第三节 数据采样法插补
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O
Pi
△L=FT
X
插补周期(Ts)与位置控制周期(Tc)
插补周期Ｔs是相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔。 位置控制周期Ｔc是数控系统中伺服位置环的采样控制周期。 计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位 置进行比较，得出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟 随指令位置。 对于给定的某个数控系统而言，插补周期和位置控制周期 是两个固定不变的时间参数。
Δ Xi
Y
E(Xe，Ye）
Δ Yi
cos ye / xe ye
2
2
α
O
直线插补
X
tan ye / xe
若已计算出轮廓步长，从而 求得本次插补周期内各坐标轴 进给量为：
xi l cos x x x i 1 i i yi 1 xi 1 tan yi yi 1 yi
2.圆弧插补
圆弧插补，需先根据指令中 的进给速度F，计算出轮廓步 长l ，再进行插补计算。以弦 线逼近圆弧，就是以轮廓步长 为圆弧上相邻两个插补点之间 的弦长，由前一个插补点的坐 标和轮廓步长，计算后一插补 点，实质上是求后一插补点到 前一插补点两个坐标轴的进给 量ΔX、ΔY。
圆弧插补
如右图所示，A(Xi,Yi)为当前点，
2
8
R
第三节
数据采样法插补
设T为插补周期，F为进给速度，则轮廓步长为
l TF
用轮廓步长代替弦长，有
l TF R R
有：
可见，圆弧插补过程中，用弦线逼近圆弧时，插补误差er与程编 进给速度F的平方、插补周期T的平方成正比，与圆弧半径R成反比。
(TF ) 2 er 8R
第三节
数据采样法插补
1 1 l cos X ， 将DH=Xi，OCபைடு நூலகம்Yi，HM＝ 2 2
CD＝
代入上式，则有：
1 1 l sin Y 2 2
GB Y 又因为：tg GA X
1 1 l cos X i X 1 2 2 tg tg i ＝ 1 1 2 Yi l sin Yi Y 2 2 Xi
插补周期T与插补运算时间Ts的关系:
一旦系统各种线形的插补算法设计完毕，那么 插补运算的最长时间Tsmax就确定了。显然要求：
Tsmax < T
在采用分时共享的CNC系统中， Tsmax < T/2 这是因为系统除进行插补运算外，CPU还要执行诸如位 置控制、显示等其他任务。
第三节
数据采样法插补
插补周期T与位置控制周期Δ TP 的关系：
插补周期Ｔs对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨
迹精度有影响，控制周期Ｔc对系统稳定性和轮廓误差均有影 响。因此选择Ｔs时主要从插补精度方面考虑，而选择Ｔc时 则从伺服系统的稳定性和动态跟踪误差两方面考虑。
插补周期(Ts)与位置控制周期(Tc)
一般插补周期Ｔs越长，插补计算的误差也越大。因此单 从减小插补计算误差的角度考虑，插补周期Ｔs应尽量选得小 一些。但Ｔs也不能太短，因为ＣＮＣ系统在进行轮廓插补控 制时，其ＣＮＣ装置中的ＣＰＵ不仅要完成插补运算，还必 须处理一些其他任务（如位置误差计算、显示、监控、I／Ｏ 处理等），因此Ｔs不单是指ＣＰＵ完成插补运算所需的时间， 而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的ＣＮＣ任务。 一般要求插补周期Ｔs必须大于插补运算时间和完成其他相关 任务所需时间之和。 ＣＮＣ系统位置控制周期的选择有两种形式。一种是 Ｔc ＝Ｔs，另一种是Ｔｓ为Ｔc的整数倍。
OA垂直于AP (AP为圆弧切线) △AOC∽△PAG ∠AOC＝∠GAP＝ ∠PAB+∠OAM=900 1 ∠PAB＝∠AOM=∠AOB＝ 2 1 i ＝∠GAB＝∠GAP＋∠PAB＝ 2
1 DM DH HM ＝ △MOD中 tg i 2 OD OC CD
第一步为粗插补，它是在给定起 点和终点的曲线之间插入若干个 点，即用若干条微小直线段来拟 合给定曲线，每一微小直线段的 长度△L都相等，且与给定进给 速度有关。微小直线段的长度与 进给速度F和插补T周期有关， 即△L＝FT。
Y
Pn P1 P0
△L=FT
O Y
Pi+1
X
第二步为精插补，它是在粗 插补算出的每一微小直线上再 作“数据点的密化”工作，相 当于对直线的脉冲增量插补。
插补周期T与精度δ、速度F的关系:
在数据采样法直线插补过程中，由于给定的轮 廓本身就是直线，则插补分割后的小直线段与给 定直线是重合的，也就不存在插补误差问题。但 在圆弧插补过程中，一般采用切线、内接弦线和 内外均差弦线来逼近圆弧，显然这些微小直线段 不可能完全与圆弧相重合，从而造成了轮廓插补 误差。
