模糊数学2009-1(基本定义)(精)
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参考教材
3
公共邮箱
课件、资料 mohushuxue@gmail.com
密码：fuzzysets2009
请同学不要修改密码，谢谢！
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4
讨论
Why are we here?
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5
概念、内涵、外延
概念：青菜 内涵：概念具有哪些特征
吉林大学计算机科学与技术学院
29
模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示 A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+0.50/Jackson + 0.60/ Spielberg
30
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22
模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ，
我们说μA确定一个X的模糊子集A， μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度， 称为x对A的隶属度。
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23
模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画 Question. 什么时候模糊集合退化成 普通集合？
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24
1-2 模糊子集的表示方法
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25
模糊集合的表示方法
论域
论域——有限集
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5}
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9
概念与集合
从论域“人”中挑出所有男子，构 成论域的一个子集A
A是概念“男子”的
外延 是概念“男子”的集合表现
概念可以用集合来表示
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10
概念与集合
给定论域X，设a为X上一概念，则a的外 延是论域X的
一个子集A 对于X中任一元素x来说，
一种植物，绿色，一般叶子直立，可 食用
油菜、空心菜、韭菜、葱、菠菜等等
6
外延：概念的实例
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概念、内涵、外延
概念要通过词语表现出来，概念的词语 表现叫做——“名称” 每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延
适合这个概念的一切对象的范围
这个概念所反映的对象的本质属性的总和
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
1, x A A ( x) 0, x A
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13
特征函数—隶属程度
XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
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模糊数学
孙舒杨 Email. sysun@jlu.edu.cn
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1
课程设置
学时：32 学分：2
考试形式：考察
出席情况（10%）； 作业情况（20%）； 结课考察（70%）；
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2
教材
使用教材
杨纶标，高英仪. 《模糊数学原理及 应用》（第四版），华南理工大学出 版社，2006. 罗承忠. 《模糊集引论》(上册)，北 京师范大学出版社，2005.
14
非此即彼？
“高个子” “年轻”
现实世界中的很多概念具有模糊性
模糊性：客观事物差异的中间过渡 中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
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15
模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
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表示方法3：
32
模糊集合表示方法（无限论域）
当论域X为无限集时，上面的记法 失效 将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
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33
表示方法说明
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概念的内涵
7
集合
集合与概念是什么关系？
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8
论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male” 在论域“monkey”上，讨论概念 “male”
浓密头发——头发的准确根数
宽边眼镜——眼镜的边宽厘米数 中年——准确年龄
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44
模糊数学的应用领域
农业、林业、气象、环境、地质勘 探、军事、经济、生物、心理学、 结构力学，等等
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45
家用电器与模糊数学
模糊控制技术
空调、电冰箱、洗衣机 微波炉、电饭煲
39
三大数学模型
处理现实对象的数学模型可分为三 大类：
确定性数学模型。背景对象具有确定 性or固定性； 随机性数学模型。背景对象的发生具 有或然性or 随机性； 模糊性数学模型。背景对象及其关系 均具有模糊性。
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40
附：模糊有什么用？
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37
隶属函数 vs. 概率
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38
共同点&区别
共同点
均在[0, 1]闭区间上取值 概率：研究“随机性”，虽然事件的发生 与否不确定，但是事件是确定的。 隶属函数：研究“模糊性”，研究对象本 身就是不分明的。
区别
以下雨为例
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“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
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28
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama II , Albert Einstein, Michael Joseph Jackson, Steven Allan Spielberg } 模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.5， 0.60
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46
模糊洗衣机
第一个应用模糊系统的消费产品 日本松下电子工业公司，1990
根据污物的种类、数量、机器负载 量，运用模糊系统，自动设定正确 的洗衣周期。
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47
仙台地铁
模糊系统最显著的应用 南北线全长13.6公里，途径16个站 点，运行非常平稳 模糊控制系统同时考虑4个性能指标
41
范例
去某地接具有如下特征的一个人
大胡子、高个子、浓密头发、戴宽边 黑色眼镜、中年、男人
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42
派谁去？
人类
没问题，人脑进行综合分析判断 要求输入该人各项指标的精确信息
机器人
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43
精确信息
大胡子——胡子的准确根数 高个子——准确身高
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51
参考文献
[1] Zadeh L A, Fuzzy Sets, Information Control 8, 338-353, 1965. 文献下载地址：http://wwwbisc.cs.berkeley.edu/zadeh/pape...20Sets1965.pdf Zadeh 的若干文章下载地址： http://wwwbisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/
16
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如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1 打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
