高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算讲义新人教A版
3.1.3 空间向量的数量积运算
1．空间向量的夹角
如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b □05互相垂直，记作□06a ⊥b . 2．空间向量的数量积
两个向量数量积的性质：
(1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔□12a·b ＝0； (2)若a 与b 同向，则a·b ＝□13|a ||b |； 若反向，则a·b ＝□
14－|a ||b |； 特别地：a·a ＝|a |2
(3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝□
16a·b |a ||b |； (4)|a·b |□
17≤|a ||b |.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于空间任意两个非零向量a ，b ，a ∥b 是〈a ，b 〉＝0的充要条件．( ) (2)若a 2
＝b 2
，则a ＝b 或a ＝－b .( )
(3)若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的充要条件．( ) (4)在△ABC 中，〈AB →，BC →
〉＝∠B .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做
(1)(教材改编P 92T 3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a ，点E ，F ，G 分别为AB ，
AD ，DC 的中点，则a 2等于( )
A ．2BA →·AC →
B ．2AD →·BD →
C ．2FG →·CA →
D ．2EF →·BC →
(2)若向量a 与b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π
3，则a·b ＝________.
(3)已知|a |＝2，|b |＝
22，a ·b ＝－2
2
，则a 与b 的夹角为________． (4)已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 (1)B (2)1 (3)135° (4)1
8
解析 (1)∵AD →与BD →的夹角为60°，|AD →|＝|BD →
|＝a ， ∴2AD →·BD →＝2|AD →||BD →|cos60°＝2×a ×a ×12＝a 2
.
探究1 求向量的数量积
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ，
AD 的中点，计算：
(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)BF →·CE →.
[解] (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →
〉＝12×1×1×cos60°＝14.
(2)EF →·BD →＝12|BD →||BD →|cos 〈BD →，BD →
〉＝12×1×1×cos0°＝12
.
(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →
〉＝12×1×1×cos120°＝－14.
(4)BF →·CE →＝12(BD →＋BA →)·12
(CB →＋CA →
)
＝14[BD →·(－BC →)＋BA →·(－BC →)＋BD →·CA →＋BA →·CA →
] ＝14[－BD →·BC →－BA →·BC →＋(CD →－CB →)·CA →＋AB →·AC →] ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋12－12＋12＝－18. 拓展提升
1.空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．
【跟踪训练1】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1，AD ＝2，O 为AC 与BD 的交点，E 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：
(1)BD →·AA 1→； (2)AE →·AC →； (3)EO →·AC →.
解 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ， 则|a |＝|c |＝1，|b |＝2， (1)∵BD →＝AD →－AB →
＝b －a ，
∴BD →·AA 1→
＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c . 又a ，b ，c 两两互相垂直，
∴b ·c ＝0，a ·c ＝0，故BD →·AA 1→
＝0. (2)∵AE →＝AA 1→＋A 1E → ＝AA 1→＋12AD →
＝c ＋12
b ，
又AC →＝AB →＋AD →
＝a ＋b ， ∴AE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
c ＋12b ·(a ＋b )
＝12|b |2
＝2. (3)∵EO →＝AO →－AE → ＝12(AB →＋AD →)－(AA 1→＋A 1E →) ＝12(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12b ＝1
2a －c ， 又AC →
＝a ＋b ，
∴EO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －c ·(a ＋b )＝12a 2＝12. 探究2 利用数量积求夹角
例2 已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．
[解] 如下图，
设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，
则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1
2
.
因为OE →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，BF →＝OF →－OB →＝12OC →－OB →＝12c －b ，|OE →|＝|BF →
|＝32，
所以OE →·BF →＝12(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －b ＝1
4a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12b 2＝－12，
所以cos 〈OE →，BF →
〉＝OE →·BF →
|OE →||BF →|＝－23.
所以异面直线OE 与BF 所成角的余弦值是2
3.
