自适应第三章模型参考自适应控制
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自适应控制规律构成方法 用状态方程描述 控制系统 用传递函数描述 系统输入输出 状态变量
用状态变量构成自适应控制规律要求：被控对象各状态变量 可直接获取。
控制对象：
X p Ap (t ) X p B p (t )u (t )
式中：X p为n维状态向量 u (t )为m维控制向量。
Ap n n
e0 y p ym a p y p k p c0 r k p d0 y p am ym km r
am y p am y p am ym a p y p k p c0 r k p d 0 y p km r am ( y p ym ) (am a p k p d 0 ) y p (k p c0 km )r
ym KR
a2 a1e e KV KRre 0 e
1 a1 0
0 0 KV KRr
2
由hurwitz判据：
a1 3 a2 0 KV KRr 1 a1
a1 a2
KV KRr 1
0
a1 a2 KV KRr 3 0 a1 a2 KV KRr a1 0 a1 a2 KV KRr
其中： 1、 2为增益
调整过程：一般情况下， 可调系统和参考模型相匹 配，自适应机构不工作。
当k p、a p 变化
e0 0
自适应机构工作 自适应律的信号调整 … y p 趋近ym
y p =ym
e0 0
可调系统和参考模型匹配， 图 一阶自适应控制系统结构图（信号调节） 自适应机构不工作。
系统状态变量构成的模型参考自适应控制
0 0 0
0 0 0 a0
稳定充要条件：主行列式 n 0 0
及其主对角线上的各子行列式 i 0
即1 an 1 0 n 0
2 an 1 an an 3 an 2
a2
an 3 an 2 an 1 an 5 an 4 0 an 3
控制目标：设计控制信号u(t),使对象输出yp(t) 渐近跟踪参考 模型的输出ym(t)，且所有系统中的信号有界。
时域描述：
被控对象： 参考模型：
y p a p y p k p u (t )
ym am ym km r (t )
控制信号： u (t ) c0 (t )r (t ) d 0 (t ) y p (t )
第三章 模型参考自适应控制
3.0 局部参数最优化设计方法 系统要求：系统参数变换速度比系统过渡过程进行速度 ym 缓慢得多。 系统中哪个是参考模型？哪个 是被控对象？
G 模型： m ( s) KN ( s ) D( s ) ( K已知)
e
yp
对象： p ( s) G
KV N ( s ) （K V未知） D( s )
控制目的： Kc KV 趋近K（即yp 趋近y m）
系统方框图
偏差：e=y m -yp
性能指标： J
1 2 e ( )d 2
（按J最小来确定自适应律）
J e e d 求偏导： K c K c
梯度法：规定负梯度方向是函数下降最快的方向。
J 即Kc 其中 0(为调整步长－常数) K c J Kc -K c0 K c J e Kc Kc0 Kc0 e d K c K c
ym ym
e
yp
MIT自适应控制方案图
缺点：稳定性得不到保证，要检验稳定性（保证e收敛）。
优点：设计方法简单，易于实现。
2 例：设控制对象的微分算子方程为：(a2 p a1 p 1) y p (t ) KV r (t )
2 参考模型的微分算子方程为： (a2 p a1 p 1) ym (t ) Kr (t )
KV 中，得 : K e KV y KV ey 代入Kc 令＝ c m m K K K K c eym dt K c 0 （自适应律） K c eym
K c eym dt K c 0
－MIT方案：乘法器、积分器组成
an 1
0
3 an 0
假设r(t)为阶跃信号，r(t)=R，并设KV缓慢变化， KV 0
过渡过程很短，在e的调节过程中，ym(t)已达稳定值，即
ym KR
e 求导： a2 a1e e KV K c r (t ) 代入Kc，得：a2 a1e e KV ym re e
d0 c0 k p y (e0 y p ) k pr (e0 r ) 0 g g
自适应律：c0 ge0 r , d 0 ge0 y p
注意：M(s)须严正实才渐近稳定。
二、自适应系统结构
c0 2 e0 rdt
d 0 1 e0 y p dt
用状态变量构成自适应控制图
时变矩阵
B p n m （参数未知）
一般，控制对象的状态矩阵Ap和控制矩阵Bp是不能直接调整的。
控制信号：u (t ) K (t )r F (t ) X p
式中：K (t )为m m矩阵；F(t)为m n矩阵；r为m维输入向量。
X p Ap (t ) X p Bp (t )[ K (t )r F (t ) X p ]
3.1 一阶系统的模型参考自适应控制 被控对象：
P( s) Yp ( s ) U ( s) kp s ap