如何亦此亦彼？
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17
开山之作
1965年,美国控制论专家L.A.Zadeh 发表开创性论文“Fuzzy Sets”[1]， 标志模糊数学的诞生
表示方法1的说明
A=∑i=1n μi / xi
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度
当隶属度为0时，该项可以不写入
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31
表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.50, Jackson), (0.60, Spielberg)} A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.50, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
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18
什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
模糊集合论
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19
第一章 模糊集合的基本概念
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20
1-1 模糊子集与隶属函数
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21
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0， 1}推广到[0，1]
作业1
设论域为实数集R，用特征函数表 示下列集合，并做出特征函数图像：
大于2小于5的实数； 小于10的素数； 圆x2+y2=1以及圆内的点（论域为 R×R)，给出特征函数即可。
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50
作业2
论域X=[0,24]表示时间(h)，试根据 你的经验绘出表示“拂晓”、“中 午”、“晚上”三个模糊概念的模 糊集的隶属函数曲线。
安全性、乘坐舒服性、 目标速度的可跟踪性、停车距离的准 确性
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48
模糊数学方法的范例
模糊聚类分析——土壤分类、市场 分析
模糊模型识别——识别当前的通货 膨胀程度、害虫危害程度 模糊决策——评选先进工作者
模糊线性规划——生产规划
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49
x符合概念a x A
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11
经典集合论
经典集合论中，元素x与集合A的关 系是什么？
x属于集合A x不属于集合A
x符合概念a x不符合概念a
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元素x与概念a的关系是什么？
12
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集 A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
论域——无限集 例如：X=[0, 100]
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26
模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为 μA ， μi =μA(xi) 模糊子集A如何表示？
wenku.baidu.com
三种表示方法
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27
表示方法1
35
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“年轻”与“年老”的隶属函数曲 线
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36
x 25 2 1 [1 ( ) ] 1 5 Y x x[25,200] x x[0,25] x 50 2 1 [1 ( ) ] 0 5 O x x[50,200] x x[0,50]
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52
A = ∫x∈X μA(x) / x
这里的积分号不表示积分，也不表 示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
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34
例子（无限论域）
以年龄为论域，取X=[0, 200] 考虑两个模糊概念：年轻，年老
年龄段——肯定符合“年轻”的概念？
年龄段——肯定不符合“年老”的概 念？
参考教材
3
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讨论
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概念、内涵、外延
概念：青菜 内涵：概念具有哪些特征
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29
模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示 A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+0.50/Jackson + 0.60/ Spielberg
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22
模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ，
我们说μA确定一个X的模糊子集A， μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度， 称为x对A的隶属度。
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23
模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画 Question. 什么时候模糊集合退化成 普通集合？
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24
1-2 模糊子集的表示方法
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25
模糊集合的表示方法
论域
论域——有限集
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5}
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9
概念与集合
从论域“人”中挑出所有男子，构 成论域的一个子集A
A是概念“男子”的
外延 是概念“男子”的集合表现
概念可以用集合来表示
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10
概念与集合
给定论域X，设a为X上一概念，则a的外 延是论域X的
一个子集A 对于X中任一元素x来说，
一种植物，绿色，一般叶子直立，可 食用
油菜、空心菜、韭菜、葱、菠菜等等
6
外延：概念的实例
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概念、内涵、外延
概念要通过词语表现出来，概念的词语 表现叫做——“名称” 每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延
适合这个概念的一切对象的范围
这个概念所反映的对象的本质属性的总和
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
1, x A A ( x) 0, x A
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13
特征函数—隶属程度
XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
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课程设置
学时：32 学分：2
考试形式：考察
出席情况（10%）； 作业情况（20%）； 结课考察（70%）；
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教材
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14
非此即彼？
“高个子” “年轻”
现实世界中的很多概念具有模糊性
模糊性：客观事物差异的中间过渡 中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
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模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
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表示方法3：
32
模糊集合表示方法（无限论域）
当论域X为无限集时，上面的记法 失效 将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
