季节模型
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– 季节差分：可消除周期性变化
• 对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之 后才能转换为平稳的序列。
季节模型SARIMA
1、冰淇淋的销量的季度序列在夏季最高，序列在每年都会 重复这一现象。相应的周期为4。 2、美国汽车的月度销售量和销售额数据在每年的7月和8月 也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在 西方，玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞 节的缘故；在中国，每年农历5月份糯米的销售量大大地增 加，这是因为中国的端午节有吃粽子的习惯。以上三种情况 的季节周期都是12个月。 单变量的时间序列为了分析方便，可以编制成一个二维 的表格，其中一维表示周期。
1.16 1.06 0.96 0.86 0.76 1981
图2 工业总产值的趋势·循环要素 TC 图形
1.11 1.06 1.00 0.95 0.89 1981
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1983
1985
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1989
1991
1993
1995
1997
图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
, k 1,2, , m
• 计算总平均数
x
x
i 1 k 1
ik
nm
• 计算季节指数
xk Sk x
, k 1,2,, m
季节模型SARIMA 季节指数的计算
11
季节模型SARIMA 季节指数的计算
季节指数反映了该周期与总平均值之间的一种 比较稳定的关系 如果这个比值大于 1 ，就说明该周期的值常常 会高于总平均值 如果这个比值小于 1 ，就说明该周期的值常常 低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于 1 ，那就说明 该序列没有明显的季节效应
图4 工业总产值的不规则要素 I 图形
季节模型SARIMA • 季节指数: 所谓季节指数就是用简单平均法计
算的周期内各时期季节性影响的相对数
9
• 季节模型:
xij x S j I ij
季节模型SARIMA 季节指数的计算
• 计算周期内各期平均数 n
xk
10
x
i 1
ik
n
n m
14
季节模型SARIMA
15
ห้องสมุดไป่ตู้
季节模型SARIMA
16
• 长期递增趋势和以年为固定周期的季节 波动同时作用于该序列，因而尝试使用 混合模型（b）拟合该序列的发展
xt S t (Tt I t )
季节模型SARIMA
17
月份 1 2 3 4 5 6
季节指数 0.982 0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
2
季节模型SARIMA
• 季节时间序列的重要特征表现为周期性。
– 在一个序列中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，则该 序列具有以S为周期的周期特性。 – 一般，季度数据的一个周期表现为一年的四个季度，月度数据的周期 表现为一年的12个月，周数据表现为一周的7天或5天。
3
• 处理季节性时间序列的一个重要工具：
24
25
4
季节模型SARIMA
5
数据存在较为明 显的季节变化
数据存在较为明 显的上升趋势和 季节变化
季节模型SARIMA
月度或季度时间序列包含 4种变动要素：长期趋势要素T、循环 月度或季度 要素C、季节变动要素S 和不规则要素I。 长期趋势要素 (T ): 代表经济时间序列长期的趋势特性。 循环要素 (C ): 是以数年为周期的一种周期性变动。 季节要素 (S ): 是每年重复出现的循环变动，以12个月或4个季 度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和政策等因 素引起。 不规则要素 (I ): 又称随机因子、残余变动或噪声，其变动无规 则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、意外事 故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误差等。
单位：亿元
8
单位：亿元
3871.49
3304.66
2751.49
2405.12
1631.48
1505.59
511.47 1981
606.05
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1981 1983
1985 1987
1989 1991
1993 1995
1997
图1 我国工业总产值的时间序列 Y 图形
d
季节模型SARIMA
季节性模型的建模方法 利用 B-J 建模方法来建立季节性时间序列模型，首先需 要判明周期性，即 S 的取值，然后根据自相关和偏自相关函 数提供的信息来判断模型的类型和阶数，最后进行参数估计 和检验。具体的步骤概括如下： 第一步，对时间序列进行差分和季节差分，以得到一个 平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函数，选 择一个暂定（尝试性的）模型。
12
季节模型SARIMA 季节指数的计算
13
季节模型SARIMA
例：对1993年-2000年中国社会消费品零售总额序列
