第5章 动态电路的过渡过程

2
为热能。放电过程中，电阻R消耗的能量为
WR


0
2 iR R d t


0
2 U 0 RC t 2 U0 RC ( e ) Rdt ( ) R R 2
1



0
e
2t RC
d(
2t ) RC

1 2 CU 0 (e 2

2t RC
1 1 2 2 ) CU0 (0 1) CU0 ∣0 2 2
（4）一阶电路的全响应及三要素法；
（5）时间常数的计算及其物理意义。
难点：
（1）动态电路的经典分析法——解微分方程法； （2）过渡过程初始值的计算； （3）储能元件充放电规律。
5.1 过渡过程及换路定律
5.1.1 过渡过程
当电源电压（激励）为恒定值或作周期性变化时，电路中各部分电压 或电流（响应）也是恒定的或按周期性规律变化，即电路中响应与激励的 变化规律完全相同，称电路的这种工作状态为稳定状态，简称稳态。但是， 在实际电路中，经常遇到电路由一个稳定状态向另一个稳定状态的变化， 尤其当电路中含有电感、电容等储能元件时，这种状态的变化要经历一个 时间过程，称为过渡过程。 含有储能元件（也叫动态元件）L或C的电路称为动态电路。 电路产生过渡过程的原因无外乎有外因和内因，电路的接通或断开， 电路参数或电源的变化，电路的改接等都是外因。这些能引起电路过渡过 程的电路变化统称为“换路”。除了外因，电路中还必须含有储能元件电 感或电容，这是产生过渡过程的内因。动态电路的过渡过程，实质是储能 元件的充、放电过程。 电路的过渡过程一般比较短暂，但它的作用和影响都十分重要。有的 电路专门利用其过渡特性实现延时、波形产生等功能；而在电力系统中， 过渡过程的出现可能产生比稳定状态大得多的过电压或过电流，若不采取 一定的保护措施，就会损坏电气设备，引起不良后果。因此研究电路的过 渡过程，掌握有关规律，是非常重要的。
解： 选定各电压、电流参考方向如图所示。 S打在1位时，电路处于稳态，电容相当于开路，此时 uC（0 -）= US =100 V t = 0时，S由1位打向2位，根据换路定律，有 uC（0+）= uC（0 -）=100 V 此时电容相当于100 V的电压源，作t = 0+ 时的等效电路如图5.1（b）所 示。由KVL得 uC（0+）- uR3（0+）+ uR2（0+）= 0 uC（0+）- [-R3 i（0+）] + R2 i（0+）= 0
它等于放电前电容所储存的全部电场能量。由 此证明，零输入响应的实质是储能元件的放电过 程。 例题(补) 右图所示电路中，已知US =20 V， R1 = 4 kΩ，C =1 µF，R2 = 2 kΩ，R3 = 6 kΩ，C =1 µF，开关S闭合时电路处于稳态。t = 0时S打 开，求电容电压uC和电路电流i的变化规律即解析 式。 解： 选定电压、电流参考方向右图所示。 S闭合时电路处于稳态，电容相当于开路，此时
u C (0 ) 100 2 A R2 R3 100 50 3 2 ( ) -66.7 V uR2（0+）= R2 i（0+）= 100× 3
i（0+）=
2 ( ) 33.3 V uR 3（0+）= - R3 i（0+）= - 50× 3
例5.2 图5.2（a）所示为直流电源激励下的含有电感元件的动态电 路，已知US =20 V，R1 = 10 Ω，R2 = 30 Ω，R3 = 20 Ω，开关S打开时， 电路处于稳态。t = 0时S闭合，进行换路，求S闭合瞬间各电压、电流的 初始值。
1. 电压电流变化规律 电压、电流参考方向如图5.3（b）所示。换路后，根据KVL可得 uR - uC = 0 根据图5.3（b）中电压、电流参考方向，可写出电阻、电容VCR， 分别为 uR = R i R
iC C
d uC dt
将以上三式联立，可求出换路后（即t≥0时）电容电压uC变化规律的 微分方程 d uC RC + uC = 0 （t≥0） （5-2）
dt
由于电阻和电容的参数均为常数，所以式（5-2）是一个常系数一阶线 性齐次微分方程，分离变量得 d uC 1 dt uC RC 等号两边取不定积分，有 d uC 1 dt uC RC 所以
ln u C
两边再取以e为底的对数，得到