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表示方法说明
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概念的内涵
7
集合
集合与概念是什么关系？
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论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male” 在论域“monkey”上，讨论概念 “male”
浓密头发——头发的准确根数
宽边眼镜——眼镜的边宽厘米数 中年——准确年龄
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模糊数学的应用领域
农业、林业、气象、环境、地质勘 探、军事、经济、生物、心理学、 结构力学，等等
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家用电器与模糊数学
模糊控制技术
空调、电冰箱、洗衣机 微波炉、电饭煲
39
三大数学模型
处理现实对象的数学模型可分为三 大类：
确定性数学模型。背景对象具有确定 性or固定性； 随机性数学模型。背景对象的发生具 有或然性or 随机性； 模糊性数学模型。背景对象及其关系 均具有模糊性。
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附：模糊有什么用？
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隶属函数 vs. 概率
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共同点&区别
共同点
均在[0, 1]闭区间上取值 概率：研究“随机性”，虽然事件的发生 与否不确定，但是事件是确定的。 隶属函数：研究“模糊性”，研究对象本 身就是不分明的。
区别
以下雨为例
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“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
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28
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama II , Albert Einstein, Michael Joseph Jackson, Steven Allan Spielberg } 模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.5， 0.60
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46
模糊洗衣机
第一个应用模糊系统的消费产品 日本松下电子工业公司，1990
根据污物的种类、数量、机器负载 量，运用模糊系统，自动设定正确 的洗衣周期。
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47
仙台地铁
模糊系统最显著的应用 南北线全长13.6公里，途径16个站 点，运行非常平稳 模糊控制系统同时考虑4个性能指标
41
范例
去某地接具有如下特征的一个人
大胡子、高个子、浓密头发、戴宽边 黑色眼镜、中年、男人
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42
派谁去？
人类
没问题，人脑进行综合分析判断 要求输入该人各项指标的精确信息
机器人
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43
精确信息
大胡子——胡子的准确根数 高个子——准确身高
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51
参考文献
[1] Zadeh L A, Fuzzy Sets, Information Control 8, 338-353, 1965. 文献下载地址：http://wwwbisc.cs.berkeley.edu/zadeh/pape...20Sets1965.pdf Zadeh 的若干文章下载地址： http://wwwbisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/
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如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1 打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
如何亦此亦彼？
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17
开山之作
1965年,美国控制论专家L.A.Zadeh 发表开创性论文“Fuzzy Sets”[1]， 标志模糊数学的诞生
表示方法1的说明
A=∑i=1n μi / xi
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度
当隶属度为0时，该项可以不写入
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31
表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.50, Jackson), (0.60, Spielberg)} A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.50, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
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什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
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第一章 模糊集合的基本概念
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20
1-1 模糊子集与隶属函数
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21
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0， 1}推广到[0，1]
作业1
设论域为实数集R，用特征函数表 示下列集合，并做出特征函数图像：
大于2小于5的实数； 小于10的素数； 圆x2+y2=1以及圆内的点（论域为 R×R)，给出特征函数即可。
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50
作业2
论域X=[0,24]表示时间(h)，试根据 你的经验绘出表示“拂晓”、“中 午”、“晚上”三个模糊概念的模 糊集的隶属函数曲线。
安全性、乘坐舒服性、 目标速度的可跟踪性、停车距离的准 确性
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模糊数学方法的范例
模糊聚类分析——土壤分类、市场 分析
模糊模型识别——识别当前的通货 膨胀程度、害虫危害程度 模糊决策——评选先进工作者
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49
x符合概念a x A
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经典集合论
经典集合论中，元素x与集合A的关 系是什么？
x属于集合A x不属于集合A
x符合概念a x不符合概念a
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元素x与概念a的关系是什么？
12
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集 A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
论域——无限集 例如：X=[0, 100]
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模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为 μA ， μi =μA(xi) 模糊子集A如何表示？
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三种表示方法
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表示方法1
35
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“年轻”与“年老”的隶属函数曲 线
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x 25 2 1 [1 ( ) ] 1 5 Y x x[25,200] x x[0,25] x 50 2 1 [1 ( ) ] 0 5 O x x[50,200] x x[0,50]
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52
A = ∫x∈X μA(x) / x
这里的积分号不表示积分，也不表 示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
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34
例子（无限论域）
以年龄为论域，取X=[0, 200] 考虑两个模糊概念：年轻，年老
年龄段——肯定符合“年轻”的概念？
年龄段——肯定不符合“年老”的概 念？