其中：a p、k p为未知参数
参考模型：
M (s) Ym ( s ) k m Rm ( s ) s am
图：一阶系统模型参考自适应控制
其中：am 0，km >0 am，km按理想的输出响应选取
T ∴有对称正定阵Q，使 PAm Am P Q
Q 0
eT Qe 0
若后两项为0，则 V 正定。
T 1 X eT PB K 1 推出 即 1 p m 1[ Bm K 1 ]T PeX T p
X p [ Ap (t ) Bp (t ) F (t )] X p B p (t ) K (t )r (可调系统状态方程)
参考模型： X m Am X m Bm r
其中：X m为n维状态向量
Am n n Bm n m
常数稳定矩阵
注意：反馈F (t )调Ap (t )，前馈K (t )调B p (t )。
y p a p y p k p [c0 (t )r (t ) d 0 (t ) y p (t )]
a p am km * c , d0 令： (参数希望值) kp kp
* 0
* * 则c0 (t ) c0 , d0 (t ) d0时
a p am km y p a p y p k p [ r (t ) y p (t )] kp kp
P、1 1、 21为对称正定矩阵
2、求导，化简得 1 eT ( PA AT P )e tr ( T 1 X eT PB K 1 ) V m m 1 p m 2 2 tr ( T 1 reT PBm K 1 )
Am为稳定矩阵
* * am e0 k p [(d 0 d 0 ) y p (c0 c0 )r ]
am e0 k p ( y y p r r )
任务：设计c0 (t )、d0 (t )的自适应律，使方程渐近稳定，即t 时
e0 (t ) 0, y 0, r 0。
令＝F F， ＝K K （可调参数误差）
e Am e Bp X p Bp r （误差向量方程）
用李氏稳定性定理求自适应律： 1 T 1、选取李氏函数 V [e Pe tr ( T 1 1 T 1 )] 2 2 其中：trA为矩阵A对角元素之和，即 aii
判断稳定性：
2 e0 k p 2 (r y2 ) (正定) 1、选李氏函数 V (e0 , r , y ) 2 2g 其中：k p 0, g 0 (e , , ) 2e0 e k p (2 2 ) 0 2、求导 V 0 r y r r y y 2 2g kp e0 [am e0 k p ( y y p r r )] (r c0 y d0 ) g k pr k p y 2 am e0 k p y e0 y p k pr e0 r c0 d0 g g d0 c0 2 am e0 k p y (e0 y p ) k pr (e0 r ) g g d0 c0 2 令k p y (e0 y p ) k pr (e0 r ) 0 则 V am e0 0 正半定 g g ∴稳定
a p y p km r (t ) (a p am ) y p (t ) am y p (t ) km r (t )
Yp ( s ) R( s)
传函：
km s am
∴可调系统与模型传函完全匹配。
输出误差： e0 y p ym
r (t ) c0 (t ) c* 令参数误差： Βιβλιοθήκη Baidut ) d 0 (t ) d * y
误差向量：e xm x p
e xm x p
代入xm、x p，化简得：
e Ame ( Am Ap Bp F ) X p ( Bm B p K )r
e Ame ( Am Ap Bp F ) X p ( Bm B p K )r
试按MIT方案，求自适应律。
解：设自适应可调增益为Kc ，则得：
a2 m a1 ym ym Kr (t ) y
a2 p a1 y p y p K c KV r (t ) y
相减：
a2e a1e e ( K K c KV )r (t )
在理想情况时，上式后两项应等于0，设F和K的理想值分别为
F 和K，则 Am Ap B p F
Bm Bp K
B p Bm K 1
e Am e ( B p F B p F ) X p ( B p K B p K )r Am e B p ( F F ) X p B p ( K K )r
e K c e K c
e N (s) 系统开环传函： ( K K c KV ) r D( s ) d 令p , 得微分方程的时域算子形式（用p代s） dt
D( p)e ( K K c KV ) N ( p)r
e KV N ( p )r (1) 对Kc求偏导： D( p ) K c ym KN ( s) D( p) ym KN ( p)r (2) 模型微分方程： r D( s ) KV e (1) /(2)得 : ym K c K
（输出误差方程）
自适应律： K c eym
检验稳定性：胡尔维茨（hurwitz）稳定判据
n n 1 设系统特征方程为： an s an1s a1s a0 0