1 t C RC
uC (t ) e
[τ]=[R][C] =Ω· = F 于是，式（5-3）写为
V C A s s （秒） A V A t

u C (t ) u C (0 )e （t≥0）
（5-4）
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式（5-4）即为一阶RC电路零输入响应时电容电压uC变化规律的通式。 时间常数τ是表征动态电路过渡过程进行快慢的物理量。τ越大，过渡 过程进行得越慢；反之，τ越小，过渡过程进行得越快。由表达式τ= RC可 以看出，RC电路的时间常数τ，仅由电路的参数R和C决定，R是指换路后电 容两端的等效电阻。当R越大时，电路中放电电流越小，放电时间就越长， 过渡过程进行得就越慢；当C越大时，电容储存的电场能量越多，放电时间 也就越长。现以电容电压uC为例说明时间常数τ的物理意义。 在式（5-4）中，分别取t =τ、2τ、3τ……不同的时间，求出对应的uC 值如表5.1所列。
从表5.1可以看出： （1）当t =τ时，uC = 0.368 U0，这表明时间常数τ是电容电压uC从 换路瞬间开始衰减到初始值的36.8%时所需要的时间，参见图5.4所示的 uC的变化曲线。 （2）从理论上讲，t = ∞时，uC 才衰减到 0，过渡过程才结束，但 当t =（3～5）τ时，uC已衰减到初始值的5%以下，因此实际工程当中一 般认为从换路开始经过3τ～5τ的时间，过渡过程便基本结束了。 3. 能量转换关系 由前面的分析可以看出，对于一阶RC电路的零输入响应，从换路瞬间 1 2 开始，电容将其储存的电场能量（ CU0 ) 逐渐释放并被电阻所消耗转变
解： 选定各电压、电流参考方向如图5.2（a）所示。 S打开时，电路处于稳态，此时电感相当于短路，有
US 20 0.5 A iL（0 -）= R1 R2 10 30
t = 0时，S闭合，根据换路定律，有 i L（0+）= i L（0 -）= 0.5 A S闭合时，电感相当于一个电流源，作t =0+ 时的等效电路如图5.2（b）
2. 电路中其他变量初始值的计算 对于动态电路中除uC和iL以外的其他变量的初始值可按以下步骤确 定： （1）先求换路前瞬间即t = 0 - 时刻的uC（0 -）或iL（0 -）（这一 步要用t = 0- 时刻的等效电路进行求解，此时电路尚处于稳态，电容开 路，电感短路）； （2）根据换路定律确定uC（0+）或iL（0+）； （3）以uC（0+）或iL（0+）为依据，应用欧姆定律、基尔霍夫定律 和直流电路的分析方法确定电路中其他电压、电流的初始值（这一步要 用t =0+ 时刻的等效电路进行求解，此时，电容等效为电压值为uC（0+） 的电压源，电感等效为电流值为iL（0+）的电流源）。 例6.1 图6.1（a）所示为直流电源激励下的含有电容元件的动态电路， 已知US = 100 V，R1= R2 =100 Ω，R3 = 50 Ω，开关S打在1位时，电路 处于稳态。t = 0时，S由1位打向2位进行换路，求此瞬间uC（0+）、i （0+）、uR2（0+）和uR3（0+）各为多少？
uR（t）= u C (t ) U 0 e

1 t RC （t
≥0）
1
d u C U 0 RC t e iC（t）= iR（t）= - C dt R
（t ≥0）
可见，换路后，电路中的电压、电流都是按照相同的指数规律进行变 化。 2. 时间常数 式（5-3）中，令τ= RC，τ称为RC电路的时间常数。当R的单位为欧 [姆]（Ω），C的单位为法[拉]（F）时，τ的单位为秒（s）。
1 t RC e C
Ae

1 t RC
其中A为待定的积分常数，可根据初始条件uC（0+）的值确定。在换 路瞬间，由于uC（0+）= uC（0 -）= U0，故有A = U0。所以，微分方 程的解为
u C (t ) U 0 e

