勾股定理解析折叠问题

折叠过程就是轴对称变 换,折痕就是对称轴，折 用一张直角三角形形状的纸片 , 你能折叠 痕两边的图形全等。
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能 折叠成面积减半的矩形吗?
折叠问题中,求角度 时，往往可通过动手 如图，a是长方形纸带，将纸带沿 EF折叠成 折叠，或将图形还原。 图b， 如果∠GEF=20°，那么∠ AEG= 140°
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边 上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点， y 交AD于G点。 （ 1）找出图中所有 （ 2）请你自己提出一 相等的线段（不包括矩 个问题，自己解决。 E 形的对边）
A B A' C
2 3 １
H (x,y)
G
F
D
x
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm， 点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
利用勾股定理 解决折叠问题
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角 三角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1 所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。 B 若∠B=30°，AC= 3 ，求DC的长。
E D
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边AD 向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm， BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE， ∴AF=AD=10cm，EF=ED， AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm， A ∴在Rt△ABF中 BF AF 2 AB 2 102 82 6cm FC=BC-BF=4cm 设EC=xcm ,则EF=DC－EC=(8－x)cm 在Rt△EFC中，根据勾股定理得 EC² =FC² =EF² B 即x² ＋4² =（8－x）² ，x=3cm， ∴EC的长为3cm。
课后作业
3、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘 米，现将A、C重合，再将纸片折叠压平， （1）找出图中的一对全等三角形，并证明； （2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由； （3）求AE的长。 G （4）试确定重叠部分△AEF的面积。 F D A
B E
C
A E D A B E
相信你,一定行
20°
20° G
D' A
F C' B C
E
D
? C
G
B
F C
F C´ D´
图a
图b
源自文库图c
D
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的 度数是 120°
探究活动 如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm， 探究一：把矩形沿对角线BD折叠，点C 落在C′处。猜想重叠部分△BED是什么 C′ 三角形？说明你的理由.
角平分线与平行线组合时, 求重叠部分△BED的面积。 能得到等腰三角形
A E D
B
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找 到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方 程思想解决问题。
C
探究二 如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm， 在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点 落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是 多少？ D
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
6
(E)
4
E
F
6
8 10 10
6
(F)
我的感悟我的收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。 （3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用 动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
A 6
4 B
8-x
x
6 x C
探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的 中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
图中∠1，∠2，∠3 有何关系？你能求 出它们的大小吗？
A 3 F 6 D 1 1 2 3
B
E
C
探究四
证明线段相等的方法有证 全等，等角对等边，平行 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,AD=8cm， 四边形，等量线段的和差 等。 点E、F是矩形ABCD的边 AB 、AD上的两个
谢谢大家！
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在 BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么 y ∠DAE等于
A E O C x D B
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 的D点，求E点的坐标。
D
E F C
图2
发挥你的想象力

长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。 E
E D
D F C
A
A
D
B
E
F C C
B
A B
F
C
课堂小结
1、标已知； 2、找相等； 3、设未知，利用勾股定理，列方程； 4、解方程，得解。

动手折一折
成面积减半的矩形吗? 说明理由。