数学物理方程——8 积分变换法

16
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
(3) 积分性质
L[ ∫
t 0
1 f (τ ) dτ ] = L[ f (t )]. p
t
证
设 ψ (t ) = ∫0 f (τ ) dτ , 故 ψ '( t ) = f ( t ). 由于 L[ψ '(t )] = pL[ψ (t )] −ψ (0).
(3) 求 L[e st ]
L[e ] = ∫ e ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ e
0
∞
−( p − s )t
1 −( p − s )t dt = − e p−s
∞ 0
1 . = p−s
下午9时10分
Re P > Re s
14
数学物理方法
第五章
积分变换法
2.1 Laplace变换的性质
∞
证明
F [ f ( x ) ⋅ g ( x )] =
−∞
∫
f ( x ) g ( x ) e − iω x d x
∞
1 = 2π 1 = 2π 1 = 2π
8
−∞
∫
g ( x ) e − iω x d x ∫ F (t ) e itx d t
−∞ +∞
+∞
∞
1 ∫ F (t )G (ω − t ) d t = 2π F ∗ G −∞
− pt
f (t )] + p ∫ e − pt f (t )dt
∞ 0 0
∞
= pL[ f (t )] − f (0).
一般地，
L[ f ( n ) (t )] = p n L[ f (t )] − p n −1 f (0) − p n − 2 f ' (0) − … − pf ( n − 2 ) (0) − f ( n −1) (0)
若 L[ f1 (t )] = F1 ( p) 和 L[ f 2 (t )] = F2 ( p)， (1) 线性性质
L[c1 f1 (t ) + c2 f 2 (t )] = c1Lf1 ( p ) + c2 Lf 2 ( p)
例
求
L[sin ωt ]
e iω t − e − iω t 1 ] = {L[e iωt ] − L[e −iωt ]} L[sin ωt ] = L[ 2i 2i 1 1 1 ω = [ − ]= 2 Re 2i p − iω p + iω p + ω 2.
1 1 x + at = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x−atψ (ξ )dξ 2 2a
10
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
2. Laplace变换 2.1 Laplace变换的定义
定
对于函数 f (t ) = 0 (t < 0),
F ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt
0 ∞
为从 f ( t )到 F ( p )的拉普拉斯变换，该积分为 拉普拉斯积分， 其中 p 为复数.
11
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
拉普拉斯变换存在定理: 若函数 f (t ) 满足下列条件： 在 t ≥ 0 的任意有限区间上分段连续； 当 t → +∞ 时，f (t ) 的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数
2
数学物理方法
第五章
积分变换法
1.2 Fourier变换的性质 1. Fourier变换及其逆变换是线性变换
F [α f + β g ] = α F [ f ] + β F [ g ]
F −1 ( F [α f + β g ] ) = F −1 (α F [ f ] + β F [ g ] )
2. 微分性
1 {L[ψ '(t )] +ψ (0)} = L[ψ (t )]. p
ψ (0) = ∫ f (τ ) dτ = 0
0
0
故
L[ ∫
t
0
1 f (τ ) dτ ] = L[ f (t )]. p
下午9时10分
17
数学物理方法
第五章
积分变换法
(4) 位移性质
L[e at f (t )] = F ( p − a), Re( p − a) > c.
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
拉普拉斯逆变换
1 σ + i∞ f (t ) = F ( p )e pt dp, 2π i ∫σ −i∞
p = σ + iω
又称 f (t )为 原函数 ⇔ F ( p )
为像函数
13
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
例2
(1) 求 L[1]
1 L[1] = ∫ 1 ⋅ e − pt dt = − e − pt 0 p
(5) 延迟性
L[ f (t − τ )] = e − pτ F ( p).
或
L [e
(6) 相似性质
−1
− pτ
F ( p )] = f (t − τ ).
1 p L[ f (at )] = F ( ), a > 0为常数. a a
18
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
(7) 卷积定理 定义 f(x) 和 g(x)的卷积为
5
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
卷积定理
设
F (ω ) = F [ f ( x)], G (ω ) = F [g ( x)] ，则
F [ f ( x ) ∗ g ( x ) ] = F (ω ) ⋅ G (ω )
或
F −1 [ F (ω ) ⋅ G (ω ) ] = F −1[ F (ω )] ∗ F −1 [G (ω )]
f (t ) ∗ g (t ) = ∫ f (τ ) g (t − τ )d τ， τ ≤ t ≤ ∞ ,0 ≤ τ ≤ ∞
0
t
则
L[ f (t ) ∗ g(t )] = F ( p) ⋅ G( p).
19
下午9时10分
数学物理方法
第五章
∞ − pt ∞
积分变换法
− pt t
L[ f (t ) ∗ g (t )] = ∫ e
F [ f ′( x )] = iω F (ω )
一般
若 lim f ( x) = 0
x →+∞
若 lim f（k）( x) = 0， =0,1, ,n-1， 则 k x →+∞
F[ f
(n)
( x )] = ( iω ) F (ω )
n
3
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
3. 积分性 若当
9
f(x − ξ ) ↔ F (ω )e−iωξ
F (ω ) ∫0 f( ξ )d ξ ↔ iω
x
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
Ψ (ω ) U (ω , t ) = Φ (ω ) cos aωt + sin aωt aω
eiaω t + e−iaω t Ψ (ω ) eiaω t − e−iaω t = Φ (ω ) + 2 aω 2i 1⎡ 1 ⎡ Ψ (ω ) iaω t Ψ (ω ) −iaω t ⎤ iaω t −iaω t ⎤ = Φ (ω )e + Φ (ω )e + − e ⎢ iω e ⎥ ⎦ 2a ⎣ iω 2⎣ ⎦
p>0
同理
15
p L[cos ωt ] = 2 p + ω 2.
