《实变函数》第1讲 集合及其运算

集合及其运算
对于集合A,某一对象x如果是A的元素,则称x 属于A,记作;如果x不是A的元素,则称x不属于 A,记为(或记为). 正如定义所说,集合是由具有某种特定性质的对象 全体组成的,因此,在表示一个集合时,常把这 一性质写出来,例如,A是由具有性质P的元素全 体组成时,通常记为: A = {x | x具 性 P, 有 质 } 其中P可以是一段文字,也可以是某个数学式子.
集合及其运算
为避免集合论中的矛盾,人们求助于将Cantor 的相互集合论加以公理化,以策密罗(Ernst Zermelo)为首的一批数学家建立了一套集合 论公理体系,即如今的形式集合论,从而避免 了这一理论内已被发现的矛盾.然而,有关公 理化集合论相容性尚未得到证明.庞加莱 (Poincare)关于相容性问题做了一个风趣的 评论:"为了防备狼."尽管集合论不如人们 所期望的那样无懈可击,它在数学中的地位却 不因此而降低.它始终是我们掌握许多理论所 必须的基本知识.
第1讲 集合及其运算
二.集合的定义
1.集合的几种表示法
我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触 过集合这个概念,所谓集合,指的是具有某种 特定性质的对象的全体,通常用大写英文字母 A,B,X,Y…等表示;集合中的每个对象称 为该集合的元素.一般说来,我们总用小写字 母a,b,x,y…表示集合中的元素.
α∈A
集合及其运算
3.并运算
假设A,B是两个集合,所谓A与B的并集 (或和集),指的是由A与B中所有元素构成的 集合,记作 AU B ,换句话说 , 对于一簇集合{Aα }α∈A,可类似定义其并集, 即
α∈A
x ∈ AU B当且仅当 ∈ A或 ∈B. x x
U A = {存在 ∈ A,使 ∈ A } α x α α
集合及其运算
2.几个特殊的集合及其表示: 除了上述方法之外,有时也用特殊记号表示 某些特殊的集合.比如,在大多数场合下,始 终表示实数全体(或直线)C始终表示复数全 体(或复平面),N,Z,Q分别表示自然数, 整数,有理数全体,以后如无特别声明,我们 也都不加解释地使用这些符号.此外,直线上 的区间也采用诸如[a,b],(a,b)等记号,如 果一个集合仅由有限个元素组成,则最方便的 办法是将其一一列出,例如,1到10的自然数 全体可记作{1,2,3,…,10},不含任何元素的集合 称为空集,记作 φ .
A (B UC) = ( A B) I( A C)
A (B IC) = ( A B) U( A C)
若 A C,则 A C B B C
若 A ,则 I A = B, AU B = A . B B
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上述基本性质都是常用的,其中(9), (10)两式通常称为德摩根(De Morgan )法 则,它们的证明也是容易的.现在以(10)式 为例进行证明.
实变函数论
第1讲 集合及其运算
目的:了解集合的表示法;掌握集合的基本运算; 熟悉一些常用集合的符号;准确理解集合序列 的上,下限集. 重点与难点:集合序列的上,下限集. 基本内容: 一.背景 1.Cantor的朴素集合论 2.悖论 3.基于公理化的集合论
集合及其运算
集合论产生于十九世纪七十年代,它是德国 数学家康托尔(Cantor)创立的,不仅是分析 学的基础,同时,它的一般思想已渗入到数学 的所有部门."集合论观点"与现代数学的发 展不可分割地联系在一起.
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4.差(余)运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合, 称为A减B的差集,记作A-B(A\B),也就是 说, ∈ A B当且仅当x ∈ A ,但 x ∈ B,应该 x 注意的是,此处并未要求B是A的子集.假如B 是A的子集,则称A-B为B关于A的余集,记作 CAB.
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应该注意的是,此处并未要求B是A的子集. 假如B是A的子集,则称A-B为B关于A的余集, 记作CAB.需要指出的是,我们讲某个集合的 余集时,要弄清相对于哪个集合的余集,特别 是涉及到多个集合时,尤其应注意.有时,我 们总是限定在某个固定集合A内讨论一些子集, 在这种情况下,可以省略A,而将CAB记作CB (或BC). 集合 ( A B) U(B A) 称为A与B的对称差,记 作 AB .
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三.集合的运算 1.集合的子集 假设A,B是两个集合,如果A中的元素都是B 中的元素,则称A是B的子集,记作,或记作. 前者读作"A包含于B中",后者读着"B包含 A".显然,空集是任何集合的子集,任何集合 " 是其自身的子集.假如要证明A是B的子集,最 常用的办法是,任取 A,然后设法证明 ∈B . x∈ x 如果A是B的子集,且存在 b ∈B,使 ∈ ,则 b A A. B 称A是B的真子集,记作 ≠ 如果A是B的子集,B又是A的子集,则称A 与B相等,记作A=B.
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五.集合序列的上,下限集 问题2:回忆数学分析中数列上,下 极限的定义,如何定义集合序列的 上,下限集? 1.上限集 问题3:集合的上限集由什么样的元 素构成? 2.下限集
第1讲 集合及其运算
问题4:集合的下限集由什么样的元素构成? 一.域与б-域 问题5:回忆整数集,有理数集,实数集, 复数集的四则运算有什么异同? 1.域的定义 2.б-域的定义 问题6:如何构造一个б-域包含某个给定的 集合?这样的б-域有多少?存不存在满足 上述 条件的最小的б-域?如何构造? 作业:P21 1,2,3,5
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2.交运算 所有既属于A,又属于B的元素组成的集合 称为A与B的交集(或通集),记作 AI B ,若 AI B = φ ,则称A与B互不相交,显然 x∈ AI B 当且仅当 x∈ A且 x∈ B . 对于一簇集合 {Aα }α∈A,可类似定义其交集, 即 I A = {x | 对每一 ∈ A,有 ∈ A } α x α α
集合及பைடு நூலகம்运算
然而,任何一门学科的发展都不可能是帆风顺 的,也不可能是完美无缺的,正是集合论,曾 经给数学界带来了极大的恐慌,因为自从康托 尔以相当随便的方式阐述了集合论(即现在人 们所说的相互集合论)之后,人们逐渐发现它 存在着不可调和的矛盾.如罗素(Bertrand Russell)于1918年叙述的著名"理发师"悖论, 以及理查德(Jules Richard)编造的"理查德" 悖论等等,都曾经常常困扰了数学家们.
第1讲 集合及其运算
四.集合的运算
问题1:回忆数的四则运算,由此猜测 问题1 回忆数的四则运算, 集合的运算应该具有什么性质. 集合的运算应该具有什么性质.
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定理1 (1) AU A = A, AI A = A (2) AIφ = φ, AUφ = A, Aφ = A (3) AU B = B U A; AI B = B I A (4) AU(B UC) = ( AU B) UC;
AI(B IC) = ( AI B) IC;
(5) AI(B UC) = ( AI B) U( AIC) (6) ( A B) IC = ( AIC) (B IC)
集合及其运算
(7) (8) (9) (10) (11) (12)
(C A) B = C ( AU B)
AU B = ( AB) U( AI B)