《简谐运动》典型案例分析

《简谐运动》典型案例分析
《简谐运动》典型案例分析
人类生活在运动的世界里,振动就是其中一种较为常见的形式,如图所示的钟表利用了钟摆的振动来进行计时,蹦极运动的运动员利用弹性绳沿竖直方向上下运动,琴弦的振动让人们欣赏到优美的音乐,地震可能会给人类带来巨大的灾难……振动现象比比
皆是,与我们的生活密切相关。

因此,认识并理解振动,掌握物体振动的规律很有必要。

振动的物体千姿百态,各物体的振动情况也不尽相同,不可能对所有物体的振动规律全部描述一遍,但我们仍用研究问题的基本方法来研究振动——将复杂的振动看成
几个简单振动的合振动。

在本章中,我们着重分析两种最简单的振动模型,学习如何描述振动,掌握两种简单振动
模型所具有的性质。

课时11.1 简谐运动
1.知道什么是弹簧振子,领会弹簧振子是理想化模型。

2.通过观察和分析,理解简谐运动的位移—时间图象是一条正弦曲线。

3.经历对简谐运动的运动学特征的探究过程,加深领悟用图象描绘运动的方法。

重点难点:理解简谐运动的概念,理解简谐运动位移—时
间图象的意义。

教学建议:对于本节课的教学,首先通过学生身边和
生活中实际的例子引出振动的概念;而后按从简单到复杂、从特殊到一般的思路,从运动学的角度认识弹簧振子,通
过演示实验得出弹簧振子的振动图象;再通过数据分析揭示出弹簧振子的位移—时间图象是正弦曲线,然后从其运动学特征给出简谐运动的定义,并进一步引导学生认识简谐运动是一种较前面所学的直线运动、曲线运动更复杂的机械运动;最后回归生活和应用举例,使学生知道机械振
动是一种普遍的运动形式。

导入新课:随着社会经济的发展,我国高层建筑与超
高层建筑越来越多。

高层建筑受地面震动和风力的影响
较大,其力学稳定性很重要。

建筑受到风荷载的作用,高
度增加,横向振幅增大。

例如,100层建筑横向振幅达1m
左右。

从本节开始,我们要学习物体振动所遵循的规律。

1.弹簧振子
(1)平衡位置:做往复运动的物体原来①静止时的位
置叫作平衡位置。

(2)机械振动:物体(或者物体的一部分)在②平衡位
置附近所做的③往复运动,叫作机械振动,简称④振动。

(3)弹簧振子:把一个有孔的小球装在弹簧的一端,弹
簧的另一端固定,小球穿在⑤光滑的杆上,能够自由滑动,两者之间的⑥摩擦可以忽略,弹簧的⑦质量与小球相比也可以忽略。

把小球拉离平衡位置后放开,小球便做机械振动,这样的系统称为弹簧振子。

2.弹簧振子的位移—时间图象
用横坐标表示振子运动的⑧时间,纵坐标表示振子运动的⑨位移,然后用频闪照相法可以得到振子在⑩平衡位置附近往复运动的位移—时间图象。

3.简谐运动及其图象
(1)简谐运动:如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图象是一条正弦曲线,这样的振动叫作简谐运动。

(2)简谐运动是最简单、最基本的振动,弹簧振子的振动就是简谐运动。

1.弹簧振子作为物理模型忽略了哪些因素?
解答:弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力,不考虑弹簧的质量,不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型。

2.振动图象是一种怎样的图象?
解答:振动图象表示振子的位移随时间变化的规律,即位移—时间图象,也叫振动曲线。

3.简谐运动的振动图象具有什么特点?
解答:理论和实验证明,所有简谐运动的振动图象都
是正弦或余弦曲线。

主题1:机械振动的特征
问题:(1)机械振动的轨迹一定是直线吗?若不是,请
讨论后举例说明。

(2)做机械振动的物体,其空间位置随时间的推移有
何规律?
(3)做机械振动的物体离开平衡位置后受力有何特点?力的作用效果是什么?
解答:(1)不一定;光滑小球在一个碗的底部的往复运动属于机械振动,但轨迹是曲线。

