函数的极限(左右极限)1

y
2
1பைடு நூலகம்
-1 0 1 x
(2)结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近
于1，函数 y x 2 1 的值无限趋近于2. x 1
强调：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限．
x 1 (x 0)
3．考察函数y 0 ( x 0 )
x 1 ( x 0 )
，当x无限趋近于0
x 2
x 2
x 2
在.
六 课后探究
1.已知
limax2 bx x1 x 1
1

3
,求l i m n
bn an
an1 bn1
2.已知函数
f(x)
lim
x
2n 2n

xn xn
,试求
(1)f(x)的定义域;
(2)求 lim f( x), lim f( x),并指出 limf( x) 是否存
右极限，记作 lim f( x) a
。
x

x
0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有
lim
x x 0
f
(
x
)
C
.
注意：
（1） lim f( x) 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即 xx0
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附 近的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关 （x0可以不属于f(x)的定义域）
y 4 1.75 0.39 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
x
2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 ……
y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 ……
y 4 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
例1 当x→ 时，写出下列函数的极限
2
①y=x2
②y=sinx
③y=x
④y=5
❖设C为常数，则 lim C C x x0
例2 写出下列函数当x→0时的左右极限，哪些有极限？
①
x (x0)
f
(
x
)

0
(x 0)
x 2 ( x 0 )
②
f(
x
)
s i n x x 1
(x 0) (x 0)
③ f( x)
2
( x 3)
④
f
(
x
)

1 x
(x 0)
x 3
x 2 ( x 0 )
五 比较概念，归纳小结
(1)函数f(x)在x=x0处的极限，左、右极限，极限与左 右极限的关系，学会求一些简单函数的左右极限及极限。
(2)我们已学过哪7种不同类型的极限？它们的共同之处 是什么？用数学符号来表达各有什么不同？
限是4．记作：limx 2 4 x 2 强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从
左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．
2. 考察函数 y x 2 1 （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
不等于1）时，函数的变化趋势
（1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
y
时，函数的变化趋势？
1
(1)图象
01 x -1
(2) 结论： x从0的左边无限趋近于0时，y值无限趋近于-1 x从0的右边无限趋近于0时，y值无限趋近于1
此例与上两例不同，x从原点某一侧无限趋近于0， f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近 于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x0处无极限．
x
x
那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的
极限是a,记作: lim f (x) a x
lim f(x) a lim f(x) lim f(x) a
x
x
x
◆对于常数函数f(x)=c(x∈R),
也有 lim f (x) C x
lim 1 0 x x
三 整理提炼，明确概念
(1)请思考下面问题：当x→x0时，y＝f(x)在x ＝x0处有定义，是不是一定有极限？y＝f(x)在 x＝x0处无定义，是不是一定没有极限？
x→x0包括两层意思：x从x0的左侧趋近于x0， 即x→x0-；x从x0的右侧趋近于x0，即 x→x0+．是不是x→x0-和x→x0+时，f(x)会趋 近于同一个常数？ (2) 归纳结果，得到：
记作： lim f (x) a x
◆定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋 向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,
记作： lim f (x) a x
◆定义(3)
如果 lim f (x) a且 lim f (x) a
（2）lim f(x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
xx0
而
lim f(x)、 limf(x)
x
x
0
x
x
0
都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单
侧极限，
显然 lim f(x) a lim f(x) lim f(x) a
xx0
x
x
0
x
x
0
四 例析概念,深化理解
从表格上看：
表1说明，自变量x＜2趋近于2(x→2-)时，y→4． 表2说明，自变量x＞2趋近于2(x→2+)时，y→4． 从图象上看：自变量x从左侧趋近于2(即x→2-)和 从右侧趋近于2(即x→2+)时，y都趋近于4．
从差式|y－4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)． 从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数y＝x2的 极
函数在一点处的极限与左、右极限的定义
函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如
果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，
函 数 f(x) 的 极 限 是 a ， 记 作 f(x)→a。
lim f( x) a 或 当 x→x0 时
x x 0
二 考察函数，比较特征
1．考察函数y=x2，当x无限趋近于2时，函数的变
化趋势
(1)图象
y y=x2
4
2.25 1
o
1 1.5 2 x
(2)列表
x
1.5
1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 ……
y=x2 2.25 3.61 3.96 3.996 3.9996 3.99996 ……
x无限趋近于常数x0，是指x从x0的左、右两侧无限地趋近于x0。
2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数f(x)
无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极
限，记作
lim f(x) a
。
x
x
0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，函
数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的
一 复习引入，提出问题
回 忆 当 x→∞ 、 x→ ＋ ∞ 、 x→ －∞时的函数极限是如何定义 的．我们可否用类似的思想和方 法研究x→x0时的函数极限．
◆定义1:
一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数 f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于正无穷大时,函数f(x)的极限是a.