167;5马尔科夫预测技术
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马尔柯夫链分析法
是一种统计分析方法： 概率论和随机过程为基础
是一种动态分析法： 以发展的观点分析客观对象发展变化过程
中的数量关系及其规律。 马尔柯夫链预测是根据状态之间的转移概率来
推测系统未来发展变化。转移概率反映了各种随机 因素的影响程度，因而马尔柯夫链适合于随机波动 较大的序列的预测问题。
马尔柯夫链应用领域
其它用地 0.010 0.005 0.010 0.005 0.900
两步和三步转移概率矩阵
利用公式 P(n) Pn (n=2,3)计算： 表3.10 二步转移概率矩阵
耕地 耕地 0.645 林地 0.019 草地 0.036 建设用地 0.044 其它用地 0.086
林地 0.053 0.811 0.037 0.020 0.029
P21和P22时，总数减1。 因此，阴晴状态的转移概率矩阵为：
p
p11 p21
p12 p22
0.56 0.67
0.44 0.33
同理可计算多步转移概率。
2.2.2 利用马尔柯夫链的性质计算
对于n阶转移概率(n≥2),
pij (n) 可认为随机过程是由状态 Ei
经过ｍ次(n>ｍ≥1)转移成为状态 Eik (m)
2.1 转移概率矩阵
记En为时刻t事物所处的状态，则
P(En1 j | En i) pij (i, j 1, 2, n)
表示事物由状态En(tn时刻）转移到En+1 (tn+1时刻）的可能性，即从状态i一步转移
到j的概率，称为一步转移概率。 将上述 pij 依次排列构成转移概率矩阵。
转移概率矩阵：
p2
N
(n)
p NN (n)
据上式可对n步转移后的系统状态进行预测。
3. 实例分析
根据某地区1990年和2000年间土地利用类型之 间的变化，预测2010年和2020年土地利用结构。
某地区1990至2000年间土地利用结构变化
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
1990 年
1080 320 120 220 180
或称之高阶转移概率矩阵。
n步转移概率矩阵性质：
（1）元素非负性，即: pij (n) 0,i, j 1, 2, , N.
（2）矩阵行元素的和等于1，即:
N
pij (n) 1,i 1, 2, N.
j 1
2.2 转移概率的计算
方法1： 由资料直接计算
方法2： 利用马尔柯夫链的性质计算
2.2.1 由资料直接计算
公式：
pij
(n)
M ij (n) Mi
, (i,
j
1, 2,
,N)
式中：
以频率 代替概率
Mij (n) 为随机过程ｘ(ｔ)由状态 Ei 经过n次(步)转移到状态 E j的原始数据样本数;
Mi为处于状态 Ei 的原始数据样本数。
例3.6：以某地区16天内阴晴变化顺序，试计 算其一步转移概率矩阵。
以pij表示不同状态间转移的概率，则： p11-连续晴的可能性，有：p11=5/9≈0.56； p12-晴转阴的可能性，有：p12=4/9≈0.44； p21-阴转晴的可能性，有：p21=4/6≈0.67； p22-连续阴的可能性，有：p22=2/6≈0.33； 由于最后一个状态（阴天）无后续状态，计算
即可建立了马尔柯夫链。
2.3 预测模型
若系统的初始状态为 (P1, P2, , Pn ) 则第n步状态为：
(P1(n), P2 (n), , Pn (n))
(P1, P2 ,
p (n)
11
p ,
Pn
)
(n)
21
p
(n)
N1
p (n) 12
p (n) 22
p (n) N2
p (n) 1N
t 若系统在 n 时刻状态为 Ei
经过n步转移，在时刻 tnm 时处于状态 E j
这种转移可能性的数量指标为n步转移概率， 记为：
p(Enm j | Em i) pij (n)
n步转移概率矩阵
如果随机过程状态由状态Ei经过2次，3次， 以至n次转移到状态Ej
则相应的转移概率称之为2阶，3阶，…，k
时齐性：
若转移概率 pij (t, ) 仅与i,j及时间间距(τ-t)有关，
则称该过程为时齐的，简记为： pij ( ) pij (t, t )
结合平稳时间序列的 时间平移不变性理解
马尔科夫过程：
马尔柯夫过程：若随机过程x(t)在时刻t处于 状态E，时刻τ(τ>t)系统所处状态与t以前所处 状态无关，则称马尔科夫过程。
草 地 建设用地 其它用地 0.019 0.266 0.018 0.010 0.150 0.010 0.758 0.151 0.018 0.019 0.908 0.010 0.019 0.056 0.811
