中考一题多解之函数

枷Ｉ 学 导 ４ 辅 ｜ 数 ５
＼ Ｂ ． Ａ
．
原 点 ）求 抛物 线 的解 析式 ． ，
（） ３ 设抛 物 线 与Ｙ 交 于点 Ｃ， 轴 若 ＡＡ 是直
Ｂ（２０ ， ４ ・２一 二， ０ ，所 以 ， ） 贝 １Ｘ＝ ＿ ｎ＜ １ 与Ｘ异 号 ． Ｙ ｘ帆 ２一 Ｏ 所 以 ｌ ２ ， ｌ ＝ ｍ＜ ， － 与
找最 佳的方 法 灵活地 解决 问题 ．
０
中考一题多解之函数
。 甘 肃 会 宁枝 阳 中学 禄 文夫
潮 （ １ 东 庆 已 抛 ２ ｌ 肇 ）知 ｏ广
物 ｙ ２ ４ ２ ＞） 交 线 ＋ 一 （ ０与轴 于 聊 ；ｍ ｍ
Ａ， 两点．
（） 证 ： 物 线 的 对 称 轴 在ｙ １求 抛
直 角 三 角 形 的 三 边 关
系 为 ａ＋ ｃ， 解 题 过 程 中 ， 们 找 ２ｂ＝ 在 我 直 角 三 角 形 三边 的相 关 信 息 。应 用 勾 股 定 理 ．代 入 已 知 信 息 便 可 转 化 成 代 数 关 系 。 而 达 到 求 解 的 目的 ． 从
抛物线） ， ＝
，
ｊ ： Ｃ
中 绝 对 值 大 的 一 个 为 负 数 ． 所 以
抛 物线 的 对称 轴在ｙ 左侧． 轴
２ 设抛物线ｙ ａ２ｂ＋ 与 ＝ｘ＋ ｃ
一 一
圈
３ｍ
４
２
，
如 图 １ 当 ０ ，： ， ＝ 时 ｙ
所 以 抛 物 线 与 ’ 的 交 点 坐 ， 轴
熬黪 瘿
一
图 ２
Ｃ
以 （ｍ 詈 得＝ ・ 动 点 ， Ｍ＋ＤＭ的值 最 小 时 ， ｍ的 一一 。 ｍ解 ｍ 当Ｃ ２号 ） ＝ 号 求 所 ．＝邶・：。 值 ． 以 ∞ Ｏ吉 ｓ｛ Ｃ
．
（ ） Ｍ （ ０ 是 轴 上 的 一 个 ２点 ｍ， ）
ｆ 曰 ，
１ ． ●
Ｉ １
ｌ ＇
－ ●
．
， ｃ
Ｄ
Ｉ２ ３Ｉ ・ ｘ１ ＝ 丢 ，・ ｍ 丢 － ２ ｘ
．
图 ３
３
，
牲 湃 强
粤
，
熙
利 解 １ 关 ， 用 析 的 系从
函 数 角 度 看 ．找 出 符 合 条 件 的 解 析 根 据 直 角 坐 标 系 中 两 点 之 间 的 距 离 公 式 及 勾 股 定 理 即 可
的 解 析 式 ？ ＝ ｘ＋ ｘ ｃ ， 二 次 函 ￣ｙ ａ２ｂ ＋ 时 该
角三角形 ， 只能有ＡＣＬＢ 又０ 且 Ｃ， Ｃ上 ＡＢ． 以有Ｒ ＡＡＯ 所 ｔ Ｃ￣Ｒｔ Ｏ ．所 ＡＣ Ｂ
以 ： ， 即 ｏ ２Ｏ ． Ｂ ｃ ： Ａ Ｏ ．所 以
ｏＢ ｏＣ
Ｉ ＝ ０ 曰
２ １ 年 的 中考试 题 中 对于 求二次 函数 的解 析式 和二 次 函数 的 图象 与坐 标轴 围 ０ １
成 的三 角形 面积 等 问题 我们 可 以从 不 同的角度 去思考 ．另外 ， 解决这 部分 问题 时 ， 往
往 涉及一 元二 次方 程根 与 系数关 系的相 关计 算 ， 与 其他知 识 的综合 ． 或 为了达 到快速 解题 之 目的 ， 在平 常的学 习中 ， 同学 们应 试 着从不 同 的角度 去思考 择合理 形 式 ． 选 寻
ＥＤＭ ．
Ｃｌ０Ｍ ＝ ＤＥＭ． 甄 以
所 以— ＯＭ