an 1 an
an 3 an 2 an 1 0
an 5 an 4 an 3 0
用状态变量构成自适应控制规律要求：被控对象各状态变量 可直接获取。
控制对象：
X p Ap (t ) X p B p (t )u (t )
式中：X p为n维状态向量 u (t )为m维控制向量。
Ap n n
e0 y p ym a p y p k p c0 r k p d0 y p am ym km r
am y p am y p am ym a p y p k p c0 r k p d 0 y p km r am ( y p ym ) (am a p k p d 0 ) y p (k p c0 km )r
ym KR
a2 a1e e KV KRre 0 e
1 a1 0
0 0 KV KRr
2
由hurwitz判据：
a1 3 a2 0 KV KRr 1 a1
a1 a2
KV KRr 1
0
a1 a2 KV KRr 3 0 a1 a2 KV KRr a1 0 a1 a2 KV KRr
其中： 1、 2为增益
调整过程：一般情况下， 可调系统和参考模型相匹 配，自适应机构不工作。
当k p、a p 变化
e0 0
自适应机构工作 自适应律的信号调整 … y p 趋近ym
y p =ym
e0 0
可调系统和参考模型匹配， 图 一阶自适应控制系统结构图（信号调节） 自适应机构不工作。
系统状态变量构成的模型参考自适应控制
0 0 0
0 0 0 a0
稳定充要条件：主行列式 n 0 0
及其主对角线上的各子行列式 i 0
即1 an 1 0 n 0
2 an 1 an an 3 an 2
a2
an 3 an 2 an 1 an 5 an 4 0 an 3
控制目标：设计控制信号u(t),使对象输出yp(t) 渐近跟踪参考 模型的输出ym(t)，且所有系统中的信号有界。
时域描述：
被控对象： 参考模型：
y p a p y p k p u (t )
ym am ym km r (t )
控制信号： u (t ) c0 (t )r (t ) d 0 (t ) y p (t )
第三章 模型参考自适应控制
3.0 局部参数最优化设计方法 系统要求：系统参数变换速度比系统过渡过程进行速度 ym 缓慢得多。 系统中哪个是参考模型？哪个 是被控对象？
G 模型： m ( s) KN ( s ) D( s ) ( K已知)
e
yp
对象： p ( s) G
KV N ( s ) （K V未知） D( s )
控制目的： Kc KV 趋近K（即yp 趋近y m）
系统方框图
偏差：e=y m -yp
性能指标： J
1 2 e ( )d 2
（按J最小来确定自适应律）
J e e d 求偏导： K c K c
梯度法：规定负梯度方向是函数下降最快的方向。
J 即Kc 其中 0(为调整步长－常数) K c J Kc -K c0 K c J e Kc Kc0 Kc0 e d K c K c
ym ym
e
yp
MIT自适应控制方案图
缺点：稳定性得不到保证，要检验稳定性（保证e收敛）。
优点：设计方法简单，易于实现。
2 例：设控制对象的微分算子方程为：(a2 p a1 p 1) y p (t ) KV r (t )
2 参考模型的微分算子方程为： (a2 p a1 p 1) ym (t ) Kr (t )
KV 中，得 : K e KV y KV ey 代入Kc 令＝ c m m K K K K c eym dt K c 0 （自适应律） K c eym
K c eym dt K c 0
－MIT方案：乘法器、积分器组成
an 1
0
3 an 0
假设r(t)为阶跃信号，r(t)=R，并设KV缓慢变化， KV 0
过渡过程很短，在e的调节过程中，ym(t)已达稳定值，即
ym KR
e 求导： a2 a1e e KV K c r (t ) 代入Kc，得：a2 a1e e KV ym re e
d0 c0 k p y (e0 y p ) k pr (e0 r ) 0 g g
自适应律：c0 ge0 r , d 0 ge0 y p
注意：M(s)须严正实才渐近稳定。
二、自适应系统结构
c0 2 e0 rdt
d 0 1 e0 y p dt
用状态变量构成自适应控制图
时变矩阵
B p n m （参数未知）
一般，控制对象的状态矩阵Ap和控制矩阵Bp是不能直接调整的。
控制信号：u (t ) K (t )r F (t ) X p
式中：K (t )为m m矩阵；F(t)为m n矩阵；r为m维输入向量。
X p Ap (t ) X p Bp (t )[ K (t )r F (t ) X p ]
3.1 一阶系统的模型参考自适应控制 被控对象：
P( s) Yp ( s ) U ( s) kp s ap
其中：a p、k p为未知参数
参考模型：
M (s) Ym ( s ) k m Rm ( s ) s am
