洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

求证：不等式1x e x ≥+恒成立.

对于[)0,x ∈+∞，不等式1x e ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.

方法一：讨论假设

方法二：洛必达法则

1.2006年全国2理

设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，

求实数a 的取值范围． （1,∞-]。

2.2006全国1理

已知函数()11ax x

f x e x -+=-.

（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；

（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围. (]2,∞-∈a

3.2007全国1理

设函数()e e x x f x -=-．

（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；

（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． (]2-∞，

4.2008全国2理

设函数sin ()2cos x f x x

=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．（13a ≥

.）

5.辽宁理 设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x

=-+++. ⑴求()f x 的单调区间和极值;

⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()

f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范

围;若不存在,试说明理由.

6.2010新课标理

设函数)(x f =21x e x ax ---.

（Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间; （Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围. 1,

2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

7.2010新课标文

已知函数2()(1)x f x x e ax =--.

（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. （1a ≤.）

由洛必达法则有

0001lim ()lim lim 11x x

x x x e e g x x →→→-===，

即当0x →时，()1g x →

所以()1g x >，即有1a ≤.

综上所述，当1a ≤，0x ≥时，()0f x ≥成立.

8.2010全国大纲理

设函数()1x f x e -=-.

（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x

f x x ≥+；

（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x

f x ax ≤+，求a 的取值范围. 1

(,]2-∞.

9.2011新课标理

已知函数ln ()1a x b f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >

+-，求k 的取值范围. （-∞，0] 利用洛必达法则处理如下：

II ）由题设可得，当0,1x x >≠时，k<22ln 11x x x

+-恒成立。 由洛必达法则知()2111

ln 1ln 12121210221lim lim lim x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭ ∴0k ≤，即k 的取值范围为（-∞，0]