—
Ａ Ｃ， △ ＤＥ ＯＭ
ＯＣ
： —
—
＇
．
所 点 （ 。 因 ＡＢ， 以 Ｇ ， ｍ． 为 Ａ ０ ） 一 Ｃ
ＡＡＯＣ， ＡＢＯ ￣ 是 直 角 三 角形 ， Ｃ 所
ｒ ＸＡＢ。 ＡＣ ＋ ＝ ２ ＢＣ２Ａ ２ Ａ ＋ ２ＢＣ ＝ ， Ｃ ＝Ｏ Ｄｃ ， ２
识 求解．
２ ２ ．： ｍ １ ２ ３
．
．
３
暖圃
Ｉ （０ ｌ ２ ２ ｌ贵州安顺 ） 图２ 如
，
如图３ 作点ｃ ｆｘ ， 关ｆ － － ￣的
对 称 点 Ｃ ， ｃ （ ，） ０ ， ．连 结 Ｃ Ｄ 则 ， ２ ， ＿ ０ ｃ ２
交 轴 于 点 ．根 据 轴 对 称 性 及 两 点 之 间 线 段 最 短 可 知 此 时 Ｇ＋ Ｄ的
４ ， Ｏ， 所 以 ｝２ １＝ ｍ， 即Ａ曰 ｍ２ｍ＞ ￣ ２ １ ＝
２ ｍ． 所 以 Ａ ＡＢＣ￣ 面 积 ：ｌ ＡＢ
．
ＯＣ：
２ 一・ ｍ÷ｍ ｍ ・ Ｉ ・÷ Ｉ 一 Ｉ２ 号＝ ・
．
识 相 关 ， 以 ， 们 要 把 所 求 的结 论 所 我 转 化 在 同 一 条 直 线 上 ． 综 合 相 似 知
为 ＝ｘｎ ｙｋ＋ ，则｛ 一 一 ５ 解得ｎ ３ 十 ｎ＝ ２． ， ＝ ｌ～
【２ ８
＼ ’ ８Ｊ ２ 。 船（ 以 ÷ 詈 以 （ｍ 一４ 得 ｍ所 一 ９． ２３） 解 一 ＝ｍ ８
ｍ＝
３
２， 一 １２ 所 以ｙ 一４ ４ ． ｌ ＝ １
Ｅ Ｍ
Ｅ Ｄ
所 以
：
— 一
． 所 以 ｍ： ．
４１
，
Ｄ
３
—
２ ５
ｍ — —
２
８
）
Ｏ Ｏ 所 （ ） （ｍ Ｂ Ｃ 以 ＋寻 ｚ ２ ： 一 ） ＋． （ ） 抛物 线 的解 析式 及 顶 点Ｄ １求 咖（ 所 ＝ 所 的 坐 标 ． ÷ 以 詈
由
．
一
Ｘ 即 —Ｉ ２ Ｘ＋
—
＝
数 的对 称 轴 为 一 ， 以 。 解 题 所 在
Ｚ
时可 直接代 入 相 关数值 进 行计 算．
——仟 ——一— — ＝— —＋——＝ ． ｒ— — ： ３ ２ — Ｘ２ ｌ ｌ ３ ＸＩ戈 。２
得 一 ＿ ： ＋ｌ １ ＿ ｌ ：２
段 的 比例 中项 ． 此 代入 相 关信 息便 依
可 求 解．
与 原 点 的 相 对 位 置 ． 进 而 得 出抛 物
线 对称 轴 的 大致位 置．
轴左 侧．
圈
设 物 ＋， ｍ 抛 线 ｍ｛ ｖ Ｔ 一
４
， （ 去一 Ｄ坐 （ ０）与 轴 的 交 点 坐 标 为Ａ（ｌ０）， ２ ＝（ 标 ｍ＞ ） 若 ３是
结 Ｃ Ｄ交 于 点 ． 据 轴 对 称 性 及 轴 根 两 点 之 间 线 段 最 短 可 知 此 时 ＭＣ＋
因 为 ＡＡＢ Ｃ是 直 角 三 角 形 ． 所 以 （１Ｘ ） －２
，
所 以舭
。的 坐 标 为
Ａ ＡＣ ＋ Ｃ． 所 以 Ｂ ＝ ａＢ ￣
＋
／３ ２ ＼ ５
从 而 — －ｍ ＝了 ２
盔圃
ｍ
： 一 ： 一 ～
，
由对称轴￣ｘ－ｂ可得 ｓ＝
又 ｍ＞ 所 以 一 ＜ 所 ０， Ｑ
２
３
，
． 解 得 ｍ＝ ， ２ 所
ｌｍ ｏ ＝ ， 一 Ａ 即 丢ｌ － ＝ ＝
