统计学常用分布及其分位数

z2 n

§ 1.4 常用的分布及其分位数

1. 卡平方分布

卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分

丫〜 2

(n ), Z 〜 2

(m ),贝U Y+Z 〜 2

(n+m )。 证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n +1、X n+2、…、X n+m 相互独

立且都服从N(0,1),再根据 2

分布的定义以及上述随机变量

的相互独立性，令

即可得到 Y+Z 〜2

(n +m )。

2. t 分布若X 与丫相互独立，且

X 〜N(0,1), 丫〜2

(n ),贝V Z = x 丫的分布称为自由度 / n

布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=

分布称为自由度等于 n 布密度

P （z ）= 1

n

22

的 n 2

X X i 2

的

i

2

分布，记作Z 〜2

(n)，它的分

z 2

式中的 n

u 2

n 2 0,

1

u

e d u , 称为Gamma 函数，且 1 =1 ,

1 -=n 2

2

分布是非对称分布，具有可加性，即当

丫与Z

•

7 m 2 n

X + ・

・ ・ +

2 2 n

X +

di 2 n

X z=

2 n

X

+ ・

Y+Z= X 2+x 2+…+x n +X 2

i +x 2 2 +…+x 2

等于n 的t 分布，记作 Z 〜t (n ),它的分布密度 1

请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30时，t 分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。 这时， t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3.

F 分布 若X 与丫相互

独立，且 X 〜2

(n ), 丫〜2

(m ), 则Z= X Y

的分布称为第一自由度等于

n 、第二自由度等于 n / m

m 的F 分布，记作Z 〜F (n , m ),它的分布密度

n

z2

请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度

1 的次序有关，当 Z 〜F (n ,m )时，Z

〜F (m ,n )。

4. t 分布与F 分布的关系

2

若 X 〜t(n )，则 Y=X 〜F(1,n )o

n 1

证：X 〜t(n ), X 的分布密度 p(x )=——2

1

— n n nn

-

Y =X 2

的分布函数 F Y (y )=P{Y< y }=P{X 2

v y }。

当 y o 时，F Y (y)=o , P Y (y )=o ； 当 y >0 时，F Y (y ) =P{- y vXv y }

P(z)=

z 0

其

2 (m n z) 2

0,

=y y P(x)dx=2 o y p(x)d x,

2 2

与第一自由度等于1、第二自由度等于

2

度相同，因此Y=X 〜F （1,n ）。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。有关分位数的概念如下：

4.常用分布的分位数 1）分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关， 根据应用的

需要，有三种不同的称呼，即a 分位数、上侧a 分位数与双 侧a 分位数，它们的定义如下：

当随机变量X 的分布函数为 F （x ），实数a 满足0 < a <1 时，

a 分位数是使P{X< X a }=F （ X a ）= a 的数X a ,

上侧a 分位数是使P{X >入}=1 - F （入）=a 的数入, 双侧a 分位数是使 P{X<入1}=F （入1）=0.5 a 的数入1、使

P{X> 入 2}=1 - F （入 2）=0.5 a 的数入 2。

因为1- F （入）=a , F （入）=1- a ,所以上侧a 分位数入就是

1- a 分位数X 1- a ；

F （入1）=0.5 a , 1- F （入2）=0.5 a ，所以双侧a 分位数入1

就

是0.5a 分位数X 0.5a ,双侧a 分位数入2就是1- 0.5a 分位 数 X

Y=X 2

的分布密度

P Y （y ）=

n2

y2 （n y ） 2

n 的F 分布的分布密

1- 0.5a 。

0.5 a , 1- 0.5a 分位数记作U 1- 0.5a 。

P{X

根据标准正态分布密度曲线的对称性， 当 a =0.5 时，U a =0 ； 当 a <0.5 时，U a <0。

U

a =- U

1- a 。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数， 则先查出U 1- a ,然后得到U a = -U 1- a 。

论述如下：当 X 〜N(0,1)时，P{X< U a }= F 0,1 (U a )= a ,

P{X< U 1- a }= F 0,1 (U 1- a )=1 - a , P{X> U 1- a }=1 - F 0,1 (U 1- a )= a ,

故根据标准正态分布密度曲线的对称性， U a = - U 1- a 。

2)标准正态分布的a 分位数记作U a ,

0.5 a 分位数记作U

当 X 〜N(0,1)时，P{XV U a }= F 0,i (U a )= a ,