表3.11 三步转移概率矩阵
耕 地 林 地 草 地 建设用地 Leabharlann Baidu它用地
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
表3.7 某地区16天阴晴变化
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 14 15 16 天气 阴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 状态 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2
若以状态1代表晴天，状态2代表阴天，则16天中 共有9个晴天和7个阴天。现分别统计由晴至晴，由 晴至阴，由阴至阴和由阴至晴的次数。
设 P(En1 j | En i) pi j (i, j 1, 2)
如 p11 0.45, p12 0.55, p21 0.4, p22 0.6 分别表示连续增加、由增加至减少、由减少至 增加和连续减少的可能性。则转移概率矩阵为：
p
0.45
0.4
0.55
0.6
并图示为：
n步转移概率
阶转移概率，记为: pij (2), pij (3), ,pij (n)
n步转移概率矩阵为：
p (n)
11
p P(n)
(n)
21
p
(n)
N1
p (n) 12
p (n) 22
p (n) N2
p (n)
1N
p (n)
2N
p
NN (n)
上述转移概率组成的矩阵P(2),P(3),…P(n)， 相应称之为2阶，3阶，…，n阶转移概率矩阵.
再由状态 Eik (m)转移成为状态 E j 的概率。
由于无后效性，这些转移可看作互相独立， 故可由全概率公式有：
pij (n) pik (m) pkj (n m),(1 m n)
此即切普曼――柯尔莫可洛夫方程
按矩阵乘法规则有：P(2) P P P2 利用数学归纳法，可得：P(n) Pn 因此，利用矩阵乘法规则，可由一阶转移概率 矩阵Ｐ逐步求得高阶转移概率矩阵 P(n) 已知转移概率矩阵 P(n) 和初始状态 Ei
732.1 330.7 121.5 563.0 172.7
614.1 330.2 122.0 685.2 168.5
该地区的土地利用结构，如继续保持 1990－2000年间的变化速度和变化趋势， 在未来的20年内，各用地面积表现出如 下变化：
耕地持续减少 林地和草地略有增加 建设用地大幅度增加 其他用地有所减少。
P(A/ B) P(A B) P(B)
（2）转移概率
以 pij (t, ) 表示在已知时刻t系统处于 Ei
状态条件下，在时刻τ（τ＞t）系统处于状态
E j 的条件概率，则称 pij (t, ) 为转移概率。
无后效性：
在已知时刻t系统所处状态条件下，此后系统 将要到达的状态的情况与时刻t以前系统所处状态 无关，这称为过程的无后效性。
中的一个，且事先未知试验出现何种结果。
随机试验的每一个可能结果，称为基本事件，
它们之间是互斥的。
基本事件的全体构成了样本空间。
称基本事件 Ei (i 1, 2, , n)为状态。
若 Ei 出现，则称事物处于状态 Ei 。
转移概率：
（1）条件概率
假定先发生了事件B（其概率为P(B)）在B发 生的条件下发生事件A，则其概率为P(A/B)。此即 称为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。
0.524 0.028 0.049 0.059 0.111
0.070 0.733 0.051 0.029 0.042
0.026 0.014 0.662 0.026 0.026
0.356 0.211 0.212 0.873 0.090
0.024 0.014 0.025 0.014 0.731
用地面积预测
则｛Xn；n=1,2, … ｝为马尔科夫链。
A B CD
A 0.90 0.05 0.03 0.02
B 0.10 0.80 0.05 0.05 P C 0.08 0.10 0.80 0.02 D 0.10 0.10 0.10 0.70
问：市场占 有率如何变
化？
2. 马尔科夫链
2.1 转移概率矩阵 2.2 转移概率的计算 2.3 预测模型
物理学 气象学 经济学 → 预测 地质学 地理学 …
5. 马尔科夫预测技术
1. 基本概念 2. 马尔科夫链 3. 实例分析
1. 基本概念
状态： 转移概率： 无后效性： 时齐性： 马尔科夫过程：
状态：