(2)空间位置随时间的推移具有往复性的变化规律。

(3)受到一个指向平衡位置的力;力的作用效果是使
物体回到平衡位置。

知识链接:振动的物体可能做直线运动,也可能做曲
线运动。

主题2:简谐运动中的位移
情景:
图示为放在光滑水平面上在A、B间运动的弹簧振子。

问题:(1)小球从O运动到B的过程中和从B运动到O 的过程中途经C时,其相对平衡位置的位移(填“相同”或“不相同”),所受合外力(填“相同”或“不相同”)。

(2)若C点和D点关于位置O对称,则小球在C点和D 点的位移有什么关系?与小球的速度方向有关吗?
解答:(1)相同相同
(2)位移大小相等,方向相反;与小球速度无关。

知识链接:简谐运动中的位移更像是某时刻振子的位置,是指相对平衡位置的位移,与振子的速度方向无关。

主题3:简谐运动中的速度
情景:如图所示的弹簧振子,小球在水平方向做简谐运动,O点为小球的平衡位置,A、B为其左右两端的最大位移位置。

问题:(1)小球由O点向A点和由O点向B点运动的过程中,小球的速度如何变化?
(2)同理分析小球由A点到O点和由B点到O点运动的过程中速度的变化情况,总结出简谐运动中小球速度的变化特点。

解答:(1)小球由O点向A点和由O点向B点运动的过程中,小球的速度均逐渐变小。

(2)小球由A点到O点和由B点到O点运动的过程中,速度均逐渐变大;在简谐运动中,小球离开平衡位置的过程速度变小,靠近平衡位置的过程速度变大。

知识链接:做简谐运动的物体,在平衡位置处速度最大,最大位移处速度为零。

主题4:振动图象
情景:在运动学中,我们曾用x-t图象直观地描述了物体运动的位移和时间的关系。

做简谐振动的小球离开平衡位置的位移在不断变化,那么我们也可以用x-t图象来描述做简谐振动的物体离开平衡位置的位移和时间的关系。

问题:(1)观察图甲,并认真分析。

在绘制弹簧振子的x-t图象的过程中采用了何种物理方法?为什么要让纸条匀速运动?请说明绘制出的图象的物理意义。

甲乙
(2)图乙为某弹簧振子的位移图象,若此图象为正弦曲线,则弹簧振子的振动周期为多少?振动过程中振子离开平衡位置的最大位移为多少?根据数学知识写出此正弦函数的方程式。

解答:(1)描迹法;让纸条匀速运动是为了把振子经历的时间均匀地展开;绘制出的图象表示振子在各个时刻离开平衡位置的位移。

(2)2πs;10cm;y=10sint(cm)。

知识链接:通过振动图象可以知道振子离开平衡位置的最大距离和振动周期,还可以根据图象走势判断振子某时刻的速度方向。

1.(考查简谐运动中各物理量的变化规律)一弹簧振子在
水平面内做简谐运动,当振子每次经过非平衡位置的同一位置时,不一定相同的物理量是( )。

A.速度
B.合力
C.位移
D.加速度
【解析】只要振子离开平衡位置,其位移一定由平衡位置指向振子所在的位置;所受弹簧的弹力(即合力)一定指向平衡位置,加速度也指向平衡位置,而且同一位置大小一定;速度大小虽然一定,但方向可能指向平衡位置,也可能背离平衡位置,所以方向不一定相同。

B、C、D错,A 选项正确。

【答案】A
【点评】做简谐运动的物体经过同一位置时,可能正远离平衡位置,也可能正靠近平衡位置,速度方向不同,但位移、合力、加速度的方向都相同。

2.(考查简谐运动的位移)如图所示,O点是弹簧振子的平衡位置,当振子由A向O运动时,下列说法中正确的是( )。

A.振子的位移在减小
B.振子的运动方向向左
C.振子的位移方向向左
D.振子的位移大小在增大
【解析】由于振子在O点的右侧由A向O运动,所以振子的位移方向向右,且大小在不断减小,故正确答案为
A、B。