拓展提升
由数量积求角的方法策略
(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小，通过解三角形得出夹角的大小，此法就是求两个向量夹角的平移法．
(2)由两个向量的数量积的定义得cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
，求〈a ，b 〉的大小，转化为求
两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a ，b 〉的余弦值，进而求出〈a ，b 〉的大小．在求a ·b 时注意结合空间图形，把a ，b 用基向量表示出来，进而化简得出a ·b 的值．
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角(注意异面直线所成角的范围)．
【跟踪训练2】 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，
则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________．
答案
66
解析 下图所示，
设该三棱柱的底面边长为1，依题意有AB 1→＝AB →＋AA 1→，BC 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1C 1→＝AC →＋AA 1→－AB →
，则|AB 1→|2＝(AB →＋AA 1→)2＝AB →2＋2AB →·AA 1→＋AA 1→2＝2＋2cos60°＝3，|BC 1→|2＝(AC →＋AA 1→－AB →)2＝AC →2
＋AA 1→2＋AB →2＋2AC →·AA 1→－2AC →·AB →－2AA 1→·AB →＝2，而AB 1→·BC 1→＝(AB →＋AA 1→)·(AC →＋AA 1→－AB →)＝AB →
·AC →＋AB →·AA 1→－AB →·AB →＋AA 1→·AC →＋AA 1→·AA 1→－AA 1→·AB →
＝12＋12－1＋12＋1－12
＝1，所以cos
〈AB 1→
，BC 1→
〉＝
AB 1→·BC 1
→
|AB 1→||BC 1→|
＝13×2＝66.
所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为6
6
. 探究3 利用向量数量积求距离
例3 已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且与α所成的角是30°，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C ，D 间的距离．
[解] 下图，由AC ⊥α，知AC ⊥AB .过点D 作DD ′⊥α于点D ′，连接BD ′，
则∠DBD ′＝30°，〈CA →，BD →〉＝120°，所以|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →
|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →＝b 2＋a 2＋b 2＋2b 2cos120°＝a 2＋b 2
，
故CD ＝a 2
＋b 2
. 拓展提升
(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．
(2)应牢记并能熟练地应用公式 |a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2
＝|a |2
＋|b |2
＋|c |2
＋2a ·c ＋2a ·b ＋2b ·c .
【跟踪训练3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝1
2
|ND |，求|MN |.
解 如下图所示，
|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →，AC →，AD →表示，于是MN →＝MB →＋BC →＋CN →
＝23
AB →
＋(AC →－AB →
)＋13
(AD →－AC →
)＝－13AB →＋13AD →＋23
AC →.
又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →
＝a ·a ·cos60°＝12a 2，
∴MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →
＝19AB → 2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD → 2＋49AC → 2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2
. 故|MN →|＝
MN →·MN →＝53a ，即|MN |＝53
a . 探究4 判断或证明垂直问题
例4 下图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BC ，CD 的中点，求证：
A 1G ⊥平面DEF .
[证明] 设正方体的棱长为a ，
∵A 1G →·DF →＝(A 1A →＋AD →＋DG →)·(DC →＋CF →)＝A 1A →·DC →＋AD →·DC →＋DG →·DC →＋A 1A →·CF →＋AD →·CF →
＋DG →·CF →＝DG →·DC →＋AD →·CF →＝12a 2－12
a 2
＝0，
∴A 1G ⊥DF ，同理可证A 1G ⊥DE ，又DF ∩DE ＝D ， ∴A 1G ⊥平面DEF . 拓展提升
利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路
(1)由数量积的性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．
【跟踪训练4】 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：PA ⊥BD .
证明 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →
＝0. 由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →
＝0. 又PA →＝PD →＋DA →，
∴PA →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →
＝0，即PA ⊥BD .
1.空间向量数量积性质的应用
(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系. (2)|a |2
＝a 2
，此结论可用于求空间中线段的长度. (3)cos 〈a ，b 〉＝
a ·b
|a ||b |
，此结论可用于求有关空间角的问题. (4)|b |cos 〈a ，b 〉＝
a ·b
|a |
，此结论可用于求空间中的距离问题. 2.利用向量数量积求夹角问题的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围.
(2)先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
求cos 〈a ，b 〉，最后确定〈a ，b 〉.
3.求两点间的距离或线段长的方法
(1)将此线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.
(2)因为a ·a ＝|a |2
，所以|a |＝a ·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2
＝a 2
±2a ·b ＋b 2
.
(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影.
1．下列各命题中，不正确命题的个数为( )
①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(m λ)a ·b ；③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ；④a 2
b ＝b 2
a . A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 答案 D
解析 ∵a ·a ＝|a |2
，∴a ·a ＝|a |，故①正确；
m (λa )·b ＝(m λa )·b ＝m λa ·b ＝(m λ)a ·b ，故②正确；
a ·(
b ＋
c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故③正确； a 2b ＝|a |2b ，b 2a ＝|b |2a ，故④不一定正确．
2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60° B．30° C．135° D．45° 答案 D
解析 ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2
－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1－1×2×cos〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝2
2
.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°.