tg ′与 tg 不同，从而造成了 的偏差，在 ＝0 处偏差较 大。如图3-31所示，由于角 成为 ′，因而影响到 X 值，使之为 X′： X l cos AT
练习：
Jvx
5 5
JRx
0
5 2 7 4 1 6 3 7
+1
Ex
5 5 4 4
+1 +1
Jvy JRy
0 0 0 1 1 2 3 3 0 0 0 1 2 4 7 2 6
+1
Ey
5 5 5 5 5 5 5 4
B(5,0)
5 5 5 5 5 5 4
3
2 2 1
+1
A(0,-5)
……….
1
4
4
累加次数 m
101
010 111 100 001 110 011 111 011
0
1 0 1 1 0 1 0 1
101
100 100 011 010 010 001 001 000 000 001 001 010 011 011 100 100 101 101 101 101
000
000 001 010 100 111 010 110 010 111 100 001 011
3.插补精度分析
直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插补误差。 圆弧插补时，轮廓步长作为弦线或割线对圆弧进行逼近，存 在半径误差。
插补周期T与精度δ 、速度F的关系:
用弦线逼近圆弧，其最大径向误差er为：
Y er
er R(1 cos ) 2 式中: R —被插补圆弧半径（mm）；
R
第三节 数据采样法插补
采样是指由时间上连续信号取出不连续信号，对时间上连 续的信号进行采样，就是通过一个采样开关K（这个开关K每 隔一定的周期TC闭合一次）后，在采样开关的输出端形成一连 串的脉冲信号。这种把时间上连续的信号转变成时间上离散的 脉冲系列的过程称为采样过程，周期T叫采样周期。 计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位 置进行比较，得出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟随 指令位置。对于给定的某个数控系统，插补周期Ts和采样周期 TC是固定的，通常Ts≥TC，一般要求Ts是TC的整数倍。
δ x
X
脉冲增量插补：计算机不包含在伺服控制环内，计算机插补 的结果是输出进给脉冲，伺服系统根据进给脉冲运动。每进给 一步，都要进行一次插补运算。进给速度受插补速度的限制， 难以满足现代数控机床高速度的要求，多用于进给速度要求不 太高的步进式开环控制系统。 数据采样插补：计算机包含在伺服控制环内，用小段直线来 逼近给定轨迹，输出的是下一个插补周期内各轴运动距离，不 需要每走一个脉冲当量就插补一次，可达到很高的进给速度， 多用于进给速度要求较高的闭环、半闭环控制系统。
X积分器JVX （存 yj）
X积分器 JRX
X积分器 JVX
EX
Y积分器 JVY （存 xi）
Y积分 器 JR Y
Y积分 器 JR Y
EY
0
101
000
0
101
000
000
0
101
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14
101
101 101 101 101 101 101 100 100 011 011 010 001
数据采样法实质上就是用一系列首尾相连的微小 直线段来逼近给定的曲线。由于这些线段是按加工 时间进行分割的，所以，也称为“时间分割法”。 一般分割后得到的小线段相对于系统精度来讲仍是 比较大的。为此，必须进一步进行数据的密化工作。 微小直线段的分割过程也称为粗插补，而后续进一 步的密化过程称为精插补。通过两者的紧密配合即 可实现高性能的轮廓插补。
第三节
数据采样插补
数据采样法插补
又称时间标量插补或数字增量插补。这类插补算法的特点是 数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。 插补程序每调用一次，算出坐标轴在一个周期中的增长段， 得到坐标轴相应的指令位置，与通过位置采样所获得的坐标轴 的现时的实际位置（数字量）相比较,求得跟随误差。位置伺 服软件将根据当前的跟随误差算出适当的坐标轴进给速度指令， 输出给驱动装置。 数据采样插补用小段直线来逼近给定轨迹，插补输出的是下 一个插补周期内各轴要运动的距离，不需要每走一步脉冲当量 插补一次，从而达到很高的进给速度。插补运算分两步完成。
—角步距，在一个插补周期 内逼近弦所对应的圆心角。
将式(3-26)中的 cos( / 2) 展开，得: 用幂级数
δ
er R(1 cos
2
O
)
图5-29 圆弧插补
X
/ 2 2 / 2 2 R 1 1 2! 4!