【答案】AB
【点评】对于简谐运动,位移的参考点均是平衡位置。

3.(考查从图象读取信息的能力)在弹簧振子的小球上安
置一记录用的铅笔P,在下面放一条白纸带,当小球振动
时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带,铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。

若振动曲线如图所示,假设向右为正方向,则下列说法正确的是( )。

A.振子偏离平衡位置的最大距离为10cm
B.1s末到2s末振子速度方向为负
C.2.5s末和3.5s末振子的位移相同,运动方向也相
同
D.振子在4.5s时所受的合力为正
【解析】由图象可知,A对;1s末到2s末振子的位移越来越小,且正向平衡位置运动,速度为负,B对;2.5s末
和3.5s末振子的位移相同,但速度方向相反,C错;由图象可知,振子在4.5s时所受合力方向指向平衡位置,为负,D 错。

【答案】AB
【点评】要注意根据位移的变化趋势判断速度方向。

4.(考查由图象确定加速度的方向)在水平方向上做简谐
运动的质点其振动图象如图所示,假设向右为正方向,则
物体正在向右加速的时间是( )。

A.0~1s
B.1s~22s~3sD.3s~4s
【解析】物体向右加速说明物体正在从负向最大位移处向平衡位置运动,根据图象可以判断在3s~4s内物体向右做加速运动,D正确。

【答案】D
【点评】要注意向右运动与向右加速运动的时间段不同。

拓展一:简谐运动的平衡位置、位移变化规律和速度变化规律
1.如图所示,在一个竖直悬挂的轻弹簧下方挂一个小球做成一个弹簧振子,在O处弹簧处于自然状态,悬挂小球后小球可静止于O'处。

将小球拉到B处后放手,小球即可在A、B之间往复运动,若小球从B处返回到平衡位置的过程中途径C处,则下列说法中正确的是( )。

A.O为平衡位置
B.小球从B处返回到平衡位置的过程中经C处时速度方向向上
C.小球从B处返回到平衡位置的过程中经C处时所受合力方向向上
D.小球从B处返回到平衡位置的过程中经C处时离开平衡位置的位移方向向上
【分析】确定平衡位置是解答本题的关键。

注意平衡位置是振动前小球静止的位置,也就是合力为零的位置。

在简谐运动问题中,质点的位移都是相对于平衡位置而言的。

【解析】小球在平衡位置时所受合力为0,O'为平衡
位置,A选项错误;小球从B处返回到平衡位置的过程中向O'运动,速度方向向上,B正确;小球在C处时所受弹簧的
弹力向上,且大于重力,合力方向向上,C对;小球在C处时离开平衡位置的位移为O'C,方向向下,D选项错误。

【答案】BC
【点拨】平衡位置一定是振子沿运动方向所受合力为零的位置;位移一定要抓住“离开平衡位置的位移”这个要点;运动方向即为速度方向。

拓展二:简谐运动图象的有关问题
2.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的图象如图所示,则质点( )。

A.第1s末与第3s末的位移相同
B.第1s末与第3s末的速度相同末至8s末路程为
10cm
D.3s末至5s末速度方向不变
【分析】从振动图象可以看出各时刻位移的大小、正负以及变化情况。

判断位移是否相同时一定要看其大小、
方向是否都相同;简谐运动的速度具有对称性,位移大小相同的位置速度大小也相等,但速度方向要根据位移的变化来判断。

【解析】由图象可以看出,t=1s和t=3s两时刻位移相同,A选项正确;第1s末和第3s末的速度方向不同,B 选项错误;仍由图象可知,4s末至8s末质点路程为
s=2×5cm=10cm,C选项正确;3s末至5s末速度方向不变,D 选项正确。