3．已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( )
A ．6 B. 6 C ．3 D. 3 答案 B
解析 如图，由题意可知，
∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|AC 1→
|＝6，即AC 1的长为 6.
4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →与A 1P →
所成角的大小为________，B 1C →·A 1P →
＝________.
答案 60° 1
解析 解法一：连接A 1D ，则∠PA 1D 就是B 1C →与A 1P →
所成的角，连接PD ，在△PA 1D 中，易得
PA 1＝DA 1＝PD ＝2，即△PA 1D 为等边三角形，从而∠PA 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →
所成角的大小为
60°.因此B 1C →·A 1P →
＝2×2×cos60°＝1.
解法二：根据向量的线性运算可得 B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝
⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →
＝AD →
2＝1.
由题意可得PA 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →
〉＝60°. 5．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，求〈a ，b 〉． 解 (a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2
－15|b |2
＋16a ·b ＝0， (a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2
＋8|b |2－30a ·b ＝0， 解得|b |2
＝2a ·b ＝|a |2
，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1
2
，∴〈a ，b 〉＝60°.
高中数学 空间向量与立体几何
专题四：立体几何 第三讲空间向量与立体几何 【最新考纲透析】 1．空间向量及其运算 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 2．空间向量的应用 （1）理解直线的方向向量与平面的法向量。 （2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。 （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。 （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 【核心要点突破】 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥ AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】 ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则 (1) (0,0,1), (0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB (2) (2,2,0),(0,0,1),0,. AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD. (3)
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算讲义新人教A版
3.1.3 空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b □05互相垂直，记作□06a ⊥b . 2．空间向量的数量积 两个向量数量积的性质： (1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔□12a·b ＝0； (2)若a 与b 同向，则a·b ＝□13|a ||b |； 若反向，则a·b ＝□ 14－|a ||b |； 特别地：a·a ＝|a |2 (3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝□ 16a·b |a ||b |； (4)|a·b |□ 17≤|a ||b |.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个非零向量a ，b ，a ∥b 是〈a ，b 〉＝0的充要条件．( ) (2)若a 2 ＝b 2 ，则a ＝b 或a ＝－b .( ) (3)若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的充要条件．( ) (4)在△ABC 中，〈AB →，BC → 〉＝∠B .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做 (1)(教材改编P 92T 3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a ，点E ，F ，G 分别为AB ， AD ，DC 的中点，则a 2等于( ) A ．2BA →·AC → B ．2AD →·BD → C ．2FG →·CA → D ．2EF →·BC → (2)若向量a 与b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π 3，则a·b ＝________. (3)已知|a |＝2，|b |＝ 22，a ·b ＝－2 2 ，则a 与b 的夹角为________． (4)已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 (1)B (2)1 (3)135° (4)1 8 解析 (1)∵AD →与BD →的夹角为60°，|AD →|＝|BD → |＝a ， ∴2AD →·BD →＝2|AD →||BD →|cos60°＝2×a ×a ×12＝a 2 . 探究1 求向量的数量积 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ， AD 的中点，计算：
高考数学空间向量与立体几何总复习
空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建 二、课标及考纲要求
三、知识要点及考点精析 （一）空间向量及其运算 1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等． 2．空间向量的线性运算 （1）空间向量的加法、减法和数乘运算 平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b+a ； ②结合律，即()()+=+a +b c a b+c ； ③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）． （2）空间向量的基本定理 ① 共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使 λa =b ．
② 共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ． ③ 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a +b +c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a , b , c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）． （3）两个向量的数量积 两个向量的数量积是a ?b= |a||b|cos，数量积有如下性质： a , b , c ① a ?e= |a|cos（e 为单位向量）； ② a ⊥a ?a ?b=0； ③ a ?a=|a|2； ④ |a ?b|≤| a||b|． 数量积运算满足运算律： ①交换律，即a ?b= b ?a ； ②与数乘的结合律，即（λa ）?b=λ（a ?b ）； ③分配律，即（a+b ） ?c =a ?c +b ?c ． 3．空间向量的坐标运算 （1）给定空间直角坐标系xyz O -和向量a ，存在惟一的有序实数组使123a a a a =i +j +k ，则123()a a a ，，叫作向量a 在空间的坐标，记作123()a a a ，，a =． （2）空间向量的直角坐标运算律 ①若123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =，则a +b 112233()a b a b a b =+++，，， -a b 112233()a b a b a b =---，，，123()a a a λλλλ=，，a ，a ?b ),,(332211b a b a b a =．
高中数学人教A版选修2-1第三章 空间向量与立体几何
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作） 第三章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 课时目标 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示． 2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义． 2．几类特殊向量 (1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量． (3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． (4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________． 3．空间向量的加减法与运算律 空间向量 的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________.