随机试验： （1）可重复进行； （2）所有可能结果已知，且不止一个； （3）每次试验结果均出现且仅出现可能结果
根据两步和三步转移概率矩阵与1990年分类用地 值相乘，可预测2010年和2020年各类用地的面积。
表3.12 该地区未来土地利用结构预测结果
1990年 2000年 2010年 2020年
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
1080 320 120 220 180
884.1 327.7 120.8 410.7 176.7
2000年
耕地 林地 草地 建设用地
864 32.4 10.8 3.2 288 1.6 2.4 2.4 104.4 5.5 2.2 2.2
9 2.7 1.8
162 25.6 9.6 209 4.5
其它用地 10.8 1.6 1.2 1.1 162
转移概率矩阵
以频率代替概率，由上表数据建立转移概率矩阵
p11 p12
P
p21
p22
pN1 pN 2
p1N
p2
N
PNN
例：以某产品的周销售状况为例，建立马尔 柯夫链。
状态： “增加”（状态1） “减少”（状态2）
若未来销售状况只与目前销售状况有 关，而与过去销售状态无关（无后效性）， 则销售状况的转移构成马尔柯夫链。
En表示第n周的销售状态，则En取值为1和2：
表3.9 一步转移概率矩阵
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
耕地 0.800 0.010 0.020 0.025 0.050
林地 0.030 0.900 0.020 0.010 0.015
草地 0.010 0.005 0.870 0.010 0.010
建设用地 0.150 0.080 0.080 0.950 0.025
练习
若三种产品的市场占有率为（0.5,0.3,0.2）， 三种产品销售情况的转移矩阵为：
0.4 0.3 0.3
P
0.5
0.3 0.2
0.45 0.35 0.2
试求两个时间单位后，各产品的市场占有率。
也称为无后效的随机过程。 按时间可分为：
连续的 离散的 马尔科夫链： 时间与状态均离散的马尔科夫过程。
某地销售四种啤酒，状态空间S＝｛ A,B,C,D ｝
调查表明消费者购买何种啤酒，仅与前一次购买 的啤酒有关，而与此前购买的啤酒无关。
（无后效性）
X0表示某消费者最初购买的啤酒；
X1,X2,…分别表示此后购买的商标；
是一种统计分析方法： 概率论和随机过程为基础
是一种动态分析法： 以发展的观点分析客观对象发展变化过程
中的数量关系及其规律。 马尔柯夫链预测是根据状态之间的转移概率来
推测系统未来发展变化。转移概率反映了各种随机 因素的影响程度，因而马尔柯夫链适合于随机波动 较大的序列的预测问题。
马尔柯夫链应用领域
其它用地 0.010 0.005 0.010 0.005 0.900
两步和三步转移概率矩阵
利用公式 P(n) Pn (n=2,3)计算： 表3.10 二步转移概率矩阵
耕地 耕地 0.645 林地 0.019 草地 0.036 建设用地 0.044 其它用地 0.086
林地 0.053 0.811 0.037 0.020 0.029
P21和P22时，总数减1。 因此，阴晴状态的转移概率矩阵为：
p
p11 p21
p12 p22
0.56 0.67
0.44 0.33
同理可计算多步转移概率。
2.2.2 利用马尔柯夫链的性质计算
对于n阶转移概率(n≥2),
pij (n) 可认为随机过程是由状态 Ei
经过ｍ次(n>ｍ≥1)转移成为状态 Eik (m)
2.1 转移概率矩阵
记En为时刻t事物所处的状态，则
P(En1 j | En i) pij (i, j 1, 2, n)
表示事物由状态En(tn时刻）转移到En+1 (tn+1时刻）的可能性，即从状态i一步转移
到j的概率，称为一步转移概率。 将上述 pij 依次排列构成转移概率矩阵。
转移概率矩阵：
p2
N
(n)
p NN (n)
据上式可对n步转移后的系统状态进行预测。
3. 实例分析
根据某地区1990年和2000年间土地利用类型之 间的变化，预测2010年和2020年土地利用结构。
某地区1990至2000年间土地利用结构变化
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
1990 年
1080 320 120 220 180
或称之高阶转移概率矩阵。
n步转移概率矩阵性质：
（1）元素非负性，即: pij (n) 0,i, j 1, 2, , N.
