近世代数课件主理想环
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证明 我们使用第二阶的定理2
（ⅰ）R的每一个既不是零也不是单位的元a 都
有一个分解
a p1 p2 L pr pi是I素元
(反证法) 我们看R的一个不是零也不是单位
的元 a , 假定 a 不能写成有限个素元的乘积， 那么 a 不会是一 个素元，那么
a bc
b 和c都是 a 的真因子。 a 的这两个真因子之中
至少有一 不能写成素元的乘积，不然的话 a
就会是素元的乘积，与假定冲突。我们得到了
结论：假如一个元 a 没有分解，那么a 一定有
一个真因子 a1 , a1也没有分解。这样，在元 a
没有分解的假定之下，我们会得到一个无穷序
列
a1, a2 , a3,L
在这个序列里每一个元前面一个真因子, 与引理
1矛盾, 这是不可能的，所以 a 一定有分解。
i 1
例2 在整环中, (1) (a) (b) b a (2) (a) (b) a,b 是相伴元
引理 1 假定 R 是一个主理想环，若在序列
a1, a2, a3,L
ai I
中每一个元是前面一个真因子，那么这个序列
一定是一个有限序列, 也就是说, 一定存在 n ,
使得 an 不是 an1的真因子。
§ 3. 主理想环
• 3.1 定义 • 3.2 两个有趣的引理 • 3.3主要定理
3.1 定义
要知道一个整环是不是一个唯一分解铪不 是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义 里的条件（ⅰ），（ⅱ）或是（Ⅳ），2， 定理2里的条件（ⅰ），（ⅲ）能否被满足， 一般是非常困难的。以下我们要认识几种特 殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题 时可以有一点帮助。
p A R
由于R是主理想环，我们有 pA a
因而 a p,
a是 p的因子。但 p是素元，所以 a 不是 p 的相 伴元，就是单位。
如果 a 是 p的相伴元,
A = (a) p
如果 a是单位, A = R
证完
3.3主要定理
现在我们证明
定理 一个主理想环R是一个唯一分解环。
证明 构造主理想
a1,a2 ,a3 ,L
由于 ai1 是 ai 的因子，显然
a1 a2 a3 L
我们看这些理想的并集 A , A 是R的一个理想 (例1)。由于R是主理想环， A 一定是一个主理
想：A = d。这个d属于 A ，所以也属于某一个an 。
我们将证明，这个 n 一定是我们要求的元。
a 0或ຫໍສະໝຸດ Baidu 0
这就是说 a ( p)或b( p)
这样
p|a或p|b
证完
• 作业 • P138: 1,2
首先, d an ,an1 d = A
可以得到 an | d, d | an1
于是 an | an1
其次,已知条件
an1 | an
这样 an1 和 an 是相伴元。证完。
引理 2 假定R是一个主理想环，那么R的 一个素元 p 生成一个最大理想。
证明 假定 A 是满足条件的理想:
（ⅲ）R的一个素元 p若能整除 ab ，那么 p能整
除a 或 b 。
假定R的素元 p 能够整除 ab , 那么
ab rp p
ab 0 p
这就是说在剩余类环R p里，
ab 0 ab
依照引理2， p是最大理想，因此依照第三章，9，
定理， R是 p一 个域。因为域没有零因子， 上边的式子告诉我们
第一种是主理想环。
定义 一个环 I 叫做一个主理想环，假如 I 的没 个理想都是主理想。
3.2 两个有趣的引理
本节证明, 一个主理想环一定是一个唯一 分解环。为证明这一点，我们需要两个引理。 这两个引理本身也是很重要。
例1 环R的理想升链:
I1 I2 L In In1 L
n
的并 I UIi 是理想
（ⅰ）R的每一个既不是零也不是单位的元a 都
有一个分解
a p1 p2 L pr pi是I素元
(反证法) 我们看R的一个不是零也不是单位
的元 a , 假定 a 不能写成有限个素元的乘积， 那么 a 不会是一 个素元，那么
a bc
b 和c都是 a 的真因子。 a 的这两个真因子之中
至少有一 不能写成素元的乘积，不然的话 a
就会是素元的乘积，与假定冲突。我们得到了
结论：假如一个元 a 没有分解，那么a 一定有
一个真因子 a1 , a1也没有分解。这样，在元 a
没有分解的假定之下，我们会得到一个无穷序
列
a1, a2 , a3,L
在这个序列里每一个元前面一个真因子, 与引理
1矛盾, 这是不可能的，所以 a 一定有分解。
i 1
例2 在整环中, (1) (a) (b) b a (2) (a) (b) a,b 是相伴元
引理 1 假定 R 是一个主理想环，若在序列
a1, a2, a3,L
ai I
中每一个元是前面一个真因子，那么这个序列
一定是一个有限序列, 也就是说, 一定存在 n ,
使得 an 不是 an1的真因子。
§ 3. 主理想环
• 3.1 定义 • 3.2 两个有趣的引理 • 3.3主要定理
3.1 定义
要知道一个整环是不是一个唯一分解铪不 是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义 里的条件（ⅰ），（ⅱ）或是（Ⅳ），2， 定理2里的条件（ⅰ），（ⅲ）能否被满足， 一般是非常困难的。以下我们要认识几种特 殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题 时可以有一点帮助。
p A R
由于R是主理想环，我们有 pA a
因而 a p,
a是 p的因子。但 p是素元，所以 a 不是 p 的相 伴元，就是单位。
如果 a 是 p的相伴元,
A = (a) p
如果 a是单位, A = R
证完
3.3主要定理
现在我们证明
定理 一个主理想环R是一个唯一分解环。
证明 构造主理想
a1,a2 ,a3 ,L
由于 ai1 是 ai 的因子，显然
a1 a2 a3 L
我们看这些理想的并集 A , A 是R的一个理想 (例1)。由于R是主理想环， A 一定是一个主理
想：A = d。这个d属于 A ，所以也属于某一个an 。
我们将证明，这个 n 一定是我们要求的元。
a 0或ຫໍສະໝຸດ Baidu 0
这就是说 a ( p)或b( p)
这样
p|a或p|b
证完
• 作业 • P138: 1,2
首先, d an ,an1 d = A
可以得到 an | d, d | an1
于是 an | an1
其次,已知条件
an1 | an
这样 an1 和 an 是相伴元。证完。
引理 2 假定R是一个主理想环，那么R的 一个素元 p 生成一个最大理想。
证明 假定 A 是满足条件的理想:
（ⅲ）R的一个素元 p若能整除 ab ，那么 p能整
除a 或 b 。
假定R的素元 p 能够整除 ab , 那么
ab rp p
ab 0 p
这就是说在剩余类环R p里，
ab 0 ab
依照引理2， p是最大理想，因此依照第三章，9，
定理， R是 p一 个域。因为域没有零因子， 上边的式子告诉我们
第一种是主理想环。
定义 一个环 I 叫做一个主理想环，假如 I 的没 个理想都是主理想。
3.2 两个有趣的引理
本节证明, 一个主理想环一定是一个唯一 分解环。为证明这一点，我们需要两个引理。 这两个引理本身也是很重要。
例1 环R的理想升链:
I1 I2 L In In1 L
n
的并 I UIi 是理想