【答案】ACD
【点拨】将位移图象和振动物体的位移变化情况一一对应是解决图象问题的关键,要能在位移图象中准确地找出振动物体在平衡位置和离开平衡位置的最大距离处的时刻。

一、物理百科
微波炉是怎样给食物加热的?
微波(Microwaves)就是频率介于
300MHz~300000MHz(波长介于0.1cm~100cm)的电磁波。

微波炉就是利用微波的能量给食物加热,由微波的能量转变为食物的内能。

在水分子(H2O)中,H2的一端带正电,而O的一端带负电。

微波通过食物时,微波的电场就对水分子产生作用力,令水分子的正负两端急剧地扭转振动,如图所示,这振动就导致摩擦生热,迅速将食物煮熟。

微波炉的微波频率为2450MHz,这是使水分子振动的最有效频率。

瓷质盛器中没有水分子,也没有一端正一端负的其他分子,微波炉的电场不能使其分子运动,故不会被加热。

反之,金属盛器中具有大量的自由电子,自由电子受到微波的电场而轻易运动,善于吸收微波的能量而受热。

故不要用金属器皿装食物放入微波炉中。

二、备用试题
1.简谐运动是( )。

A.匀变速运动
B.匀速直线运动
C.非匀变速运动
D.匀加速直线运动
【解析】简谐运动的速度是变化的,B错。

加速度a 也是变化的,A、D错,C对。

【答案】C
2.关于简谐运动,下列说法正确的是( )。

A.简谐运动一定是水平方向的运动
B.所有的振动都可以看作是简谐运动
C.物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形状的轨迹线
D.只要振动图象是正弦曲线,物体就是做简谐运动
【解析】物体的简谐运动并不一定在水平方向发生,各个方向都有可能发生,A错。

简谐运动是最简单的振
动,B错。

做简谐运动的物体的轨迹线并不是正弦曲线,C 错。

如果物体振动的图象是正弦曲线,则物体做简谐运动,D对。

【答案】D
3.图示是质点做简谐运动的图象,由此可知( )。

A.t=0时,质点位移、速度均为零
B.t=1s时,质点位移最大,速度为零2s时,质点的位移为零,速度为负向最大值
D.t=4s时,质点停止运动
【解析】当t=0时,质点的位移为零,此时质点在平衡位置,具有沿x轴正方向的最大速度,故选项A错误。

当t=1s时,质点的位移最大,此时质点振动到平衡位置正方向的最大位移处,速度为零,选项B正确。

当t=2s时,质点的位移为零,质点在平衡位置,具有沿x轴负方向的最大速度,因此选项C正确。

当t=4s时,质点位移为零,质点在平衡位置,具有沿x轴正方向的最大速度,故选项D错误。

【答案】BC
4.图示为弹簧振子的振动图象,关于振子的振动,下列描述正确的是( )。

A.振子沿如图所示的曲线运动
B.图象描述的是振子在任意时刻的位移
C.在0.5s到1.5s内振子先加速运动后减速运动
D.在1s到2s内振子先减速运动后加速运动
【解析】振动图象表达的是振子的位移随时间的变化规律,不是运动轨迹,选项A错、B对。

振子运动到平衡位置时速度最大,由图象得出:0.5s时振子在平衡位置,1s 时在负的最大位移处,1.5s时又回到平衡位置,2s时在正的最大位移处,所以在0.5s到1.5s内振子先减速运动后加速运动,C错。

在1s到2s内振子先加速运动后减速运动,D错。

【答案】B
1.下列运动属于振动的是( )。

A.活塞在汽缸中的往复运动
B.拍皮球时,皮球的上下往复运动
C.儿童在蹦蹦床上的往复运动
D.小球在左右对称的两个光滑斜面上来回滚动
【解析】左右对称的两个光滑斜面的底端是物体的平衡位置,物体在平衡位置附近所做的往复运动叫振动,D 正确;A、B、C找不到平衡位置,故A、B、C选项错误。