加法运 算律 (1)交换律：a ＋b ＝________ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.； 一、选择题 1．下列命题中，假命题是( ) A. 向量AB →与BA →的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等 2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( ) A. OA →＋OB →＝AB → B. OA →＋OB →＝BA → C. AO →－OB →＝AB → D. OA →－OB →＝CD → 3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于 ( ) A. OB → B. OC → C. OD → D .2OD → 4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A. AB →＝AC →＋BC → B. AB →＝－AC →－BC → C. AC →与BC →同向 D. 与AC →与CB →同向 5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( ) A. BD 1→ B. 1D B C.1B D D. 1DB 6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( ) A.EF →＋GH →＋PQ →＝0 B. EF →－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 二、填空题 7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B 的模相等的向量有________个． 8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外 心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假： ①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为________． 三、解答题 10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． ①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间中向量的概念和运算讲义(含解析)湘教版选修2_1
3．1空间中向量的概念和运算 第一课时 空间中向量的概念和线性运算 [读教材·填要点] 1．向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量． 2．用有向线段表示向量 要表示向量a ，可以从任意一点A 出发作有向量线段AB ，使AB 的方向与a 相同，长度|AB |等于a 的模，则有向线段AB 表示向量a ，记为a ＝AB ―→ . 3．空间向量加法的运算律 (1)a ＋b ＝b ＋a .(加法交换律) (2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(加法结合律) 4．向量与实数相乘 (1)向量与实数相乘：任何一个向量a 都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行． (2)①λ(a ＋b )＝λa ＋λb .(对向量加法的分配律) ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a .(对实数加法的分配律) [小问题·大思维] 1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？ 提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样． 2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？ 提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面． 3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？ 提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的． 4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？ 提示：a ，b 共线时， 这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件．
高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几-知识点+习题+答案
空间向量与立体几何 1、空间向量的概念： ()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． ()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指 的方向表示向量的方向． ()3向量AB u u u r 的大小称为向量的模（或长度） ，记作AB u u u r ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r ． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法： ()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵 循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为 起点的两个已知向量a r 、 b r 为邻边作平行四边形C OA B ， 则以O 起点的对角线C O u u u r 就是a r 与b r 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行 四边形法则． ()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵 循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则a b BA =-u u u r r r ． 3、实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λr 与a r 方向相同；当0λ<时，a λr 与a r 方向相反；当0λ=时，a λr 为零向量，记为0r ．a λr 的长度是a r 的长度的λ倍． 4、设λ，μ为实数，a r ，b r 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结 合律． 分配律：() a b a b λλλ+=+r r r r ；结合律：()()a a λμλμ=r r ． 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a r ，() 0b b ≠r r ，//a b r r 的充要条
高中数学知识点大全—空间向量与立体几何
高中数学知识点大全—空间向量与立体几何 一、考点（限考）概要： 1、空间向量及其运算 （1）空间向量的基本知识： ①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 ②空间向量基本定理： ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的 有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。 ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基 底，通常用表示。 ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。 ③共线向量（平行向量）： ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。 ⅱ规定：零向量与任意向量共线； ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ， 使。 ④共面向量： ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，则说向量平行于平面α，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。 ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。 ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上 也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。 ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。 ⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作， （两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。 ⑥两个向量的数量积： ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。
高中数学2-1学案：第三章 空间向量与立体几何3
3．1。1空间向量及其线性运算 ［学习目标］1。了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2。掌握空间向量的线性运算及运算律,理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义． 知识点一空间向量的概念 在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模． 知识点二空间向量的加减法 （1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它 们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图) 错误!＝错误!＋错误!＝a＋b; 错误!＝错误!－错误!＝a－b. (2）运算律 交换律：a＋b＝b＋a; 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）．
知识点三空间向量的数乘运算 （1)定义 实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同;当λ〈0时,λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0。λa的长度是a的长度的|λ｜倍．如图所示．(2）运算律 分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb； 结合律：λ（μa）＝(λμ)a。 知识点四共线向量定理 （1）共线向量的定义 与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b。(2)充要条件 对空间任意两个向量a，b(a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 思考（1）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同．对吗？ (2）零向量没有方向．对吗？ (3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗? 答案(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算2空间向量的数乘运算3作业含解析新人教A版选修2_