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1993 977.5 892.5 942.3 941.3 962.2 1005.7 963.8 959.8 1023.3 1051.1 1102 1415.5 1994 1192.2 1162.7 1167.5 1170.4 1213.7 1281.1 1251.5 1286 1396.2 1444.1 1553.8 1932.2 1995 1602.2 1491.5 1533.3 1548.7 1585.4 1639.7 1623.6 1637.1 1756 1818 1935.2 2389.5 1996 1909.1 1911.2 1860.1 1854.8 1898.3 1966 1888.7 1916.4 2083.5 2148.3 2290.1 2848.6 1997 2288.5 2213.5 2130.9 2100.5 2108.2 2164.7 2102.5 2104.4 2239.6 2348 2454.9 2881.7 1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 2265.2 2326 2286.1 2314.6 2443.1 2536 2652.2 3131.4 1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8 2364 2428.8 2380.3 2410.9 2604.3 2743.9 2781.5 3405.7 2000 2774.7 2805 2627 2572 2637 2645 2597 2636 2854 3029 3108 3680
ARIMA建模
——季节模型
季节模型SARIMA
在某些时间序列中，由于季节性变化 ( 包括季度、月 度、周度等变化 )或其他一些固有因素的变化，会存 在一些明显的周期性，这类序列称为季节性序列。 季节性序列更是随处可见。 描 述 这 类 序 列 的 模 型 之 一 是 季 节 时 间 序 列 模 型 (seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
6
季节模型SARIMA 常用综合分析模型
– 加法模型 – 乘法模型 – 混合模型
7
xt Tt S t I t
xt Tt S t I t
a ) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
季节模型SARIMA
4991.50
4204.20
月份 7 8 9 10 11 12
季节指数 0.929 0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节模型SARIMA
18
季节模型SARIMA
xt Tt I t ˆ S
t
19
季节模型SARIMA
20
ˆ 1015.522 20.93178t T t
季节模型SARIMA
23
季节模型SARIMA
第三步，由差分序列的适当自相关和偏自相关值求 得模型的初始估计值。 第四步，对估计得到的暂定模型的剩余平方和进行 适应性检验，决定是否接受暂定模型。当适应性检验表 明暂定模型不是最优模型时，可根据检验所提供的有关 模型改进的信息，重新拟合改进模型，并对其进行适应 性检验，直到得到最优模型为止。
21
xt ˆ Tt I t ˆ S
t
季节模型SARIMA • 简单季节模型是指序列中的季节效应和 其它效应之间是加法关系
22
xt S t Tt I t
• 简单季节模型通过简单的趋势差分、季 节差分之后序列即可转化为平稳，它的 模型结构通常如下
( B ) D xt t ( B)
• 对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之 后才能转换为平稳的序列。
季节模型SARIMA
1、冰淇淋的销量的季度序列在夏季最高，序列在每年都会 重复这一现象。相应的周期为4。 2、美国汽车的月度销售量和销售额数据在每年的7月和8月 也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在 西方，玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞 节的缘故；在中国，每年农历5月份糯米的销售量大大地增 加，这是因为中国的端午节有吃粽子的习惯。以上三种情况 的季节周期都是12个月。 单变量的时间序列为了分析方便，可以编制成一个二维 的表格，其中一维表示周期。
1.16 1.06 0.96 0.86 0.76 1981
图2 工业总产值的趋势·循环要素 TC 图形
1.11 1.06 1.00 0.95 0.89 1981
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图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
, k 1,2, , m
• 计算总平均数
x
x
i 1 k 1
ik
nm
• 计算季节指数
xk Sk x
, k 1,2,, m
季节模型SARIMA 季节指数的计算
11
季节模型SARIMA 季节指数的计算
季节指数反映了该周期与总平均值之间的一种 比较稳定的关系 如果这个比值大于 1 ，就说明该周期的值常常 会高于总平均值 如果这个比值小于 1 ，就说明该周期的值常常 低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于 1 ，那就说明 该序列没有明显的季节效应
图4 工业总产值的不规则要素 I 图形
季节模型SARIMA • 季节指数: 所谓季节指数就是用简单平均法计
算的周期内各时期季节性影响的相对数
9
• 季节模型:
xij x S j I ij
季节模型SARIMA 季节指数的计算
• 计算周期内各期平均数 n
xk
10
x
i 1
ik
n
n m
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季节模型SARIMA
15
ห้องสมุดไป่ตู้
季节模型SARIMA
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• 长期递增趋势和以年为固定周期的季节 波动同时作用于该序列，因而尝试使用 混合模型（b）拟合该序列的发展
xt S t (Tt I t )
季节模型SARIMA
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月份 1 2 3 4 5 6
季节指数 0.982 0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
2
季节模型SARIMA
• 季节时间序列的重要特征表现为周期性。
– 在一个序列中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，则该 序列具有以S为周期的周期特性。 – 一般，季度数据的一个周期表现为一年的四个季度，月度数据的周期 表现为一年的12个月，周数据表现为一周的7天或5天。