（2）矩阵行元素的和等于1，即:
N
pij (n) 1,i 1, 2, N.
j 1
2.2 转移概率的计算
方法1： 由资料直接计算
方法2： 利用马尔柯夫链的性质计算
2.2.1 由资料直接计算
公式：
pij
(n)
M ij (n) Mi
, (i,
j
1, 2,
,N)
式中：
以频率 代替概率
Mij (n) 为随机过程ｘ(ｔ)由状态 Ei 经过n次(步)转移到状态 E j的原始数据样本数;
Mi为处于状态 Ei 的原始数据样本数。
例3.6：以某地区16天内阴晴变化顺序，试计 算其一步转移概率矩阵。
以pij表示不同状态间转移的概率，则： p11-连续晴的可能性，有：p11=5/9≈0.56； p12-晴转阴的可能性，有：p12=4/9≈0.44； p21-阴转晴的可能性，有：p21=4/6≈0.67； p22-连续阴的可能性，有：p22=2/6≈0.33； 由于最后一个状态（阴天）无后续状态，计算
即可建立了马尔柯夫链。
2.3 预测模型
若系统的初始状态为 (P1, P2, , Pn ) 则第n步状态为：
(P1(n), P2 (n), , Pn (n))
(P1, P2 ,
p (n)
11
p ,
Pn
)
(n)
21
p
(n)
N1
p (n) 12
p (n) 22
p (n) N2
p (n) 1N
t 若系统在 n 时刻状态为 Ei
经过n步转移，在时刻 tnm 时处于状态 E j
这种转移可能性的数量指标为n步转移概率， 记为：
p(Enm j | Em i) pij (n)
n步转移概率矩阵
如果随机过程状态由状态Ei经过2次，3次， 以至n次转移到状态Ej
则相应的转移概率称之为2阶，3阶，…，k
时齐性：
若转移概率 pij (t, ) 仅与i,j及时间间距(τ-t)有关，
则称该过程为时齐的，简记为： pij ( ) pij (t, t )
结合平稳时间序列的 时间平移不变性理解
马尔科夫过程：
马尔柯夫过程：若随机过程x(t)在时刻t处于 状态E，时刻τ(τ>t)系统所处状态与t以前所处 状态无关，则称马尔科夫过程。
草 地 建设用地 其它用地 0.019 0.266 0.018 0.010 0.150 0.010 0.758 0.151 0.018 0.019 0.908 0.010 0.019 0.056 0.811
表3.11 三步转移概率矩阵
耕 地 林 地 草 地 建设用地 Leabharlann Baidu它用地
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
表3.7 某地区16天阴晴变化
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 14 15 16 天气 阴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 状态 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2
若以状态1代表晴天，状态2代表阴天，则16天中 共有9个晴天和7个阴天。现分别统计由晴至晴，由 晴至阴，由阴至阴和由阴至晴的次数。
设 P(En1 j | En i) pi j (i, j 1, 2)
如 p11 0.45, p12 0.55, p21 0.4, p22 0.6 分别表示连续增加、由增加至减少、由减少至 增加和连续减少的可能性。则转移概率矩阵为：
p
0.45
0.4
0.55
0.6
并图示为：
n步转移概率
阶转移概率，记为: pij (2), pij (3), ,pij (n)
n步转移概率矩阵为：
p (n)
11
p P(n)
(n)
21
p
(n)
N1
p (n) 12
p (n) 22
p (n) N2
p (n)
1N
p (n)
2N
p
NN (n)
上述转移概率组成的矩阵P(2),P(3),…P(n)， 相应称之为2阶，3阶，…，n阶转移概率矩阵.