空间向量的数乘运算 时间：45分钟 分值：100分 A 学习达标 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面的向量 解析：∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ， ∴2a －b 与a ，b 共面． 答案：A 2．已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN → 满足的关系为( ) A.EF →＝MN → B.EF →∥MN → C ．|EF →|＝|MN →| D ．|EF →|≠|MN →| 解析：AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE →＝λDB →.同理NM →＝μDB →.因为μDB →∥λDB →，所以FE →∥NM →，即EF →∥MN →.又λ与μ不一定相等，故|MN →|不一定等于|EF →|. 答案：B 3．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM → ＝( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C. b － c 3 D. c －b 3 解析：设D 是BC 边中点，∵M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝1 2(c －b )， ∴AM →＝1 3(c －b )． 答案：D
4．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2 ＋ μ2≠0)，则( ) A ．a ∥e 1 B ．a ∥e 2 C ．a 与e 1、e 2共面 D ．以上三种情况均有可能 解析：a 与e 1共线，则设a ＝ke 1，所以a ＝λe 1＋μe 2可变为(k －λ)e 1＝μe 2，所以e 1 与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，即A 不正确，同理B 不正确，则D 也错误，故选C. 答案：C 5．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (x 、y 、z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若x ＋y ＋z ＝1，则原式可变形为 OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC → ， OP → －OA → ＝y (OB →－OA → )＋z (OC →－OA → )， ∴AP →＝yAB →＋zAC → ，∴P 、A 、B 、C 四点共面． 反之，若P 、A 、B 、C 四点共面，由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP →＝OM → ＋ sMA →＋tMB →(其中s 、t 是唯一的一对有序实数)．∵MA →＝OA →－OM →，MB →＝OB →－OM →，则OP → ＝(1－s －t )OM →＋sOA →＋tOB → .令x ＝1－s －t ，y ＝s ，z ＝t ，则有x ＋y ＋z ＝1. 答案：C 6．下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 解析：C 选项中MA →＝－MB →－MC → ， ∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C. 答案：C 二、填空题(每小题8分，共24分)
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习(含解析)新人教A版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运 算练习（含解析）新人教A 版选修21 [学生用书P135(单独成册)] [A 基础达标] 1．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1 2，则两直线的夹 角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：选B.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1 2 ，所以θ＝120°，则两 个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF → 的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C.14 a 2 D ． 34 a 2 解析：选C.AE →·AF → ＝12(AB →＋AC →)·12AD → ＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a ×a ×12＋a ×a ×12)＝14 a 2. 3.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a ，点E ，F ， G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) A ．2BA →·AC → B ．2AD →·BD → C ．2FG →·CA → D ．2EF →·CB → 解析：选B.2BA →·AC →＝2a 2cos 120°＝－a 2，2AD →·BD →＝2DA →·DB →＝2a 2cos 60°＝a 2 ，2FG →·CA →＝AC →·CA →＝－a 2 ，2EF →·CB →＝BD →·CB →＝－BD →·BC →＝－12 a 2，故选B.
2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量基本定理 3.1
3.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示 1．空间向量基本定理 如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ， z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. 2．基底、基向量 在空间向量基本定理中，e 1，e 2，e 3是空间不共面的三个向量，则把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量.0不能作为基向量． 3．正交基底、单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ， k }表示． 4．空间向量基本定理的推论 设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP → ＝xOA → ＋yOB →＋zOC → . 5．空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则AB → ＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标． (2)空间向量的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是否唯一？ [提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A.AB →，AC →，AD → B.AB →，AA 1→，AB 1→ C.D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D → D.AC 1→，A 1C →，CC 1→ C [由题意知， D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D → 不共面，可以作为空间向量的一个基底．] 2．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) D [4a ＝(12，－8,4)，2b ＝(－4,8,0)， ∴4a ＋2b ＝(8,0,4)．] 3．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________． a ＝(4，－8,3) b ＝(－2，－3,7) [由题意知a ＝(4，－8，3)，b ＝(－2，－3,7)．] 4．设a ＝(1,2,3)，b ＝(－2,2，－2)，若(k a －b )∥(a ＋b )，则k ＝________. －1 [k a －b ＝k (1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k ＋2,2k －2,3k ＋2)，a ＋b ＝(－1,4,1)．∵(k a －b )∥(a ＋b )， ∴ k ＋2－1 ＝ 2k －2 4 ＝3k ＋2，解得k ＝－1.] 【例________(填序号)． ①{a ，a ＋b ，a －b }；②{b ，a ＋b ，a －b }；③{c ，a ＋b ，a －b }；④{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }．
江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算
第3章 空间向量与立体几何 3．1 空间向量及其运算 一、学习内容、要求及建议 二、预习指导 1．预习目标 (1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法； (2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法； (3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； (4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量； (5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤． (6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； (7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质 知识、方法 要求 学习建议 空间向量的概念 了解 空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相 同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类 比进行理解﹒ 空间向量共线、共 面的充分必要条件 理解 共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同． 空间向量的加法、 减法及数乘运算 理解 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间 向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒ 空间向量的坐标表 示 理解 空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似， 具有类似的运算法则，学习中可类比推广． 空间向量的数量积 理解 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐 标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解 向量长度公式及空间两点间距离公式． 空间向量的共线与 垂直 理解 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