3
• 处理季节性时间序列的一个重要工具：
24
25
4
季节模型SARIMA
5
数据存在较为明 显的季节变化
数据存在较为明 显的上升趋势和 季节变化
季节模型SARIMA
月度或季度时间序列包含 4种变动要素：长期趋势要素T、循环 月度或季度 要素C、季节变动要素S 和不规则要素I。 长期趋势要素 (T ): 代表经济时间序列长期的趋势特性。 循环要素 (C ): 是以数年为周期的一种周期性变动。 季节要素 (S ): 是每年重复出现的循环变动，以12个月或4个季 度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和政策等因 素引起。 不规则要素 (I ): 又称随机因子、残余变动或噪声，其变动无规 则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、意外事 故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误差等。
单位：亿元
8
单位：亿元
3871.49
3304.66
2751.49
2405.12
1631.48
1505.59
511.47 1981
606.05
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1981 1983
1985 1987
1989 1991
1993 1995
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图1 我国工业总产值的时间序列 Y 图形
d
季节模型SARIMA
季节性模型的建模方法 利用 B-J 建模方法来建立季节性时间序列模型，首先需 要判明周期性，即 S 的取值，然后根据自相关和偏自相关函 数提供的信息来判断模型的类型和阶数，最后进行参数估计 和检验。具体的步骤概括如下： 第一步，对时间序列进行差分和季节差分，以得到一个 平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函数，选 择一个暂定（尝试性的）模型。
12
季节模型SARIMA 季节指数的计算
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季节模型SARIMA
例：对1993年-2000年中国社会消费品零售总额序列
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1993 977.5 892.5 942.3 941.3 962.2 1005.7 963.8 959.8 1023.3 1051.1 1102 1415.5 1994 1192.2 1162.7 1167.5 1170.4 1213.7 1281.1 1251.5 1286 1396.2 1444.1 1553.8 1932.2 1995 1602.2 1491.5 1533.3 1548.7 1585.4 1639.7 1623.6 1637.1 1756 1818 1935.2 2389.5 1996 1909.1 1911.2 1860.1 1854.8 1898.3 1966 1888.7 1916.4 2083.5 2148.3 2290.1 2848.6 1997 2288.5 2213.5 2130.9 2100.5 2108.2 2164.7 2102.5 2104.4 2239.6 2348 2454.9 2881.7 1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 2265.2 2326 2286.1 2314.6 2443.1 2536 2652.2 3131.4 1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8 2364 2428.8 2380.3 2410.9 2604.3 2743.9 2781.5 3405.7 2000 2774.7 2805 2627 2572 2637 2645 2597 2636 2854 3029 3108 3680
ARIMA建模
——季节模型
季节模型SARIMA
在某些时间序列中，由于季节性变化 ( 包括季度、月 度、周度等变化 )或其他一些固有因素的变化，会存 在一些明显的周期性，这类序列称为季节性序列。 季节性序列更是随处可见。 描 述 这 类 序 列 的 模 型 之 一 是 季 节 时 间 序 列 模 型 (seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
6
季节模型SARIMA 常用综合分析模型
– 加法模型 – 乘法模型 – 混合模型
7
xt Tt S t I t
xt Tt S t I t
a ) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
季节模型SARIMA
4991.50
4204.20
月份 7 8 9 10 11 12
季节指数 0.929 0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节模型SARIMA
18
季节模型SARIMA
xt Tt I t ˆ S
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季节模型SARIMA
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ˆ 1015.522 20.93178t T t
季节模型SARIMA
23
季节模型SARIMA
第三步，由差分序列的适当自相关和偏自相关值求 得模型的初始估计值。 第四步，对估计得到的暂定模型的剩余平方和进行 适应性检验，决定是否接受暂定模型。当适应性检验表 明暂定模型不是最优模型时，可根据检验所提供的有关 模型改进的信息，重新拟合改进模型，并对其进行适应 性检验，直到得到最优模型为止。
21
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季节模型SARIMA • 简单季节模型是指序列中的季节效应和 其它效应之间是加法关系
22
xt S t Tt I t
• 简单季节模型通过简单的趋势差分、季 节差分之后序列即可转化为平稳，它的 模型结构通常如下
( B ) D xt t ( B)