再由状态 Eik (m)转移成为状态 E j 的概率。
由于无后效性，这些转移可看作互相独立， 故可由全概率公式有：
pij (n) pik (m) pkj (n m),(1 m n)
此即切普曼――柯尔莫可洛夫方程
按矩阵乘法规则有：P(2) P P P2 利用数学归纳法，可得：P(n) Pn 因此，利用矩阵乘法规则，可由一阶转移概率 矩阵Ｐ逐步求得高阶转移概率矩阵 P(n) 已知转移概率矩阵 P(n) 和初始状态 Ei
732.1 330.7 121.5 563.0 172.7
614.1 330.2 122.0 685.2 168.5
该地区的土地利用结构，如继续保持 1990－2000年间的变化速度和变化趋势， 在未来的20年内，各用地面积表现出如 下变化：
耕地持续减少 林地和草地略有增加 建设用地大幅度增加 其他用地有所减少。
P(A/ B) P(A B) P(B)
（2）转移概率
以 pij (t, ) 表示在已知时刻t系统处于 Ei
状态条件下，在时刻τ（τ＞t）系统处于状态
E j 的条件概率，则称 pij (t, ) 为转移概率。
无后效性：
在已知时刻t系统所处状态条件下，此后系统 将要到达的状态的情况与时刻t以前系统所处状态 无关，这称为过程的无后效性。
中的一个，且事先未知试验出现何种结果。
随机试验的每一个可能结果，称为基本事件，
它们之间是互斥的。
基本事件的全体构成了样本空间。
称基本事件 Ei (i 1, 2, , n)为状态。
若 Ei 出现，则称事物处于状态 Ei 。
转移概率：
（1）条件概率
假定先发生了事件B（其概率为P(B)）在B发 生的条件下发生事件A，则其概率为P(A/B)。此即 称为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。
0.524 0.028 0.049 0.059 0.111
0.070 0.733 0.051 0.029 0.042
0.026 0.014 0.662 0.026 0.026
0.356 0.211 0.212 0.873 0.090
0.024 0.014 0.025 0.014 0.731
用地面积预测
则｛Xn；n=1,2, … ｝为马尔科夫链。
A B CD
A 0.90 0.05 0.03 0.02
B 0.10 0.80 0.05 0.05 P C 0.08 0.10 0.80 0.02 D 0.10 0.10 0.10 0.70
问：市场占 有率如何变
化？
2. 马尔科夫链
2.1 转移概率矩阵 2.2 转移概率的计算 2.3 预测模型
物理学 气象学 经济学 → 预测 地质学 地理学 …
5. 马尔科夫预测技术
1. 基本概念 2. 马尔科夫链 3. 实例分析
1. 基本概念
状态： 转移概率： 无后效性： 时齐性： 马尔科夫过程：
状态：
随机试验： （1）可重复进行； （2）所有可能结果已知，且不止一个； （3）每次试验结果均出现且仅出现可能结果
根据两步和三步转移概率矩阵与1990年分类用地 值相乘，可预测2010年和2020年各类用地的面积。
表3.12 该地区未来土地利用结构预测结果
1990年 2000年 2010年 2020年
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
1080 320 120 220 180
884.1 327.7 120.8 410.7 176.7
2000年
耕地 林地 草地 建设用地
864 32.4 10.8 3.2 288 1.6 2.4 2.4 104.4 5.5 2.2 2.2
9 2.7 1.8
162 25.6 9.6 209 4.5
其它用地 10.8 1.6 1.2 1.1 162
转移概率矩阵
以频率代替概率，由上表数据建立转移概率矩阵
p11 p12
P
p21
p22
pN1 pN 2
p1N
p2
N
PNN
例：以某产品的周销售状况为例，建立马尔 柯夫链。
状态： “增加”（状态1） “减少”（状态2）
若未来销售状况只与目前销售状况有 关，而与过去销售状态无关（无后效性）， 则销售状况的转移构成马尔柯夫链。
En表示第n周的销售状态，则En取值为1和2：
表3.9 一步转移概率矩阵
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
耕地 0.800 0.010 0.020 0.025 0.050
林地 0.030 0.900 0.020 0.010 0.015
草地 0.010 0.005 0.870 0.010 0.010
建设用地 0.150 0.080 0.080 0.950 0.025
练习
若三种产品的市场占有率为（0.5,0.3,0.2）， 三种产品销售情况的转移矩阵为：
0.4 0.3 0.3
P
0.5
0.3 0.2
0.45 0.35 0.2
试求两个时间单位后，各产品的市场占有率。
也称为无后效的随机过程。 按时间可分为：
连续的 离散的 马尔科夫链： 时间与状态均离散的马尔科夫过程。
某地销售四种啤酒，状态空间S＝｛ A,B,C,D ｝
调查表明消费者购买何种啤酒，仅与前一次购买 的啤酒有关，而与此前购买的啤酒无关。
（无后效性）
X0表示某消费者最初购买的啤酒；
X1,X2,…分别表示此后购买的商标；