排列组合常见问题答案

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排列组合问题常见解法

排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为5分，难度为中等难度，在分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考。

一、元素分析法

在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。

例1（06全国）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5

月1日和2日。不同的安排方法共有 种（用数字作答）

解：因甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至5月7日5天中选2天安排甲、乙有25A 种方法，再安排其余5人，有55A 种方法，故共有55A 25A =2400种

二、位置分析法

在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。 例2 题同例1

解：因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中选2人安排到5月

1日、2日，有25A 种方法，再安排其余5天，有55A 种方法，故共有25A 55A =2400种

三、间接法 又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。 例3 题同例1

解：安排7人在5月1日至5月7日值班，有77A 种方法，其中甲、乙二人都安排在5月1日和2日有55

22A A 种，甲、乙仅一人安排在5月1日和2日有55221512A A C C 种。不同的安排方法共有77A -5522A A -5

5221512A A C C =2400种

四、树图法

又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在3个以上，排列组

合问题。

例4 已知集合M={a ，b ，c} ，N={1，0,-1},在从集合M 到集合N 的所有映射f 中，满足f(a)+f(b)=f(c)的映

射有多少个？

解：满足条件的映

所以满足条件的映射有7个。

五、逐一插入法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。

例5（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在

工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）

解：（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺序排成一排，有1种方法，将丙丁看成一项工程，再

在甲、乙、丙（丁）之间和两端的4个空档安排其余2项工程1项工程，有1

4A 种方法，再在这4项工程之间和两端

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的5个空档安排其余1项工程，有15A 种方法，所以共有1

4A 15A =20种方法。

六、消序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通

常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。

例6（06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）

解：先将9个球排成一排有99A 种不同的方法，其中，2个红球有22A 排法， 3个黄球有33A 排法， 4个白球有

4

4A 排法， 因同色球不加以区分， 所以2个红球、3个黄球、4个白球都各有1中排法，消去它们的顺序得将这9

个球排成一列有

44

33

22

9

9

A

A A A =1260种

七、优序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元

素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。

例7（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在

工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）

解：先将丙丁看作1项工程，再在5个位置中选3个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）3项工程，有3

5

C 种方法，再在其余2个安排其余2项工程，有22A 种方法，所以共有22A 3

5C =20种方法。

八、捆绑法

若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个

相邻元素的顺序。

例8 （05辽宁）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻， 3与4相邻，5

与6相邻， 7与8不相邻，这样的八位数共有 个。（用数字作答）

解：先将1与2、3与4、5与6各看成一个元素，将这3个元素排成一排，有3

3A 种方法，再在这3个元素之

间和两端的4个空档中选3个安排7与8，有 2

4A 种方法，再排1与2、3与4、5与6的顺序，各有2种方法，所以共有3

3A 2

4A 23=257种方法，因每一种排法对应一个八位数，所以这样的八位数共有257个。

九、插空法

若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。

例9 有一排8个相同的座位，选3个座位坐人，要求每人两边都有空位，这3人有多少不同的安排方法？ 解：因3个坐人的座位不相邻，用插空法，先将5个空位排成一排有1种方法，然后在5个空位的4空档选3个空档安排坐人的3个座位，有3

4A =24种不同的方法，这3人有24不同的安排方法。

十、查字典法

对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一

位数字。

例10 在由1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）

A.56

B.57

C.58

D.60