地下水动力学讲义第3章(全)2009-11

联立求解(3-9)和(3-11)式，同样可得潜水位分布方程(或称为浸润曲线方程)：
r
ln
h2
=
hw2
+
(
H
2 0
− hw2 )
rw R
ln
Байду номын сангаас
rw
（3-13）
结果表明，潜水位的分布，同样由边界水位决定，而与流量和渗透系数无关。计算的
浸润曲线，仅在 r>H。区域同实际曲线一致。在 r<H。区，特别是在井壁处，Dupuit 浸润曲
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第三章 地下水向完整井的稳定运动
§3.1 水井的分类及井流特征
3.1.1 水井分类 水井（water well）是常用的集水建筑物，用以开采、排泄地下水。可分为水平集水
建筑物（排水沟、集水管、集水廊道等）和垂直集水建筑物（钻孔、水井、竖井等）。 (1) 按井径大小和成井方法：管井、筒井。管井（pipe well）是直径通常小于 0.5m、深
(2)水位降落漏斗：水位降深 S 在不同的位置上是不同的，井中心降深最大，离井越远，
降深越小，抽水井周围总体上形成的漏斗状水头下降区；亦即由抽水（排水）而形成的漏
斗状的水头（水位）下降区，称为降落漏斗（cone of depression）。
(3) 稳定井流的形成条件：存在补给且补给量等于抽水量。可能形成地下水稳定运动
而等水头面仍是共轴的圆柱面，井和过水断面一致，这一假设，在距抽水井 r>1.5H。的区
域是足够准确的。同时认为，通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井的流量。这时，
漏斗区潜水流的水头分布满足 ∂ (h ∂H ) + ∂ (h ∂H ) = 0 式。如以潜水含水层的底板作基 ∂x ∂x ∂y ∂y
准面，h=H，并用柱坐标形式表示，则方程简化为
间的延长，水位降深的速率会越来越小，降落漏斗的扩展及其缓慢，当降落漏斗范围内的
水位降深在一个较短的时间段内几乎观测不到明显的水位下降，若延长观测时间间隔，仍
可以看到水位在缓慢下降，此时，漏斗区内的水流可看作稳定处理，这种状态称为似稳定
状态。
(4)对于不同类型的抽水井，水量的组成不同。
潜水井：降落漏斗在含水层内部扩展，抽水量主要来自含水层的疏干量。
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图 3-3 承压完整井的径向流
2.数学模型的建立及求解
⎧d
⎪ ⎪
dr
(r
dH dr
)
=
0
⎨H = H0,
⎪⎪H = hw ,
⎩
当r = R时 当r = rw时
（3-1）
对上式进行积分，得
H0
−
hw
=
sw
=
Q 2πKM
ln
R rw
（3-2a）
或
Q = 2π KMsw R
种情况。此时，可将潜水井 Dupuit 公式改写为：
H0
− hw
=
Q πK (H 0 +
ln hw )
R rw
当井中降深 H 0 − hw 〈〈 H 0时，H 0 + hw ≈ 2H 0
于是得近似式:
损（well loss）是由于抽水井管所造成的水头损失。产生水跃的原因： ①井损的存在：渗透水流由井壁外通过过滤器或缝隙进入抽水井时要克服阻力，产生
一部分水头损失∆h1。 ②水进入抽水井后，井内水流井水向水泵及水笼头流动过程中要克服一定阻力，产生
一部分水头差∆h2。 ③ 井壁附近的三维流也产生水头差∆h3。通常将（∆h1+∆h2+∆h3）统称为水跃值.
