

(1)法则：同底数幂相乘，底数不变

．．．

．．，指数相加．

(2)符号表示：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．

(3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性质，即a m·a n·…·a r＝

a m＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整数)．

②法则可逆用，即a m＋n＝a m·a n(m，n都是正整数)．

谈重点同底数幂的特征“同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式．

【例1】计算：

(1)103×106；

(2)(－2)5×(－2)2；

(3)a n＋2·a n＋1·a；

(4)(x＋y)2(x＋y)3.

分析：(1)中的两个幂的底数是10；(2)中的两个底数都是－2；(3)中的三个幂的底数都是a；这三道题可以直接用同底数幂的运算性质计算．(4)要把x＋y看作一个整体，再运用同底数幂的乘法法则．

解：(1)103×106＝103＋6＝109；

(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；

(3)a n＋2·a n＋1·a

＝a n＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；

(4)(x＋y)2(x＋y)3

＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5.

2．幂的乘方

(1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

(2)符号表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．

(3)拓展：①法则可推广为p＝a mnp(m，n，p都是正整数)

②法则可逆用：

a mn＝(a m)n＝(a n)m(m，n都是正整数)

警误区幂的乘方的理解不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．【例2】计算：

(1)(102)3；(2)(a m)3；

(3)2；(4)2.

分析：解决本题的关键是要分清底数、指数是什么，然后再运用法则进行计算，如(2)中的底数是a，(3)中的底数是－x，(4)中的底数是y－x.

解：(1)(102)3＝102×3＝106；

(2)(a m)3＝a3m；

(3)2＝(－x)3×2＝x6；

(4)2＝(y－x)4×2＝(y－x)8.

3.积的乘方

(1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

(2)符号表示：(ab)n＝a n b n(n为正整数)．

(3)拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc)n＝a n b n c n.a，b，c 可以是任意数，也可以是幂的形式．

②法则可逆用：a n b n＝(ab)n.(n为正整数)．

警误区积的乘方的易错点运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．

【例3】计算：

(1)(－xy )3；(2)(x 2y )2

；

(3)(2×102)2；(4)(－23

ab 2)2. 解：(1)(－xy )3＝(－1)3x 3y 3＝－x 3y 3；

(2)(x 2y )2＝(x 2)2·y 2＝x 4y 2；

(3)(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；

(4)(－23ab 2)2＝(－23)2a 2(b 2)2＝49

a 2

b 4. 4．单项式乘以单项式

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

谈重点 单项式乘以单项式要注意的三点 运用单项式与单项式相乘时要注意：(1)在计算时，应先确定积的符号；(2)注意按运算顺序进行；(3)不要丢掉只有一个单项式里含有的字母．

【例4】 下列计算正确的是( )．

A ．3x 3·2x 2y ＝6x 5

B ．2a 2·3a 3＝6a 5

C ．(2x )3·(－5x 2y )＝－10x 5y

D ．(－2xy )·(－3x 2y )＝6x 3y

解析：A 结果漏掉了字母“y ”，C 结果应为－40x 5y ，D 结果应为6x 3y 2.

答案：B

5．单项式与多项式相乘

法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc .

单项式与多项式乘法法则的理解 单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘．所以熟练掌握同底数幂乘法和单项式乘以单项式，是学好单项式乘以单项式的基础和关键．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以此来检验运算中是否漏乘．

【例5】 计算：

(1)(－3ab )(2a 2b －ab ＋2)；

(2)x (x －2)－2x (x ＋1)－3x (x －5)．

解：(1)(－3ab )(2a 2b －ab ＋2)

＝(－3ab )(2a 2b )＋(－3ab )(－ab )＋(－3ab )×2

＝－6a 3b 2＋3a 2b 2－6ab ；

(2)x (x －2)－2x (x ＋1)－3x (x －5)＝x ·x ＋x ·(－2)＋(－2x )x ＋(－2x )·1＋(－3x )·x ＋

(－3x )·(－5)＝－4x 2＋11x .

6．多项式与多项式相乘

法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a ＋b )(m ＋n )＝am ＋an ＋bm ＋bn .

警误区 多项式乘以多项式的注意点

多项式乘以多项式时，应注意以下几点：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；(3)相乘后，若有同类项应该合并．

【例6】 计算：

(1)(5a －2b )(2a ＋b )；

(2)(a 2－a ＋1)(a ＋1)．

解：(1)(5a －2b )(2a ＋b )

＝5a ·2a ＋5a ·b －2b ·2a －2b ·b

＝10a 2＋5ab －4ab －2b 2

＝10a 2＋ab －2b 2；

(2)(a 2－a ＋1)(a ＋1)

＝a 2·a ＋a 2·1－a ·a －a ·1＋1·a ＋1

＝a 3＋a 2－a 2－a ＋a ＋1

＝a 3＋1.

7.同底数幂的除法