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
(2) 微分性质
L[ f '(t )] = pL[ f (t )] − f (0).
证明
L[ f ' (t )] = ∫ f ' (t )e
0 ∞ − pt
dt = ∫ e
0
∞
− pt
df (t ) = [e
数学物理方法
第五章
积分变换法
1. Fourier变换 1.1 Fourier变换的定义
+∞ +∞
1 f ( x) = 2π
∫ ∫
−∞
(
−∞
f (τ )e −iωτ dτ )e iω x dω ,
（*）
傅里叶积分定理:设f 在 (−∞,+∞) 内满足下面两个条件：
+∞
（1）积分
−∞
∫
f ( x) dx 存在；
下午9时10分
−∞ ∞
∫
F (t ) d t ∫ g ( x ) e − i (ω − t ) x d x
−∞
数学物理方法
第五章
积分变换法
例1 解定解问题 2 ⎧ ∂ 2u 2 ∂ u , − ∞ < x < +∞, t > 0 ⎪ 2 =a 2 ⎪ ∂t ∂x ⎨ ⎪u ( x,0) = ϕ ( x), ∂u ( x,0) = ψ ( x), − ∞ < x < +∞ ⎪ ∂t ⎩ 解：利用傅立叶变换的性质 ′ f(x) ↔ F (ω ) f ′ ↔ iω F (ω ) (x) f ′(x) ↔ −ω 2 F (ω )
x → +∞
时,
−∞
∫
x
f (t ) dt → 0,
则
⎡x ⎤ 1 F ⎢ ∫ f (t )dt ⎥ = F [ f ( x)] ⎣ −∞ ⎦ iω
4. 位移性质
F [ f ( x ± x0 )] = e
± iω x0
F [ f ( x )]
F
−1
[ F (ω ∓ ω0 )] = e
± iω0 x
f ( x)
M > 0,
c ≥ 0 使得
f (t ) ≤ Me ct , 0 ≤ t ≤ +∞
成立，则 f (t ) 的拉普拉斯变换
+∞
F (s) =
∫
0
f (t )e − st dt = L[ f (t )]
在半平面 Re(s) > c上一定存在，其中的积分绝对且一致收敛， 及 F ( s ) 为解析函数。
12
−∞
−∞ ∞
∫
g (t ) d t ∫ f (ξ )e − iω (ξ + t ) d ξ
−∞
+∞
−∞
∫
g (t ) e − iω t d t ∫ f (ξ )e − iωξ d ξ
−∞
+∞
= F (ω ) ⋅ G (ω )
7
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
6. 乘积定理
1 F [ f ( x) ⋅ g ( x)] = F (ω ) ∗ G (ω ) 2π
⎧ d 2U (ω , t ) t>0 = − a 2ω 2U (ω , t ), ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ ⎪U (ω ,0) = Φ (ω ), dU (ω ,0) = Ψ (ω ), ⎪ dt ⎩ U (ω , t ) = A cos aωt + B sin aωt Ψ (ω ) B= U (ω , 0) = A = Φ (ω ) aω Ψ (ω ) U (ω , t ) = Φ (ω ) cos aωt + sin aωt aω
f(x − ξ ) ↔ F (ω )e−iωξ x F (ω ) ∫0 f( ξ )d ξ ↔ iω
x − at 1 1 ⎡ x + at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ψ (ξ )dξ − ∫ ψ (ξ )dξ ⎤ ⎥ 0 ⎣ ⎦ 2 2a ⎢ ∫0
6
下午9时10分
数学物理方法
∞
第五章
积分变换法
证明
F [ f ( x ) ∗ g ( x )] =
∞ +∞
−∞
∫
f ( x ) ∗ g ( x ) e − iω x d x
− iω x
= = = =
−∞ −∞ ∞
Байду номын сангаас
∫∫ ∫
f ( x − t ) g (t ) d t e
+∞
dx
−∞ ∞
g (t ) d t ∫ f ( x − t )e − iω x d x
4
下午9时10分
数学物理方法
第五章
+∞
积分变换法
5.
卷积性质 如果对于f(x)与g(x), 使得
−∞
∫
f ( x − t ) g (t )dt
存在，则定义f(x)与g(x)的卷积为
f ∗ g ( x) =
Δ
+∞
−∞
∫
f ( x − t ) g (t )dt
f ∗g = g∗ f f ∗ ( g ∗ h) = ( f ∗ g ) ∗ h f ∗ ( g + h) = f ∗ g + f ∗ h
0
f (t ) ∗ g (t )dt = ∫ e [∫ f (τ ) g (t − τ )dτ ]dt.
0 0
积分在 0 ≤ τ ≤ t ,0 ≤ t < ∞ 进行, 则
（2） f(x) 在 (−∞,+∞) 内满足狄里克莱条件：在任意有限 区间至多有有限个第一类间断点,而且只有有限个极值点，则 足上面的傅里叶积分公式（*）
1
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
定义： 如果 f(x) 满足傅里叶积分定理的条件，则定义 的傅里叶变换为
+∞
f(x)
F (ω ) =
−∞
∫
f ( x)e −iωx dx
= F [ f (x)]
定义
F (ω ) 的傅里叶逆变换为
1 f ( x) = 2π
+∞ −∞
∫ F (ω )e
iω x
dω
−1
=F
−1
[ F (ω )]
Fourier积分定理可以写为
F [ F [ f ( x )]] = f ( x )
（反演公式）
下午9时10分
∞ ∞ 0
=
1 . p
(2) 求 L[t ]
1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt 1 ∞ − pt 1 − pt L[t] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ t ⋅ d(e ) = − [t ⋅ e ] 0 + ∫ e dt = ∫ e dt = 2 . 0 p 0 p p 0 p0 p
− pt ∞