（ 由此可以推出：xi，yi）与x、y 的关系式： 1 1 X i X X i l cos Y 2 2 1 1 X Yi Y Yi l sin 2 2 上式反映了圆弧上任意相邻两插补点坐标之间的关系，只要求得 X 和 Y ，就可以计算出新的插补点
B( X i 1 , Yi 1 )
T= nΔ TP
n=0，1，……
由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此插 补周期最好是位置控制周期的整数倍。 例如，FANUC 7M系统的插补周期是8ms，而位置 控制周期是4ms。
二 、直接函数法
1.直线插补
设要加工右图所示直线 OE ，起点 在坐标原点O，终点为 E （Xe,Ye）， 直线与X轴夹角为，则有：
数控技术
主讲人：林金忠
宋丽涵
机电工程学院
其它象限顺、逆圆插补过程基本与第一象限逆圆
弧一致，区别是控制△x、△y进给方向不同；修 改Jvx、Jvy内容是加“1”还是减“1”，由xi和yj坐 标值的增减而定。 SR SR SR SR NR NR NR NR 1 2 3 4 1 2 3 4 Jvx（yj） －1 ＋1 －1 ＋1 ＋1 －1 ＋1 －1 Jvy（xi） ＋1 －1 ＋1 －1 －1 ＋1 －1 ＋1 △x ＋ ＋ － － － － ＋ ＋ △y － ＋ ＋ － ＋ － － ＋
1.数据采样插补的基本原理
粗插补：采用时间分割思想，根据进给速度F和插补周期T， 将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长L,L=FT，然后计算出每个 插补周期的坐标增量。 精插补：根据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统完成。
2.插补周期和检测采样周期
插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和， 现代数控系统一般为2-4ms，有的已达到零点几毫秒。插补周期 应是位置反馈检测采样周期的整数倍。
B(Xi+1,Yi+1）为插补后到达的点，图 中AB弦正是圆弧插补时在一个插补周期 的步长l，需计算x轴和y轴的进给量 ΔX=Xi+1-Xi ， ΔY=Yi+1-Yi 。AP是A点 的切线，M是弦的中点，OM⊥AB，ME
⊥AG，E为AG的中点。圆心角计算如下:
i 1 i
圆弧插补
因为 所以 则 因为 所以 设
X i 1 X i X Yi 1 Yi Y
cos 上式中， 和 sin 均为未知，求解较困难。为此，采用近似算 0 0 法，用 cos 45 和 sin 45 来代替 ，即 1 Xi l co s 4 5 2 tg ' 1 Yi l sin 4 5 2
0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1
101
101 101 101 101 101 100 100 011 011 010 001 000
脉 冲 增δ 量 插 补
Y y
Xs,Ys
被插补曲线 插补轨迹
Xe,Ye
数 据 采 样 插 补
Y
Xs,Ys
粗插补点 被插补曲线
精插补点 粗插补直线段 Xe,Ye O X
Pi
△L=FT
X
插补周期(Ts)与位置控制周期(Tc)
插补周期Ｔs是相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔。 位置控制周期Ｔc是数控系统中伺服位置环的采样控制周期。 计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位 置进行比较，得出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟 随指令位置。 对于给定的某个数控系统而言，插补周期和位置控制周期 是两个固定不变的时间参数。
Δ Xi
Y
E(Xe，Ye）
Δ Yi
cos ye / xe ye
2
2
α
O
直线插补
X
tan ye / xe
若已计算出轮廓步长，从而 求得本次插补周期内各坐标轴 进给量为：
xi l cos x x x i 1 i i yi 1 xi 1 tan yi yi 1 yi
2.圆弧插补