1 t RC
（t ≥0）
（5-3）
式（5-3）即为换路后电容电压uC随时间变化的解析式。从解析式可 以看出，换路后，电容电压uC从初始值U0开始，按照指数规律递减，直 到最终uC→0，电路达到新的稳态。 uC的变化曲线如图5.4所示。很明显，曲线反映出的uC的变化规律与 解析式完全一致，而且曲线更为直观。 以uC为依据，可求出换路后uR、iC（iR） 的变化规律为
R3 6 20 12 V uC（0 -）= U S R1 R3 46
t = 0时，S打开，输入为零。S打开瞬间有 uC（0+）= uC（0 -）= 12 V
第5章
动态电路的过渡过程
5.1 过渡过程及换路定律
5.2 一阶RC电路的过渡过程
5.3 一阶RL电路的过渡过程 5.4 一阶电路的全响应 实验五 动态电路的过渡过程 本章小结
本章内容提要
重点：
（1）动态电路的组成及变化特点； （2）换路定律的内容及应用； （3）RC、RL电路的零输入响应及零状态响应；
所以
uL（0+）= US – i 2（0+）R2 – i 1（0+）R1 =
20 – 0.2×30 - 0.5×10 = 9 V
5.2 一阶RC电路的过渡过程
5.2.1 RC电路的零输入响应
前面已讲过，一阶电路是指电路中仅含一个独立的动态元件的电路。 当一阶电路中的动态元件为电容时称为一阶电阻电容电路（简称为RC电 路）；当动态元件为电感时称为一阶电阻电感电路（简称为RL电路）。 当电路中仅含有一个电容和一个电阻或一个电感和一个电阻时，称为 最简RC电路或RL电路。如果不是最简，则可以把该动态元件以外的电阻 电路用戴维南定理或诺顿定理进行等效，从而变换为最简RC电路或RL电 路。 本节首先分析一阶RC动态电路的零输入响应。所谓零输入响应，是指 换路后电路没有外加激励，仅由储能元件（动态元件）的初始储能引起的 响应。 图5.3（a）所示电路中，原先开关S打在1位，直流电源US给电容充电， 充电完毕，电路达到稳态时，电容相当于开路。t = 0时，S由1位打向2位 进行换路，此时电容与电源断开，与电阻R构成闭合回路，如图5.3（b） 所示，电容通过电阻进行放电，放电完毕，电路进入新的稳态。显然，S 由1位打向2位后，RC串联回路的输入为零，电路中的电压uR、电流iR是 仅仅依靠电容放电产生的，这便是一阶RC电路的零输入响应。
所示。可求得
i 1（0+）= iL（0 -）= 0.5 A
R3 20 0.5 0.2 A i 2（0+）= iL（0+）× R 2 R3 30 20
i 3（0+）= iL（0+）- i 2（0+）= 0.5 - 0.2 = 0.3 A
由KVL得
i 1（0+）R1 + uL（0+）+ i 2（0+）R2 = US
5.1.2 换路定律
1. 换路定律 为便于分析，通常认为换路是在瞬间完成，记为t = 0，并且用t = 0 - 表 示换路前的终了时刻，用t = 0+ 表示换路后的初始时刻。由于电容内部
1 2 1 2 WL LiL）， 的能量与其电压有关（WL LiL），电感的能量与其电流有关（ 2 2
而能量是不能跃变的，也就是说，电容上的电压uC不能跃变，电感中的电流 iL也不能跃变（假设电容电流iC和电感电压uL为有限值），这个基本原则对换 路前后的电路亦适用。因此可以得到 uC（0+）= uC（0 -） (5-1) iL（0+）= iL（0 -） 式（5-1）称为换路定律。 换路定律说明，在换路前后，电容电压uC和电感电流iL不能发生跃变，即 满足 t = 0+ 时刻值等于t = 0- 时刻值，其值具有连续性。需要注意的是，换 路定律只揭示了换路前后电容电压uC和电感电流iL不能发生突变的规律，对 于电路中其它的电压、电流包括电容电流iC和电感电压uL，在换路瞬间都是 可以突变的。