【答案】D
2.做简谐振动的弹簧振子可能同时为负的物理量为( )。

A.位移和速度
B.合力和速度
C.位移和合力
D.加速度和位移
【解析】从平衡位置向负向最大位移处运动的过程中位移和速度方向同时为负,选项A正确;从正向最大位移处向平衡位置运动的过程中合力和速度同时为负,选项B 正确;对弹簧弹力的特性分析可知,弹力和弹簧形变量的方向总是相反,故C、D选项错误。

【答案】AB
3.图示为一质点做简谐运动的图象,则在t时刻这个质点( )。

A.正在向平衡位置运动
B.正在加速
C.正在背离平衡位置运动
D.正在减速
【解析】由简谐运动图象可知,在t时刻这个质点正在离开平衡位置向负向最大位移处运动,C对;t时刻质点的速度方向和合力的方向相反,质点做减速运动,故D选项正确。

【答案】CD
4.图示为一弹簧振子,O为平衡位置,设向右为正方向,振子在B、C之间振动时( )。

A.B→O时位移为负,速度为正
B.O→C时位移为正,加速度为正→O时位移为负,加
速度为正
D.O→B时位移为负,速度为正
【解析】B→O时,振子在O点的左侧向右运动,其位移是负值,速度是正值,故A对。

O→C时,振子在O点的右侧向右运动,其位移和速度都是正值,而加速度指向左侧,是负值,故B错。

C→O时,振子在O点的右侧向左运动,其位移是正值,加速度指向左侧,是负值,故C错。

O→B时,振子在O点的左侧向左运动,其位移是负值,速度是负值,故D错。

【答案】A
5.图示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移-时间图象,下列有关该图象的说法正确的是( )。

A.该图象的坐标原点在弹簧振子的平衡位置
B.从图象可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移,让底片沿垂直于x轴的方向匀速运动
D.图象中小球的疏密显示出相等时间内小球位置变化快慢的不同
【解析】从图象中能看出坐标原点在平衡位置,A项对;横轴虽然是由底片匀速运动得到的,但已经转化为对应的时间,小球只在x轴上振动,所以B项错,C项对;因图
象中相邻小球之间时间间隔相等,疏处说明位置变化快,而密处说明位置变化慢,D项对。

【答案】ACD
6.图示为一个弹簧振子做简谐运动的位移图象,从图象中可以看出,此振子离开平衡位置的最大距离为cm;在F时刻振子的速度方向为(填“正”或“负”);和F时刻振子的速度方向一致的时刻有
(填“A”“B”“C”“D”或“E”);在F时刻振子的位移方向为(填“正”或“负”);在F时刻振子的合力方向为(填“正”或“负”)。

【解析】从图象上可以看出离开平衡位置的最大距离为0.4m,即40cm;在F时刻振子正在从负向最大位移处向平衡位置运动,速度方向为正;B时刻振子正在从负向最
大位移处向平衡位置运动,速度方向为正,C时刻振子正
在从平衡位置向正向最大位移处运动,速度方向也为正;振子位移是指离开平衡位置的位移,在F时刻振子的位移方向为负;弹簧的弹力即振子的合力为正。

【答案】40 正B、C 负正
7.下列说法正确的是( )。

A.弹簧振子的运动是简谐运动
B.简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种
C.简谐运动中位移的方向总是指向平衡位置
D.简谐运动中位移的方向总与速度方向相反
【解析】弹簧振子的运动就是简谐运动,但简谐运动有许多种,如水中浮标上下微小的浮动,后面将要学习的单摆在空气中的小角度摆动都是简谐运动,它是机械振动中最基本、最简单的一种,而机械运动中最基本、最简单的是匀速直线运动,因此A正确,B错误。

