2017博士《现代数学基础》考试复习题1

2017级博士生数学复习题
1. 判断下面方程的类型并把它化成标准型：
4520.
xx xy yy x y u u u u u +++++=
证明：因为判别式,0942〉=-=∆ac b 故方程为双曲型。

其特征方程为
4
1,1==dy dx dx dy ，则,41,dx dy dx dy ==
求得特征线是214
1
,c x y c x y =-
=-， 其中c 1，c 2为任意常数，作变化 ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=,41,x y x y ηξ
可将方程化成双曲型第一标准型：09
8
31=--ηξηu u
若再作变换，⎩
⎨⎧+=-=,,
ηξηξt s
方程就可化成双曲型第二标准型09
8
3131=++--t s tt ss u u u u .
2. 求初值问题
()(),0,1u u y u u x x y x y u xy ∂∂⎧
-+-=-⎪
∂∂⎨
⎪==⎩
当时
的解.
解：证明：由特征方程
y
x du
x u dy u y dx -=-=- 求得两个相互独立的初积分是
22221,c u y x c u y x =++=++
因此，全特征线都是一些圆的曲线。

我们必须选择通过已给曲线：xy=1，u=0的全特征线族，当xy=1时，u=0
表明有2221,c y x c y x =+=+，且xy=1，即
222221+=++=c xy y x c
故所求积分曲面的隐式解为
()22222+++=++u y x u y x
写成显式形式为
y
x xy
u +-=
1 3. 证明卷积定理：若
(())()f t F ωℑ=，(())()g t G ωℑ=
证明：(()())()()f t g t F G ωωℑ*=，
1
(()())()()2f t g t F G ωωπℑ=
*
证明（1）：根据卷积的定义：
τττd t g f t g t f )()()()(-=⨯⎰+∞
∞
-
代入傅里叶变换公式
dt e t f F t f F t i ωω-+∞
∞
-⎰==)()()]([
可得
)
()()()()()(])()[(])()([)]()([ωωττωτ
ωττ
τττττωωωωG F d e f G d e G f d dt e t g f dt
e d t g
f t
g t f F t i t i t i t i ===-=-=⨯-∞+∞
--∞
+∞
-∞
+∞-∞
+∞
---+∞
∞-+∞∞
-⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
∴ )()()(*)(ωωG F t g t f =
证明（2）：
ωωπωωπωd du u G u F e G F t j ⎰⎰+∞∞
-+∞
∞--↔])()([)21()(*)(212
所以
)
()()()()21(])()([)21
(])()([)21
()(*)(2122)(2t g t f du
e u F dx e x G dx
du x G u F e e dx
du x G u F e G F jut jxt
jut jxt t u x j ===↔⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞
-∞+∞-∞+∞
-∞+∞-+∞∞
-+∞∞-+πππωωπ
∴ )()(21
)(*)(ωωπ
G F t g t f =
4. 叙述MRA 的定义。

并解释由MRA 所确定的数字滤波器的特征。

答：MRA 是理解和构造小波的基本框架，也是信号在小波基下进行分解与恢复的基本理论保证，无论是理论分析还是在构造、理解和应用小波方面都起着非常重要的作用。

利用MRA ，可以将一个复杂的函数分解为几个简单的函数分别进行讨论，这时函数由一个粗糙部分和一系列细节部分构成，粗糙部分对应于信号的低频分量，细节部分对应于信号的高频分量。

