【完成】第八讲函数图像的渐近线及其应用(学生版)

§8 函数图像的渐近线及其应用
秒杀知识点①②
知识点1：（渐近线的定义与类型）
1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线．
2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α⎛⎫= ⎪⎝⎭
和斜渐近线（0πα<<），其中
α为渐近线的倾斜角．
知识点2：（渐近线的求法）
设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离
()()
cos PN PM f x kx b α==-+．①
根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有
()()lim 0x f x kx b →+∞
-+=⎡⎤⎣⎦，②或()lim x f x kx b →+∞-⎡⎤⎦=⎣
，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x
→+∞
→+∞⎛⎫
-=-=⋅=
⎪⎝⎭． 得()lim
x f x k x
→+∞
=．④
于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题．
若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞
=或()lim x f x b →-∞
=，反之，则y b =是曲线()
y f x =的水平渐近线．
若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0
lim x x f x →=∞或()0
lim x x f x +→=∞，()0
lim x x f x -→=∞，反之，则说
明0x x =是曲线()y f x =的垂直渐近线．
知识点3：（正确认识渐近线——关于渐近线的几点注记）
第一，并不是所有无限伸展或远离原点的曲线都有渐近线，如2y x =，sin y x =等都没有渐近线． 第二，在定义“无限地远离原点”中的原点，也未必是原点，可以是任意一个给定的点，两者是等价的，只不过原点比较有名且明确而已．如1x =是()
211y x =
-的垂直渐近线，“无限地远离原点”和无限地远离点()1,0，甚至点(),a b 没有本质区别．
第三，定义中，当曲线上的动点无限地远离原点时，只需要以某种方式远离即可，不需要以任意方式都远离．如0y =是2x y =的水平渐近线，动点P 无限地远离原点，即这只是当x →-∞时，2x y =无限接近于x 轴，而当x →+∞时，2x y =无限远离x 轴．
第四，若曲线存在渐近线，则当x 充分大（或充分小），或无限趋于0x （0x x =是其垂直渐近线）时，曲线基本就像相应渐近线那样近似于-条直线，如，双曲线存在渐近线，而抛物线则没有，从渐近线的角度很容易明白两者的区别．
第五，曲线与其渐近线是可以相交的，甚至曲线在“渐近”的过程中与其渐近线可无限次地穿过来穿过去． 高中教材唯一一次挑明渐近线身份是学习双曲线时，给出指示性定义后教材补充一句“也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交”．因此可能会给学生造成一般的渐近线都不能与曲线相交的错误认识．
如sin x y x =，因为sin lim 0x x x →∞=，所以0y =是该偶函数的水平渐近经一，但sin x y x =在区间()0,+∞内有无
数个零点，如图所示．
第六，曲线与其渐近线可以是相切的，而且可以有无数个切点．如sin 1x y x +=，因为sin 1lim 0x x x →∞+=，
0sin 1lim x x x
→+=∞，所以0y =，0x =分别是该函数的水平渐近线和垂直渐近线．但该函数与其水平渐近线
0y =有无数个切点3π2π,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，()k +∈N ，如图所示．
第七，根据以上讨论知，曲线并不都是一直“单调”接近渐近线的．
知识点4：（求渐近线举例）
【示例】求曲线()3223
x f x x x =+-的渐近线．
秒杀思路分析
一般用渐近线分析函数性质，常见的有()b f x ax x =+和()
()
f x y
g x =（其中()f x ，()g x 都是关于x 的非零多
项式）两种类型．
（1）关于型如()b f x ax x =+的分析：
当0a =，0b ≠时，()b f x x
=为反比例函数；
当0a ≠，0b =时，()f x ax =为正比例函数（一次函数）； 当0ab ≠时，0lim x b ax x →⎛⎫+=∞ ⎪⎝⎭
，则0x =是其一条垂直渐近线． 又lim x b ax x a x →∞⎛⎫
+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，lim 0x b ax ax x →∞⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则y ax =是其一条斜渐近线，即()b f x ax x =+的图像是夹在两条渐近线0x =和y ax =之间的双曲线，具体情况如下图所示．
（2）对于有理分式函数()()
f x y
g x =
的渐近线有如下一般结论：
第一，若0x 是方程()0g x =的实数解，且()00f x ≠，则有理分式函数图像存在垂直渐近线0x x =； 第二，若多项式()f x 和()g x 的次数相等，且它们的最高次项系数分别为a ，b ，则该函数图像存在水平渐近线a y b
=；
第三，若多项式()f x 的次数小于()g x 的次数，则0y =为该函数图像的水平渐近线；
第四，若多项式()f x 的次数比()g x 的次数大1，则该函数图像存在斜渐近线，可用公式④和③求解． 【示例】讨论下列三个函数图像的渐近线． （1）()2221x x f x x x +=-+； （2）()2
21
x
g x x x =
+-；
（3）()3221
x x h x x x +=+-．
方法对比
【例1】（2015年安徽卷理9）函数()()2ax b f x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A ．0a >，0b >，0c <
B ．0a <，0b >，0c >
C ．0a <，0b >，0c <
D ．0a <，0b <，0c <
【例2】（2002年全国卷）函数111
y x =--的图像是（如图所示）（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例3】（2004年湖北卷文）已知52x ≥，则()2
4524
x x f x x -+=-有（ ）
A ．最大值54
B ．最小值54
C ．最大值1
D ．最小值1
秒杀训练
【试题1】曲线()1ln 1e x y x =++渐近线的条数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【试题2】已知函数()
3
2
1x y x =
-，求函数图像的渐近线．
【试题3】如图所示的是一个函数的图像，在下面的四个函数中，其图像是所给图像的是（ ）
A ．ln y x x =+
B ．ln y x x =-
C ．ln y x x =-+
D ．ln y x x =--
真题回放
【试题1】（2017年全国卷Ⅲ文7）函数2sin 1x y x x
=++的部分图像大致为（如图所示）（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【试题2】（2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x m
h x g x m ⎧<-<⎪⎨
<-<⎪⎩
，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{}1D x x =>的四组函数如下：
①()2f x x =，()g x =； ②()102x f x -=+，()23x g x x
-=；
③()2
1x f x x +=，()ln 1ln x x g x x +=；
④()2
21
x f x x =+，()()21e x g x x -=--． 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是（ ） A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．③④。