基于MATLAB的古塔变形情况数学模型-2013年全国大学生数学建模大赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：5448

所属学校（请填写完整的全名）：广东科学技术职业学院

参赛队员(打印并签名) ：

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：康海刚

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

基于MATLAB的古塔变形情况数学模型

摘要

本文以MATLAB软件为核心工具，几何知识为基础，分别建立古塔的几何中心模型、变形情况模型以及变形预测模型。

在模型建立之前，首先对观察数据进行分析观察，以此确定建模目标与建模基础，通过观察发现，古塔塔身为近似正八棱台结构，从而为后续几何中心模型的建立提供了几何基础。对数据整体观察时发现，对于86年与96年的第13层存在数据为空的现象，依据前面对古塔形状的定性，利用几何知识对缺失数据进行修复，便于后面的统计分析。在之后对于观测数据的观察时，通过查阅相关资料文献，并结合实际判断，得出观测的数据点位置为古塔各层的层底数据，从而为后续确定各层的几何中心奠定基础。

对于几何中心模型，首先对于几何中心进行定义，对于该古塔，其形状为近似正八棱台，因此将其各层几何中心定义为各层的层底与层顶的几何中心点的连线中点为该层的几何中心点。基于该定义，首先需要求出各层层底的几何中心，在求解的过程中，使用了LINGO软件，MATLAB中的直接搜索工具箱等予以辅助，以此为基础求解各层的结合中心。

对于变形情况模型，题目给出了三大方向，即分别从古塔的倾斜、弯曲和扭曲的角度进行考虑，因此在模型的建立过程中，分别对古塔的倾斜度、弯曲度、扭曲度进行合理的定义与相应的求解。对于倾斜度，将其定义为古塔的倾斜位移值与塔高之比；对于弯曲度，定义为几何中心曲线与倾斜线的积分差，在具体建模时，对弯曲度模型进行扩展，考虑了各层的弯曲度，并利用SPSS软件采用聚类分析对弯曲度进行分级；对于扭曲度，定义其为各层几何中心散点的投影点与采用最小二乘法拟合的直线的距离平方和。基于对三个指标的定义，分别对其建立相应的数学模型，并在求解模型结果后对结果进行分析与检验。

对于古塔变形预测模型，考虑到数据的小样本与不等时距的特点，建立不等间距灰色预测模型，弥补了小样本与不等时距的缺点。模型建立时，首先利用前面问题的求解结果：倾斜度等，并对数据进行归一化处理，以此建立模型后，再利用MATLAB软件编写相应代码对模型的结果进行求解，并对求解结果进行检验从而判断模型的合理性。之后又采用BP神经网络算法同样求解模型结果，通过两组结果的相近性比较，从而验证灰色预测模型的合理性。之后再利用模型对未来几年的变形情况进行预测，从而判断古塔的变形趋势。

在本文的最后，对于模型的改进和推广、优缺点分别进行了讨论，以此对模型进行评价与拓展。

关键词：古塔变形，MATLAB，直接搜索工具箱，最小二乘法，不等间距灰色预测

1 问题重述

C题古塔的变形

由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于198 6年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：

1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

3. 分析该塔的变形趋势。

2 模型假设

1.假设2011年之后，不发生严重影响古塔变形的天灾人祸，从而保证预测模型的准确

性。

2.附件提供的观测数据合理，即测量方法正确。

3.假设附件提供的不同年份观测数据观测点相同，即为同一空间坐标系。

3 符号说明

4 问题分析

4.1背景分析[2]

大型、特大型建筑物在其施工与运营过程中，由于受各种因素的影响，必将导致建筑物产生三维变形，如果变形超过允许的限度，就会影响建筑物的正常使用，严重的还会导致建筑物的破坏，给国家和人民的生命财产造成巨大损失。

本论文涉及的古塔，历经千年，是国家不可多得的宝贵财富，但由于多年来遭受气温、风力等作用使得古塔产生了变形，如若放任不管，将会有坍塌的危险，因此急需对古塔进行修缮工作，整修过程需要掌握现状的各种资料，例如各层的中心点、倾斜程度和扭曲程度等，本论文基于MATLAB等软件利用几何知识建立相应的数学模型，解决相关问题，从而保证重修工程的顺利实施。

4.2建模求解分析

4.2.1分析问题与建模前的准备——数据整理与分析

在对问题进行全面分析之前，需要对附件提供的数据进行整理与分析，从而保证分析问题时的数据基础可靠性。

4.2.1.1数据观察

附件提供了1~13层每一层其中8个点的观察数据，选取1986年第1层的8个点导入MALTAB软件中，并将各点连接起来，以俯视角度观察，得到图形如下：

图1-1：测量数据点俯视图

观察图形，可以明显的看出，所观察的点构成的图形近似为一个正八边形，将其他各层的数据依次代入观察，发现图形结果相近，初步认定题目所涉及的古塔的形状应为近似八棱台的八角形塔。

在对整体数据进行观察时，发现1986年与1996年关于塔尖的观测点有4个，而到了2009年与2011年时仅剩下一个，考虑到产生这种结果的原因可能是由于在96年和09年之间由于塔尖的变形或缺失导致观测点无法再进行观测，从而在09年开始仅选择