＿ ｍ 解得玑 、了 兰 ＿ ： ／
４ ３
３
ｘ２ 所 以 当 ＋．
ｙ ０时 ， １ ＝ 一４
１ ＋ ＝ ．解 得 ， 所 以 ２ ２ｏ ＝
．所 以 ｓ Ａ △
１
・
在 几 何 图 形 上 ，一 般 是 两 点 之 间 线
ＡＢ ・ ＯＣ＝
ｍ ：
， ２
段 最 短 的 问 题 ， 于 最 短 ， 对 称 知 对 与
丝 囝
．
…
—
。
轴 的 交 点 坐 标 为 Ａ （ １ ）Ｂ（２０ ， ， Ｘ，） ０
０３ ． 一ｍ （ 由 一 晰 以 标 ｃ， ） 为 ４ 是 ｘ 于 击＝ ２ ， 为（ 。因 △ ｃ直
Ｏ Ｏ ． 由 （ ） 知 ＜ ， ２０，所 以 Ａ＞ Ｂ １ ｌ０ Ｘ＞
：
Ｊ 目 因 当 次 数 ｉＥ 为 二 函
相似 的 直 角三角形 ． 它们 均 与原 直 且
（ ）１ 以ｃ坐 ． 点的 标 ：所 一
为 （ ， １． 所 以 ＯＣ Ｉ 又 （２ １ ０一 ） ＝． Ｘ ）
与 轴 的 交 点 坐 标 为 （ 。０ ， ， ） ， ） （２０ ， ４ ２１门 ４ ０１ １
（ ： ￣＂） （ｍ＝ Ｘ ） １￣ｍ一一 ｌ Ｘ（ 丢 ） 帆 一 ２一 ４ －
求解．
１
因 为 点』（ １０ 在 抛 物 ４－ ）
式 进 行 求 解 ．但 首 先 要 找 出 对 称 点
的 坐标．
线吉２一 ， （ 疆蕊 如 图３， 出点ｃ关ｑｘ ） 上 以 × １ ， ２ 所 ２ 一＋ ：＋ ２ ） 作 －＆ （ ２ ＯＣ ＝ 匮 当＝ ，一 ｍ所 ６ １＝解６寻所抛 的 对 称 点 Ｃ ， 则 Ｃ ０， ）， ２．连 圜 时ｙ丢 × ）０ 得 ， 物 ０ ， （～． 一 以 一２ 以ｃ， ， 所Ａ： 线解式ｙ 又 点（ 以曰 ） 的析 为吉一 一 ｙ ０３ ） ２。 ， 一ｍ ． （ ＝２ ２ ＝ 寻． ＭＤ的 值 最 小 ．设 直 线 Ｃ Ｄ的 解 析 式 ２￣－ ２ Ａｘ一ｍ Ｃ￣ ＋寻 Ｚ＋３ ＝（ ｆ Ｘ Ｌ ２２ ） ． － ２ ２一÷ ３４ 。 ＝（ ．＝ ２ １ ｝＝ ， ｎ ２
２ 一 与 轴 交 于 Ａ ， ＋ ２ 曰
两 点 ， 轴 交 于 点 Ｃ， Ａ（ １０ ． 与ｖ 且 一 ．）
值 最 小．设抛 物 线 的 对称 轴 屯 轴 于 点
Ｅ 。因 为 Ｅ ／ｙ ．所 以 ／Ｏ Ｄ ／轴 Ｃ Ｍ＝
蕊
如图１当 时， － ｍ ， ｙ３ ＝
，
ｆ
ｃ
则 该 函 数 与 轴 交 点 的 横 坐 标 实 际
上 是 一 元 二 次 方 程 ０ｇ＋ ｘ＋ ： ２２ ｂ ｃ ０的 两
角 三 角 形 相 似 ， 所 以 由 对 应 关 系 可
得 。 边 上 的 高 是 高 分 斜 边 的 两 条 线 斜
根 ，
可 根 据 两 根 关 系 判 断 交 点
一
３
Ｈ
所 以一 ３
，
ｍ
４
２ ａ
２
以抛 物 线的 解析 式是） ， ＝
一． ３
一
三
４
以抛 物 线的 对称 轴在＿ 左侧． ｙ 轴
若 二 次 函 数 ｙ 似ｚ６ ｃ ＝ ＋斛
３ 露 因 直角三角 盏 为 形
斜 边 上 的 高 将 直 角 三 角 形 分 成 两 个