圆弧插补，需先根据指令中 的进给速度F，计算出轮廓步 长l ，再进行插补计算。以弦 线逼近圆弧，就是以轮廓步长 为圆弧上相邻两个插补点之间 的弦长，由前一个插补点的坐 标和轮廓步长，计算后一插补 点，实质上是求后一插补点到 前一插补点两个坐标轴的进给 量ΔX、ΔY。
圆弧插补
如右图所示，A(Xi,Yi)为当前点，
2
8
R
第三节
数据采样法插补
设T为插补周期，F为进给速度，则轮廓步长为
l TF
用轮廓步长代替弦长，有
l TF R R
有：
可见，圆弧插补过程中，用弦线逼近圆弧时，插补误差er与程编 进给速度F的平方、插补周期T的平方成正比，与圆弧半径R成反比。
(TF ) 2 er 8R
第三节
数据采样法插补
1 1 l cos X ， 将DH=Xi，OCபைடு நூலகம்Yi，HM＝ 2 2
CD＝
代入上式，则有：
1 1 l sin Y 2 2
GB Y 又因为：tg GA X
1 1 l cos X i X 1 2 2 tg tg i ＝ 1 1 2 Yi l sin Yi Y 2 2 Xi
插补周期T与插补运算时间Ts的关系:
一旦系统各种线形的插补算法设计完毕，那么 插补运算的最长时间Tsmax就确定了。显然要求：
Tsmax < T
在采用分时共享的CNC系统中， Tsmax < T/2 这是因为系统除进行插补运算外，CPU还要执行诸如位 置控制、显示等其他任务。
第三节
数据采样法插补
插补周期T与位置控制周期Δ TP 的关系：
插补周期Ｔs对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨
迹精度有影响，控制周期Ｔc对系统稳定性和轮廓误差均有影 响。因此选择Ｔs时主要从插补精度方面考虑，而选择Ｔc时 则从伺服系统的稳定性和动态跟踪误差两方面考虑。
插补周期(Ts)与位置控制周期(Tc)
一般插补周期Ｔs越长，插补计算的误差也越大。因此单 从减小插补计算误差的角度考虑，插补周期Ｔs应尽量选得小 一些。但Ｔs也不能太短，因为ＣＮＣ系统在进行轮廓插补控 制时，其ＣＮＣ装置中的ＣＰＵ不仅要完成插补运算，还必 须处理一些其他任务（如位置误差计算、显示、监控、I／Ｏ 处理等），因此Ｔs不单是指ＣＰＵ完成插补运算所需的时间， 而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的ＣＮＣ任务。 一般要求插补周期Ｔs必须大于插补运算时间和完成其他相关 任务所需时间之和。 ＣＮＣ系统位置控制周期的选择有两种形式。一种是 Ｔc ＝Ｔs，另一种是Ｔｓ为Ｔc的整数倍。
OA垂直于AP (AP为圆弧切线) △AOC∽△PAG ∠AOC＝∠GAP＝ ∠PAB+∠OAM=900 1 ∠PAB＝∠AOM=∠AOB＝ 2 1 i ＝∠GAB＝∠GAP＋∠PAB＝ 2
1 DM DH HM ＝ △MOD中 tg i 2 OD OC CD
第一步为粗插补，它是在给定起 点和终点的曲线之间插入若干个 点，即用若干条微小直线段来拟 合给定曲线，每一微小直线段的 长度△L都相等，且与给定进给 速度有关。微小直线段的长度与 进给速度F和插补T周期有关， 即△L＝FT。
Y
Pn P1 P0
△L=FT
O Y
Pi+1
X
第二步为精插补，它是在粗 插补算出的每一微小直线上再 作“数据点的密化”工作，相 当于对直线的脉冲增量插补。
插补周期T与精度δ、速度F的关系:
在数据采样法直线插补过程中，由于给定的轮 廓本身就是直线，则插补分割后的小直线段与给 定直线是重合的，也就不存在插补误差问题。但 在圆弧插补过程中，一般采用切线、内接弦线和 内外均差弦线来逼近圆弧，显然这些微小直线段 不可能完全与圆弧相重合，从而造成了轮廓插补 误差。
tg ′与 tg 不同，从而造成了 的偏差，在 ＝0 处偏差较 大。如图3-31所示，由于角 成为 ′，因而影响到 X 值，使之为 X′： X l cos AT
练习：
Jvx
5 5
JRx
0
5 2 7 4 1 6 3 7
+1
Ex
5 5 4 4
+1 +1
Jvy JRy
0 0 0 1 1 2 3 3 0 0 0 1 2 4 7 2 6
+1
Ey
5 5 5 5 5 5 5 4
B(5,0)
5 5 5 5 5 5 4
3
2 2 1
+1
A(0,-5)
……….
1
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累加次数 m
