聊城大学高等数学试题A即答案

《高等数学一》试题（A 卷）

一、判断题（共5题，每题3分，共15分：对的打√，错误的打×） 1、函数(,)

z f x y =

在点00(,)x y 处偏导数存在，则此函数在该点连续。……………（× ）

2、若级数∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 满足2lim

=∞→n

n

n v

u 且1

n

n u ∞

=∑收敛，则∑∞

=1

n n v 也收敛。………………（× ）

3、函数(,)z f x y =

在点0P 00(,)x y 处取得极值，则0P 点是驻点 （× ） 4、 若向量a 和b

互相垂直，则0=⋅b a 。 ……………………………………………（√ ）

5、 微分方程的特解是通解之一 ………………………………………（√ ） 二、选择题（共5题，每题3分，共15分） 1、设有平面闭区域(){}1,11,≤≤≤≤-=y x x y x D ，(){}1,10,1≤≤

≤≤=

y x x y x D

则=+⎰⎰D dxdy y x xy )(2（ B ） A ⎰⎰+1

)(22

D

dxdy

y x xy ；B ⎰⎰1

2

2D

ydxdy

x ；C ⎰⎰1

2D

xydxdy

；D 0

2、级数∑

∞

=1

1n n n

n ，()

∑∞

=+-1

1ln

1n n

n

n ，∑

∞

=1

ln 1n n

，()()∑∞=++-1

1

!

1ln 1n n n n

n （B ） A 收敛、条件收敛、发散、绝对收敛

B 发散、收敛、发散、绝对收敛

C 收敛、收敛、发散、收敛

D 发散、收敛、收敛、发散

3、幂级数()∑∞

=-11n n x n 的收敛域…………………………………………………………… （D ）

A 、]2,0[

B 、)2,0[

C 、]2,0(

D 、)2,0(

4、下列说法正确的是……………………………………………………( C )

A 、设)(1x y 与)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解，则)()(2211x y C x y C y +=是方程的通解。

B 、对弧长的曲线积分是定积分的推广。

C 、对面积的曲面积分是二重积分的推广

D 、两个发散的级数的和仍然发散。 5、记,)ln(1

dxdy y x I D

⎰⎰

+=

[],)ln(22⎰⎰+

=

D dxdy y x I 其中D

为三角形闭区域，三定点分别为()()()0,2,1,1,0,1，

则下列选项正确的是（ B ）

（A ）21I I ≥; (B) 21I I >; (C) 21I I ≤; (D) 21I I < 三、计算题（共9题，每题7分，共63分）

1、求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程.

2、设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x

w

∂∂及z

x w ∂∂∂2.

3、计算ds

e L y

x ⎰+2

2

，其中L 为圆周2

2

2

R

y

x =+，直线x y =以及x 轴

在第一象限内所围扇形的边界

4、讨论级数)0,0(1

>>∑

∞

=s a n

a n s

n 的敛散性

5、验证)0(2

2

>+-x y

x ydx xdy 是某个函数的全微分，并求出这样一个函数。

6、计算⎰⎰D

xyd σ，其中D 是由抛物线x

y =2

以及直线2

-=

x y 所围成的闭区域。

7、求微分方程(1+x 2)y ''=2xy '满足初始条件y |x =0=1, y '|x =0=3的特解.

8、计算⎰⎰⎰Ωdv z 2，其中Ω是圆2

2

22R

z

y x ≤++和)0(22

22

>≤++R Rz z

y x 的公共部分。

9、求平面1=++c

z b y a x 被三个坐标面所割出的有限部分的面积。

四、应用题（共7分）

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1p 和2p ，销售量分别为1q 和2q ，需求函数分别为221105.010,2.024p q p q -=-=，总成本函数为()214035q q C ++=。试问厂家如何确定两个市场的价格，能使其获得最大利润？最大利润是多少？