图：一阶系统模型参考自适应控制
其中：am 0，km >0 am，km按理想的输出响应选取
T ∴有对称正定阵Q，使 PAm Am P Q
Q 0
eT Qe 0
若后两项为0，则 V 正定。
T 1 X eT PB K 1 推出 即 1 p m 1[ Bm K 1 ]T PeX T p
X p [ Ap (t ) Bp (t ) F (t )] X p B p (t ) K (t )r (可调系统状态方程)
参考模型： X m Am X m Bm r
其中：X m为n维状态向量
Am n n Bm n m
常数稳定矩阵
注意：反馈F (t )调Ap (t )，前馈K (t )调B p (t )。
y p a p y p k p [c0 (t )r (t ) d 0 (t ) y p (t )]
a p am km * c , d0 令： (参数希望值) kp kp
* 0
* * 则c0 (t ) c0 , d0 (t ) d0时
a p am km y p a p y p k p [ r (t ) y p (t )] kp kp
P、1 1、 21为对称正定矩阵
2、求导，化简得 1 eT ( PA AT P )e tr ( T 1 X eT PB K 1 ) V m m 1 p m 2 2 tr ( T 1 reT PBm K 1 )
Am为稳定矩阵
* * am e0 k p [(d 0 d 0 ) y p (c0 c0 )r ]
am e0 k p ( y y p r r )
任务：设计c0 (t )、d0 (t )的自适应律，使方程渐近稳定，即t 时
e0 (t ) 0, y 0, r 0。
令＝F F， ＝K K （可调参数误差）
e Am e Bp X p Bp r （误差向量方程）
用李氏稳定性定理求自适应律： 1 T 1、选取李氏函数 V [e Pe tr ( T 1 1 T 1 )] 2 2 其中：trA为矩阵A对角元素之和，即 aii
判断稳定性：
2 e0 k p 2 (r y2 ) (正定) 1、选李氏函数 V (e0 , r , y ) 2 2g 其中：k p 0, g 0 (e , , ) 2e0 e k p (2 2 ) 0 2、求导 V 0 r y r r y y 2 2g kp e0 [am e0 k p ( y y p r r )] (r c0 y d0 ) g k pr k p y 2 am e0 k p y e0 y p k pr e0 r c0 d0 g g d0 c0 2 am e0 k p y (e0 y p ) k pr (e0 r ) g g d0 c0 2 令k p y (e0 y p ) k pr (e0 r ) 0 则 V am e0 0 正半定 g g ∴稳定
a p y p km r (t ) (a p am ) y p (t ) am y p (t ) km r (t )
Yp ( s ) R( s)
传函：
km s am
∴可调系统与模型传函完全匹配。
输出误差： e0 y p ym
r (t ) c0 (t ) c* 令参数误差： Βιβλιοθήκη Baidut ) d 0 (t ) d * y
误差向量：e xm x p
e xm x p
代入xm、x p，化简得：
e Ame ( Am Ap Bp F ) X p ( Bm B p K )r
e Ame ( Am Ap Bp F ) X p ( Bm B p K )r
试按MIT方案，求自适应律。
解：设自适应可调增益为Kc ，则得：
a2 m a1 ym ym Kr (t ) y
a2 p a1 y p y p K c KV r (t ) y
相减：
a2e a1e e ( K K c KV )r (t )
在理想情况时，上式后两项应等于0，设F和K的理想值分别为
F 和K，则 Am Ap B p F
Bm Bp K
B p Bm K 1
e Am e ( B p F B p F ) X p ( B p K B p K )r Am e B p ( F F ) X p B p ( K K )r
e K c e K c
e N (s) 系统开环传函： ( K K c KV ) r D( s ) d 令p , 得微分方程的时域算子形式（用p代s） dt
D( p)e ( K K c KV ) N ( p)r
e KV N ( p )r (1) 对Kc求偏导： D( p ) K c ym KN ( s) D( p) ym KN ( p)r (2) 模型微分方程： r D( s ) KV e (1) /(2)得 : ym K c K
（输出误差方程）
自适应律： K c eym
检验稳定性：胡尔维茨（hurwitz）稳定判据
n n 1 设系统特征方程为： an s an1s a1s a0 0
an 1 an
an 3 an 2 an 1 0
an 5 an 4 an 3 0