101
010 111 100 001 110 011 111 011
0
1 0 1 1 0 1 0 1
101
100 100 011 010 010 001 001 000 000 001 001 010 011 011 100 100 101 101 101 101
000
000 001 010 100 111 010 110 010 111 100 001 011
3.插补精度分析
直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插补误差。 圆弧插补时，轮廓步长作为弦线或割线对圆弧进行逼近，存 在半径误差。
插补周期T与精度δ 、速度F的关系:
用弦线逼近圆弧，其最大径向误差er为：
Y er
er R(1 cos ) 2 式中: R —被插补圆弧半径（mm）；
R
第三节 数据采样法插补
采样是指由时间上连续信号取出不连续信号，对时间上连 续的信号进行采样，就是通过一个采样开关K（这个开关K每 隔一定的周期TC闭合一次）后，在采样开关的输出端形成一连 串的脉冲信号。这种把时间上连续的信号转变成时间上离散的 脉冲系列的过程称为采样过程，周期T叫采样周期。 计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位 置进行比较，得出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟随 指令位置。对于给定的某个数控系统，插补周期Ts和采样周期 TC是固定的，通常Ts≥TC，一般要求Ts是TC的整数倍。
δ x
X
脉冲增量插补：计算机不包含在伺服控制环内，计算机插补 的结果是输出进给脉冲，伺服系统根据进给脉冲运动。每进给 一步，都要进行一次插补运算。进给速度受插补速度的限制， 难以满足现代数控机床高速度的要求，多用于进给速度要求不 太高的步进式开环控制系统。 数据采样插补：计算机包含在伺服控制环内，用小段直线来 逼近给定轨迹，输出的是下一个插补周期内各轴运动距离，不 需要每走一个脉冲当量就插补一次，可达到很高的进给速度， 多用于进给速度要求较高的闭环、半闭环控制系统。
X积分器JVX （存 yj）
X积分器 JRX
X积分器 JVX
EX
Y积分器 JVY （存 xi）
Y积分 器 JR Y
Y积分 器 JR Y
EY
0
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000
0
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000
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101
101 101 101 101 101 101 100 100 011 011 010 001
数据采样法实质上就是用一系列首尾相连的微小 直线段来逼近给定的曲线。由于这些线段是按加工 时间进行分割的，所以，也称为“时间分割法”。 一般分割后得到的小线段相对于系统精度来讲仍是 比较大的。为此，必须进一步进行数据的密化工作。 微小直线段的分割过程也称为粗插补，而后续进一 步的密化过程称为精插补。通过两者的紧密配合即 可实现高性能的轮廓插补。
第三节
数据采样插补
数据采样法插补
又称时间标量插补或数字增量插补。这类插补算法的特点是 数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。 插补程序每调用一次，算出坐标轴在一个周期中的增长段， 得到坐标轴相应的指令位置，与通过位置采样所获得的坐标轴 的现时的实际位置（数字量）相比较,求得跟随误差。位置伺 服软件将根据当前的跟随误差算出适当的坐标轴进给速度指令， 输出给驱动装置。 数据采样插补用小段直线来逼近给定轨迹，插补输出的是下 一个插补周期内各轴要运动的距离，不需要每走一步脉冲当量 插补一次，从而达到很高的进给速度。插补运算分两步完成。
—角步距，在一个插补周期 内逼近弦所对应的圆心角。
将式(3-26)中的 cos( / 2) 展开，得: 用幂级数
δ
er R(1 cos
2
O
)
图5-29 圆弧插补
X
/ 2 2 / 2 2 R 1 1 2! 4!