ln r2
rw
r1
（3-7）
式中没有包含 Q 和 K，表明水流相对稳定时，只有给定井内水位和边界水头，抽水井附近的
水头分布就确定了，不管渗透系数和抽水量的大小。
3.2.2 潜水井的 Dupuit 公式 1. 潜水井 Dupuit 公式的推导 如图所示为无限分布的潜水含水层中的一个完整井，经长时间定流量抽水后，在井附
H2
−
H1
=
s1
−
s2
=
Q 2π KM
ln
r2 r1
（3-6）
式中 s1、s2 分别为 r1 和 r2 处的水位降深。
式(3-6)也称为 Theim 公式。它与非稳定井流在长时间抽水后的近似公式完全一致。这
表明，在无限承压含水层中的抽水井附近，确实存在似稳定流区。
若将(3-3)和(3-6)联立起来，则可得到抽水井附近的承压水水头分布方程或降落曲线
图 3-2 承压含水层中的水位降深和有效半径（据 Jacob）
(a)-裸井； (b)-下过滤器的井；(c)-填砾的井
3.1.2.2 潜水井流与承压井流的区别 (1) 潜水井流特征： ① 流线与等水头线都是弯曲的曲线，井壁不是等水头面，抽水井附近存在三维流，井
壁内外存在水头差值； ② 降落漏斗位于含水层内部，水位降落漏斗的曲面就是含水层的上部界面，导水系数
T 随时间 t 和径向距离 r 变化； ③ 潜水含水层水位下降伴有弹性释水和重力疏干，为缓慢排水过程，抽水量主要来源
于含水层疏干，称为潜水含水层的迟后效应。 (2) 承压水井流特征： ①流线与等水头线在剖面上的形状不相同，等水头线近似直线，等水头面即为铅垂面，
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降深不太大时承压井流为二维流； ②降落漏斗在含水层外部，成虚拟状态变化，但导水系数不随时间 t 变化； ③承压井流的抽水量来自承压含水层水头降落漏斗范围内由于减压作用造成的弹性释
放，是瞬时完成的。 3.1.2.3 稳定井流与非稳定井流的区别
稳定井流中，当无垂向补给时，地下水流向井的过程中任一断面的流量都相等，并等 于抽水井流量，地下水位 h 不随时间 t 变化。
非稳定井流中，地下水流向井的过程中，沿途不断得到含水层释放补给，通过任一断 面的流量都不相等，井壁处流量最大并等于抽水井流量，地下水位 h 随时间 t 而变化，初 期变化大，后期变化减小。
3.1.2.1 基本概念
(1)水位降深：从井中抽水时，井周围含水层中的地下水向井中运动，井中和井附近的
水位降低。设某点（x，y）的初始水头为 H0(x，y，0)，抽水 t 时间后的水头为 H(x，y，t)， 则该点的水头降低值为 s，s= H0(x，y，0)- H(x，y，t)，将 S 称为水位降深，简称降深 (drawdown)。降深亦即抽水井及其周围某时刻的水头比初始水头的降低值。
近形成相对稳定的降落漏斗。由于降落漏斗是在潜水含水层中发展，存在着垂向分速度， 等水头面不是圆柱面，而是共轴的旋转曲面，为空间径向流，对于这类问题用解析法很难
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求解。
图 3-4 潜水完整井的径向流
为实用目的，对上述潜水井应用 Dupuit 假设，认为流向井的潜水流是近似水平的，因
§3.2 地下水向承压水井和潜水井的稳定流动
3.2.1 承压水井的 Dupuit 公式 1.假设（水文地质概念模型） (1)含水层为均质、各向同性，产状水平、厚度不变（等厚）、，分布面积很大，可视为
无限延伸；或呈圆岛状分布，岛外有定水头补给； (2)抽水前地下水面是水平的，并视为稳定的；含水层中的水流服从 Darcy’s Law，并
∂ (r ∂h2 ) = 0 ∂x ∂r
（3-8）
其边界条件和承压水井相似，为 h=hw ， 当 r=rw 时，h=H0，当 r=R 时，对（3-8）式
进行积分，得： r ∂(h2 ) = C 。因各断面流量相等，根据通过任意断面的流量 ∂r
Q = 2πrhK dh = πrK d (h 2 )
dr
ln rw
（3-2b）
式中，sw—井中水位降深，m； Q—抽水井流量，m3/d；
M—含水层厚度，m；
K—渗透系数，m/d；
rw—井半径，m； R—影响半径（圆岛半径），m；
上式即为承压水井的 Dupuit 公式。
影响半径(radius of influence)是从抽水井到实际观测不到水位降深处的径向距离。
dr
可得积分常数：
C = Q ，故有： r ∂(h2 ) = Q
πK
∂r πK
分离变量，按给出的边界条件对上式积分得：
H
2 0
−
hw2
=
(2H 0
−
sw )sw
=
Q πK
ln
R rw
Q
=
π
K
(2H
0− R
sw
)sw
ln
rw
（3-9） （3-10）
