极限存在准则,两个重要极限

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则；

2、掌握两个常用的不等式；

3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则；

3、两个重要极限。 【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

1、∑

=∞

→+1000

12

1lim

i n i n 1000个0相加，极限等于0。

2、∑

=∞

→+n

i n i

n 1

21lim

无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、n n x ∞

→lim ，其中13

n

n x x ，1

3x ，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1. 夹逼准则

准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:

,

lim ,lim )2()

3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n

n n ===≤≤∞

→∞

→

那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞

→lim .

证：,,

a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε

,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当

取12max{,},N N N 上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n

当n

N 时，恒有 ,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞

→

上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当),(0δx U x o

∈ (或M x >)时,有

,)(lim ,

)(lim )2(),()()()1()

()

(00A x h A x g x h x f x g x x x x x x ==≤≤∞→→∞→→

那么)(lim )

(0x f x x x ∞→→存在, 且等于A .

准则 I 和准则 I '称为夹逼准则。

【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出n y 与n z ，并且n y 与n z 的极限是容易求的。

例1 求2

2

2

11

1

lim(

).1

2

n

n

n

n

n

解：

2

2

2

2

1

1

,1

1

n n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n n n 111lim

lim

2

+=+∞

→∞

→又 ,1= 2

2

111lim

1

lim

n n n n n +=+∞

→∞

→,1=

由夹逼定理得：.1)1

2

11

1(

lim 2

2

2

=++

+++

+∞

→n

n n n n

【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用

2. 单调有界准则

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

如果数列{}n x 满足条件 ≤≤≤≤≤≤+1321n n x x x x x ，就称数列{}n x 是单调增加的；如果数列{}n x 满足条件 ≥≥≥≥≥≥+1321n n x x x x x ，就称数列{}n x 是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

几何解释:

例2 证明数列2

2

2n x （n 重根式）的极限存在

【分析】已知n n x x +=

+21，21=x ，求n n x ∞

→lim 。首先证明是有界的，然后证明是

单调的，从而得出结论

证：1、证明极限存在 a) 证明有上界

21=x 2<，设221<+=-n n x x ，则22221=+<+=+n n x x

1

2x 31

+n x n A M

所以对任意的n ，有2

0221=-⋅>-=-+>-+=-+n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x

所以n n x ∞

→lim 存在

2、求极限

设n n x ∞

→lim l =，则l l +=

2，解得2=l （1-=l 舍去）

所以n n x ∞

→lim =2

二、两个重要极限

1.

1

sin lim

0=→x

x

x

如右图所示，)2

0(,,π

<

<=∠x x AOB O 圆心角设单位圆，

.ACO ∆，得作单位圆的切线,x OAB 的圆心角为扇形 ,BD OAB 的高为∆,tan ,

,

sin AC x AB x BD x ===弧于是有

,tan sin x x x <<∴ ,1sin cos <

,20时当π

<

x = 2

)2

(2x < ,22x =

,02lim 20=→x x ,0)cos 1(lim 0=-∴→x x ,1cos lim 0=∴→x x ,11lim 0=→x 又 .1sin lim 0=∴→x

x

x 例3 求下列极限 （1）2

01cos lim

.x

x

x

解：原极限

2

20

2sin 2lim

x x x 220)2(2sin lim

21x x x →= 20)2

2sin

(lim 21x

x

x →= 2121⋅= .21= （2）x

x x 1

sin

lim ∞

→ 解：原极限=y

y

y sin lim

0→=1（1y

x

令） （3）π

π

-→x x x sin lim

A

x B

D