振动中位移总是相对于平衡位置而言的,而它总是从平衡位置开始,背离平衡位置的,所以C错误。

虽然位移方向总背离平衡位置,但速度具有“双向性”,当质点远离平衡位置运动时,它与位移方向相同;质点向平衡位置运动时,它与位移方向相反,所以D错误。

【答案】A
8.图示为某物体做简谐运动的图象,下列说法中正确的是( )。

A.由P→Q位移在增大
B.由P→Q速度在增大
C.由M→N位移是先减小后增大
D.由M→N位移始终减小
【解析】物体经过平衡位置向正方向运动,先后经过P、Q两点,故位移增大,速度减小;物体从正方向最大位
移处向负方向运动,先后经过M、N两点,且N点在平衡位置另一侧,故从M→N位移先减小后增大。

【答案】AC
甲
9.如图甲所示,一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O是平衡位置,以某时刻为计时起点(t=0),此时刻振子具有正向的最大合力,则图乙中的四个振动图线,能正确地反映振子的振动情况的是( )。

乙
【解析】弹簧的弹力方向和弹簧形变量的方向总是相反,振子具有正向的最大合力,说明此时x为负向最大值,即振子从负向最大位移处开始振动,B正确。

【答案】B
10.弹簧振子的质量m=0.2kg,在水平方向做简谐运动,当它运动到平衡位置左侧x1=2cm的位置时,受到弹簧弹力的大小为F1=4N。

当它运动到平衡位置右侧x2=4cm 的位置时,它的加速度是多少?方向如何?
【解析】根据胡克定律F=-kx可得,弹簧的劲度系数k==N/cm=2N/cm
当振子运动到平衡位置右侧x2=4cm的位置时,弹簧弹力F2=kx2=2×4N=8N
振子加速度大小a==m/s2=40m/s2,方向向左。

【答案】40m/s2,方向向左如图所示,简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f6个点,其中:
(1)与a点位移相同的点有哪些?
(2)与a点速度相同的点有哪些?
(3)从a点到c点的过程中,质点经过的路程为多少?
【解析】(1)分析图象可得a、b、e、f点的位移均为
1cm。

c、d点的位移都是-1cm,故与a点位移相同的点为b、
e、f三点。

(2)由(1)可知,图象上的a、b、e、f点对应质点运
动到同一位置,图象上的c、d点对应质点运动到关于O
点对称的另一位置,故以上6个点的速度大小相等。

再结合图象可以判断a、b、c、d、e、f6个点的运动方向分
别为向上、向下、向下、向上、向上和向下,故与a点有相同速度的点为d和e。

(3)从a点到b点的过程中,对应质点先从正方向1cm 处到正方向2cm处,然后又返回到正方向1cm处,通过的路程为2cm。

从b点到c点的过程中,对应质点从正方向1cm 处经平衡位置运动到负方向1cm处,通过的路程也为2cm,故从a点到c点通过的路程总共为4cm。

【答案】(1)b、e、f (2)d和e (3)4cm
12.如图所示,一根劲度系数为k=200N/m的轻弹簧下端固定在地面上,并竖立在水平面上,O为自然状态。

在其上
端固定一个质量为m=2kg的小球,然后将小球竖直向上拉起到OA=20cm的位置后由静止释放,小球便在竖直方向上
做简谐运动。

已知OB=20cm,取向上为正,g=10m/s2,则:
(1)小球离开平衡位置的最大距离为多大?
(2)小球在B位置的位移为多大?
(3)小球在B处所受外力的合力为多大?
(4)若小球运动的最低点为C,则OC间距离为多大?
【解析】(1)小球做简谐运动的平衡位置的形变量
x==m=0.1m=10cm
即平衡位置应在O点下方x=10cm处,小球离开平衡位置的最大距离为30cm。

(2)小球的位移应为相对平衡位置的位移,在B处时相对平衡位置的位移为x=-10cm。

(3)小球在B处受到的向下的重力G=20N,小于向上的弹力F=kx1=200×0.2N=40N
所受外力的合力为F合=F-mg=40N-20N=20N,方向竖直向上。

(4)小球做简谐运动,离开平衡位置的最大距离相对平衡位置对称,为30cm,则OC=40cm。

【答案】(1)30cm (2)-10cm (3)20N,方向竖直向上 (4)40。