（ 由此可以推出：xi，yi）与x、y 的关系式： 1 1 X i X X i l cos Y 2 2 1 1 X Yi Y Yi l sin 2 2 上式反映了圆弧上任意相邻两插补点坐标之间的关系，只要求得 X 和 Y ，就可以计算出新的插补点
B( X i 1 , Yi 1 )
T= nΔ TP
n=0，1，……
由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此插 补周期最好是位置控制周期的整数倍。 例如，FANUC 7M系统的插补周期是8ms，而位置 控制周期是4ms。
二 、直接函数法
1.直线插补
设要加工右图所示直线 OE ，起点 在坐标原点O，终点为 E （Xe,Ye）， 直线与X轴夹角为，则有：
数控技术
主讲人：林金忠
宋丽涵
机电工程学院
其它象限顺、逆圆插补过程基本与第一象限逆圆
弧一致，区别是控制△x、△y进给方向不同；修 改Jvx、Jvy内容是加“1”还是减“1”，由xi和yj坐 标值的增减而定。 SR SR SR SR NR NR NR NR 1 2 3 4 1 2 3 4 Jvx（yj） －1 ＋1 －1 ＋1 ＋1 －1 ＋1 －1 Jvy（xi） ＋1 －1 ＋1 －1 －1 ＋1 －1 ＋1 △x ＋ ＋ － － － － ＋ ＋ △y － ＋ ＋ － ＋ － － ＋
1.数据采样插补的基本原理
粗插补：采用时间分割思想，根据进给速度F和插补周期T， 将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长L,L=FT，然后计算出每个 插补周期的坐标增量。 精插补：根据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统完成。
2.插补周期和检测采样周期
插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和， 现代数控系统一般为2-4ms，有的已达到零点几毫秒。插补周期 应是位置反馈检测采样周期的整数倍。
B(Xi+1,Yi+1）为插补后到达的点，图 中AB弦正是圆弧插补时在一个插补周期 的步长l，需计算x轴和y轴的进给量 ΔX=Xi+1-Xi ， ΔY=Yi+1-Yi 。AP是A点 的切线，M是弦的中点，OM⊥AB，ME
⊥AG，E为AG的中点。圆心角计算如下:
i 1 i
圆弧插补
因为 所以 则 因为 所以 设
X i 1 X i X Yi 1 Yi Y
cos 上式中， 和 sin 均为未知，求解较困难。为此，采用近似算 0 0 法，用 cos 45 和 sin 45 来代替 ，即 1 Xi l co s 4 5 2 tg ' 1 Yi l sin 4 5 2
0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1
101
101 101 101 101 101 100 100 011 011 010 001 000
脉 冲 增δ 量 插 补
Y y
Xs,Ys
被插补曲线 插补轨迹
Xe,Ye
数 据 采 样 插 补
Y
Xs,Ys
粗插补点 被插补曲线
精插补点 粗插补直线段 Xe,Ye O X