高频分量时分层的，是在不同分辨率下逐级产生的，由多分辨子空间的Riesz 基推导出尺度基，再由尺度基产生小波基，这就形成了构造小波的框架。

在多分辨分析的意义下，尺度函数和小波函数与信号处理中的低通滤波器和高通滤波器形成对应关系，这就导致了信号分解与恢复的快速算法的实现。

5. 构造SHANNON 与HARR 小波。

并说明与一个尺度函数对应的小波函数是否唯一。

（答案只是构造了harr 小波）
解：haar 尺度函数为[])()(1,0t t χφ=，计算可得
)1,0(0,2
2
10≠==
=k h h h k 由于k k k h g --=1)1(，所以
)1,0(0,2
2)1(,22)1(11110100≠==-==
-=--k g h g h g k 因此，haar 小波为
()()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤=-=--=-=ψ∑∞
-∞
=其他,012/1,12
/10,1)()()
12()2()2(2
)(1,5.05.0,0 t t t t t t k t g t k k
χχφφφ
Haar 小波的图形如下所示：
6. 用4种颜色制成6颗珠子的项链，可制成多少种？要求有具体的轨道分析过程
.
7. 证明自然数集合的势等于有理数集合的势
8. 依据实参数，确定方程
的类型；(2)
将上述方程化为标准形式；(3)求这个方程的通解
解：（1）043222≥=+=∆ααα 当0=α时，为抛物型； 当0≠α时，为双曲型；
（2）当0=α时，原方程化为：022=∂∂+
∂∂x
u
x u 当0≠α时，特征方程为032)(
22=-+ααdx dy dx dy ))(3(αα-+dx
dy
dx dy
=0 α0
322=++--x y yy xy xx u u u u u ααα
即有
α3-=dx dy 或α=dx
dy 13C y x =+α 2C y x =+-α
假设y x +=αξ3，y x +-=αη
ηαξα∂∂-∂∂=∂∂u u x u 3 η
ξ∂∂+∂∂=∂∂u
u y u 222222222269η
αηξαξα∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u x u 22222222ηηξξ∂∂+
∂∂∂+∂∂=∂∂u
u u y u 22222223η
αηξαξα∂∂-∂∂∂+∂∂=∂∂∂u u u y x u 将其分别代入
322=++--x y yy xy xx u u u u u ααα
03)()2(3)23(26922222
22222222222222
=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂η
αξαηξαηηξξαηαηξαξααηαηξαξαu u u u u u u u u u u u u
化为：
042=∂∂-∂∂∂ξ
ηξαu
u （3）当0≠α时，由042=∂∂-∂∂∂ξηξαu
u 得到：
两边对ξ取积分，则有
)(4ηαηC u u =+，
再对η取积分且对ηξ,的表达式作转换，得到
)()3(),(4x y G e
x y F y x u x y ααα
α-++=-
当0=α时，方程通解为)()(y F e y G u x +=-
9. 举出这样的函数
的例子：它们使得定解问题 )(,2
R C ∈ψϕ
(a). 有解，这解是否唯一？ (b). 无解。

解：0613625>=+=∆，为双曲型方程 特征方程为：
06)(5)(2=--dx dy
dx dy 0)1)(6(=+-dx dy
dx dy 6=dx dy 或 1-=dx
dy 16C y x =+- 2C y x =+
假设:
⎩
⎨
⎧+=+-=y x y
x ηξ6 化简得到
02=∂∂∂η
ξu
)()6()()(),(y x g y x f g f u +++-=+=ηξηξ
其中，)(ξf 、)(ηg 为任意函数。

方程的通解为：
)()6(),(y x g y x f y x u +++-=
代入边界条件
)()7()0(6x x g f u
x
y ϕ=+==
)()7(7)7()0(6x x g x g f y
u x
y ψ='='+'=∂∂=
由于⎩⎨⎧⎰=+=)()7()()7(7
10x x g C dt
t x g x ϕψ
得到：c x dt t x g x +==⎰)()(7)7(0
ϕψ
⎪⎩⎪⎨⎧===-+==)(),(06566x u x u u u u x y y x y yy xy xx ψϕ
若有解，则上述等式成立，可假设
2)(x x =ϕ，解得x x 2)(=ψ，有一个解。

若无解，则上述等式不成立，令2)(x x =ϕ，x x 2)(=ψ
10. 设G 是一个12阶循环群，其生成元为a ，问G 有几个循环子群，各是多少阶，各子群的生成元是哪个元素？
11. 在3
R 中，E }1|),{(22<+=y x y x ，则E 的聚点的全体= ，内点的全体= ；在2
R 中，E }1|),{(22<+=y x y x ，则E 的内点的全体= ；
12. C[b a ,]空间中元素()x t 的范数为||x ||= ；2L (E ) 空间中元素的内积为><g f ,= ；2L (E ) 空间中元素()x t 的范数为
||x ||= 。

13.定义在2L [0，1]上的下列泛函)(x f 是线性泛函的有 ：
① )(x f =120
()x t dt ⎰；②)(x f =1
1220
()t x t dt ⎰；③ )(x f =1；④ )(x f =01
max ()t x t ≤≤；
14. 2
),(）（y x y x d -=是R 上的距离吗？为什么？
15. 线性空间n R 的子集合A={11(,,)|n n x x x x x k =++=}(k 为固定常数)是线性
子空间吗？为什么？
16. 在2L [-1，1]中，t t x =)(1与22)(t t x =正交吗？为什么？
17. 试证明圆周
1}x x |R )x ,{(x 2
2212211=+∈=S 是一个一维拓扑流形。

18. 什么是欧几里得空间？举两个欧几里得空间的例子。