人教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量及立体几何 3.1空间向量及其运算 §3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算 1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB +BC + CD +DA =0； ②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面； ③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。 A .1 B .2 C .3 D .4 2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( ) A .（ 41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3 2 ） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中， AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则 4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________. 5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值. §3.1.3空间向量的数量积运算 1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为 ( ) A . 1010 B . 1 5 C . 31010 D . 35 2．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足 0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=， 0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定的 3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且 ∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； _C _D _A _P _ N _B _M
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间中向量的概念和运算学案 湘教版选修2-1-湘教版高
3．1 空间中向量的概念和运算 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法． 2. 掌握空间向量的线性运算，数量积． 3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题． 1．空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模． (2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是 A ，终点是 B ，则a 也可记作AB →，其模记作|AB → |或|a |. 2．空间向量的加减法 如图，从任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b .并且从A 出发作AC →＝b ，则a ＋b ＝OC → ，a －b ＝BA →． 3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ． (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．空间向量与实数相乘 (1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量． (2)向量a 与λa 的关系 λ的范围 方向关系 模的关系 λ>0 方向相同 λa 的模是a 的模的|λ|倍 λ＝0 λa ＝0，其方向是任意的 λ<0 方向相反 (3)空间向量与实数的乘法运算律 ①λ(a ＋b )＝λa ＋λb (对向量加法的分配律)． ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a (对实数加法的分配律)．
5．空间向量的数量积 (1)定义：从空间任意一点O 出发作OA →＝a ，OB → ＝b ，则θ＝∠AOB 就是a ，b 所成的角， a ， b 的数量积a ·b ＝|a ||b |·cos__θ. (2)空间向量数量积的运算律 向量与实数相乘和向量 数量积的结合律 (λa )·b ＝λ(a·b ) 交换律 a·b ＝b·a 分配律 a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 1．下列命题错误的是( ) A ．空间向量A B →的长度与向量BA → 的长度相等 B ．零向量没有长度，所以它不是空间向量 C ．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 解析：选B.A 中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B 错误；C 是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D 正确． 2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→ ＝c ，则a·(b ＋c )的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：选B.a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＝0. 3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量AA 1→与CC 1→是______向量，向量AC →与C 1A 1→ 是________向量． 答案：相等 相反 空间向量的加减运算 如图所示，已知长方体ABCD A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标 出化简结果． (1)AA ′→－CB →；
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量与立体几何 【知识要点】 1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算： ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立． ②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )； 分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ． (2)空间向量的基本定理： ①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ． ②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ． ③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ． (3)空间向量的数量积运算： ①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉； ②空间向量的数量积的性质： a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥ b ⇔a ·b ＝0； |a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜． ③空间向量的数量积的运算律： (λ a )·b ＝λ (a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ； 分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示： ①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)． ②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 a ＋ b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件： a ∥ b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )； a ⊥ b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
空间向量及其运算 课时分配: 第一课空间向量及其加减运算 1个课时 第二课空间向量的数乘运算 1个课时 第三课空间向量的数量积运算 1个课时 第四课空间向量运算的坐标表示1个课时 3. 1.1 空间向量及其加减运算 【教学目标】 1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法； 2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件； 3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。 【教学重点】 点在已知平面内的充要条件。共线、共面定理及其应用。 【教学难点】 对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
b a AB OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=； )(R a OP ∈=λλ 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向 量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零 向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。 向量b 与非零向量a 共线 的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。 这个定理称为平面向量共 线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。 条有向线段来表示。 思考： 运算律：（1）加法交 换律：a b b a +=+ （2）加法结合 律： ) ()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配 律： b a b a λλλ+=+)( C B A O b b b a a a C' B'A' D' D A B C
高中数学空间向量及其运算教案1 新人教A版选修2-1
第三章空间向量与立体几何 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表