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式中 R 为潜水井的影响半径，其含义和承压水井的相同。
式（3-9）和(3-10)称为潜水井的 Dupuit 公式。
同理，可以分别给出有一个观测孔和两个观测孔时的计算式:
h2
−
hw2
=
Q πK
ln
r rw
h22
−
h12
=
Q πK
ln
r2 r1
（3-11） （3-12）
式（3-12）也称潜水井的 Thiem 公式。它同 Theis 公式在长时间抽水后的近似式完全一致。
方程：
r
ln
H = hw + (H0 − hw )
rw R
ln
rw
由 sw
−
s1
=
Q 2π KM
ln
r1 rw
和 s1
−
s2
=
Q 2π KM
ln
r2 r1
联立，得到
ln r1 sw − s1 = rw ，于是有 s1 − s2 ln r2
r1
s1
=
swln ln
r2 r1 r1
+ +
s2ln
r1 rw
图 3-1 完整井和非完整井
（a）-潜水井；（b）-承压水井
(3)按揭穿含水层的类型：潜水井、承压水井
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潜水井(well in a phreatic aquifer)：揭露潜水含水层的水井。又称无压井。 承压水井(well in a confined aquifer)：揭露承压含水层的水井。又称有压井。当 水头高出地面自流时又称为自流井（artesian well，flowing well）；当地下水埋深很大 时，可出现承压-无压井。
(4) 按井工作的方式：抽水井、注水井 抽水井（pumping well）是从井中抽取地下水的水井。 注水井（injection well）是将水注入地下的水井。 (5) 按井工作时相互影响的程度：单井、干扰井 实际上，水井类型可交叉命名，如承压水完整井、潜水非完整井等。
3.1.2 地下水向井的运动特征
线总是低于实际浸润曲线，如图 3-4 所示。这是因为 Dupuit 公式没有考虑潜水井存在渗出
面，采用了 Dupuit 假设造成的。
2. Dupuit 公式的推广应用
下面讨论在三种常见水文地质条件下，如何推广应用 Dupuit 公式的问题。
(1)巨厚含水层中的潜水井。井中降深仅占潜水层厚度的很小部分，在供水井常遇到这
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3.Theim 公式
距离抽水井中心 r 处有一观测孔，其对应水位为 H，在 rw 和 r 两断面上积分，得到
H
−
hw
=
sw
−
s
=
Q 2π KM
ln
r rw
（3-5）
若存在两个观测孔，距离井中心的距离分别为 r1，r2，水位分别为 H1，H2，在 r1 到 r2
区间积分得：
承压水井：降落漏斗不在含水层内部发展，而是形成一个承压水头的降低区，抽水量
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主要靠含水层的弹性释水量来提供。 上述抽水过程随着抽水时间的延续，降深不断增大，降落漏斗不断扩展，如无补给源，
地下水向井的运动则一直处于非稳定状态。 (5)水跃：抽水井中的水位与井壁外的水位之间存在差值的现象（seepage face）。井
的两种水文地质条件。
① 有侧向补给的有限含水层中，当降落漏斗扩展到补给边界后，侧向补给量和抽水量
平衡时，地下水向井的运动便可达到稳定状态；
② 在有垂向补给的无限含水层中，随降落漏斗的扩大，垂向补给量不断增大。当其增
大到与抽水量相等时，将形成稳定的降落漏斗和地下水的稳定运动；
一般，对于无补给的无限含水层，不能达到稳定井流，但在实际观察中，随着抽水时
度比较大、采用钻机开凿的水井。筒井是直径通常大于 0.5m 甚至数米、深度比较浅、通常 用人工开挖的水井。
(2)按揭穿含水层的程度及进水条件：完整井、非完整井 完整井(fully penetrating well)：贯穿整个含水层，在全部含水层厚度上都安装有 过滤器并能全断面进水的井。揭穿整个含水层，并在整个含水层厚度上都进水的井。 非完整井(partially penetrating well)：未揭穿整个含水层、只有井底和含水层的 部分厚度上能进水或进水部分仅揭穿部分含水层的井。未完全揭穿整个含水层，或揭穿整 个含水层，但只有部分含水层厚度上进水的井。
在水头下降的瞬间将水释放出来，可忽略弱透水层的弹性释水； （3）完整井，定流量抽水，在距井一定距离上有圆形补给边界，水位降落漏斗为圆域，
半径为影响半径；经过较长时间抽水，地下水运动出现稳定状态； (4)水流为平面径向流，流线为指向井轴的径向直线，等水头面为以井为共轴的圆柱面，
并和过水断面一致；通过各过水断面的流量处处相等，并等于抽水井的流量。