电路理论4电路定理

i1
+
i
Req
uNO
_
1’
1、定理证明：
u(t) uoc Reqi
i1
+
N
u
M
_
1’
最简等效电路
i1
Uoc +
u
M
Ro _
1’
结论：
线性有源二端网络N，对外电路而言，可以用一个电 压源和电阻元件串联组成的等效电路代替。
诺顿定理：一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控源 的一端口网络，对外电路来说，可用一个电流源和电阻并联等 效。
I1
+
N
U
Load
_
1’
Ia
+
Isc
Req U M
_
b
Ia +
Uoc
UM Req _
b
IS
U OC Req
Isc 是端口的短路电流；
U0C 是端口的开路电压；
Req一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻。
2、确定戴维宁定理参数的方法:
• 将待求支路移走,形成线性有源二端网络,求该网络的 短路电流或开路电压UOC或者入端电阻
1、定理证明：
ioc 1
+
N
uoc
_
1’
电流源i为零
i1
利用替代定理，将外
+
N
u
M
_
i
部电路用电流源替代， 此时u, i值不变。计算 u值。
1’ 替代定理
利用叠加定理，
i1
让电流源和N
中电源分别单
+
i
独作用。计算
+
NO
uNO
_
u值。
1’
网络N中独立源全部置零
u(t) uoc uNO uoc Reqi
解：由叠加定理
+
U s1
-
线性
+
电路
U-3
U3=k1US1+k2IS2+k
k1US1：US1单独激励产生的电压分量；
k2IS2：IS2单独作用产生的电压分量；
Is2
k：由电路内的独立源一起激励产生的电压分量；
23k1k1 1
0
k2 k2
0k (1)
k
1 k1 (4) k2 1 k
kk21
a
Us1
rI3
Io
R1 图(c) R2
I2
b
直接求等效电阻？
a
I3
Us1
rI3
R3
R1
R2
图(a)
b
戴维南等效电路： 图(d)
I3
E0 R0 R3
2
3 1 3
1 6
A
a I3
Eo
图(d)
R3
Ro
b
3、戴维南定理的应用:
（1）由网络端口伏安关系确定等效模型
例：N为含独立源的线性电阻网络，确定图中端口左侧的戴维南等 效电路。已知当R=4Ω时，U=4V ；R=12Ω时，U=6V。
等效内阻R0，图(c)： R0= R4+R5//(R2+ R3)=6.5
Us5
I5
R5
a
图(b) +
R2
Uoc
Is6 _
b
R3 Is6
R4
a
R2 R5
R3
Ro
图(c) b
R4
a R1 I1=-1A
Us5
图(a)
R5
Us1 R2
Is6
b
R3
R4
等效网络，图(d)：
I1
U oc R0
U s1 R1
➢ u,i叠加时要注意各分量的方向
运用叠加定理求解电路的步骤:
➢ 在电路中标明待求支路电流和电压的参考方向
➢ 作出单一电源作用的电路，在这一电路中标明待求支路电 流和电压的参考方向，为了避免出错，该支路电压、电流 与原电路的保持一致
➢ 计算各单一电源作用电路的电压、电流分量
➢ 将各单一电源作用的电路计算出的各电压、电流分量进行 叠加，求出原电路中待求的电流和电压
1 2
k 3
U3 US1 2IS2 3 8V
4.2 替代定理 (Substitution Theorem)
定理内容：
在任意一个电路中，若某支路k电压为uk、电流为ik，且该 支路与其它支路不存在耦合，那么这条支路 • 可以用一个电压等于uk的独立电压源替代； • 或者用一个电流等于ik的 独立电流源来替代；
R1
U oc
U s1 I1
R0
23
图(d)
Uoc
a
I1 R1
Ro
Us1
b
例2：R1=1，R3=3，R4=4，R5=5，US1=1V， US3=3V，US4=4V，US5=5V，IS2=2A，求I3 。图(a)
a R3
Us3 c
Us1
I3
Us5
Us4
Is2
R1
图(a) R4 R5
b
d
解： 图(b)：
a
I2 +
R1
Is
R2
Uoc
I1
图(b)
_ b
2）求等效内阻，方法1：外加电压源，图(c)：
I2
US R2
US 3
I1
2I2 US R1
2I2 US
1 3
U
S
2 I0 I2 I1 3 US
R0
US I0
3 2
2I2
a
I2 Io
R1
R2
I1 图(c)
Us
b
2）求等效内阻方法2：直接求等效电阻
+
2Ω
N
UR
-
+ R0 +
U0C
_
U
R
_
解： U
R
R R0
UOC
64142142RR00UUOOCC
URO0C48V
3、戴维南定理的应用:
（2）最大功率传输定理 MAXIMUM POWER TRANSFER
当负载电阻等于信号源内阻时(RL=RS). 负载 获得最大功率。
a
信
Us
I
证明：
I US RS RL
若替代后电路仍具有唯一解，则整个电路的各支路电压和 电流保持不变。
例子：
i
u=3V
+ +
i=1A
5V u 3Ω -
2Ω
i
+ +
5V u
3V
-
2Ω
i
+ +
5V u
1A
-
2Ω
任何一条支路替代成一个独立源, 再求解,解不变.
定理证明：
ik
N+
uk
支 路
–k
N
+
– uk
N
ik
证明： 设网络有b条支路 支路电流为I1，I2，...IK...Ib， 满足KCL 支路电压为U1，U2，...UK，...Ub，满足KVL 代替：USK=UK ，方向与UK相同 必定有： 各支路的电压和电流保持不变
Us1
R1
a 图(b) +
Is2 Eo’
_
b
Ro’
E0 US1 R1IS 2 1V , R0 R1 1
图(c)：
E0
U
S
4
1
R4 R4
US5 1 R5
R5
0V
(I4
US4 R4
US5 R5
1A,
E0 US 4 R4I4 0V )
R0
R4
//
R5
20 9
图(d)：
I3
US3 E0 E0 R3 R0 R0
关于替代定理的说明：
替代定理对线性、非线性、时变和时不变电路都是正确的； 替代后电路必须有唯一解； 被替代的支路与电路的其他部分应无耦合联系； 替代后其余支路及参数不能改变(一点等效)。
例:若要使Ix=1/8I, 试求Rx。
3
+ 10V
–
1
0.5 I
Rx Ix 0.5
–U + 0.5
用替代定理：
) R2i2
is
Us R1
Is
i2
(is
U s ) R1 R1 R1 R2
R1 R1 R2
is
R1
1 R2 U s
两个独立源分别单独作用
R1
i2'
R2
i2
Is
'
R1 R1 R2
is
R1 +
Us -
i2''
1
R2 i1' ' R1 R2 U s
结论：
i2 i2 'i2 '' i2 ' k1is i2 '' k2U s i2 k1is k2U s
i1
+
N
u
M
_
1’
1
+
N
uoc _
1’
1
N
isc
1’
1
N0
Req
1’
例1：US1=1V，R2=2，R3=3， R4=4，R5=5，US5=5V，IS6=6A， R1可变。R1=?时I1= -1A，图(a)。
a R1 I1=-1A
Us5
图(a)
R5
Us1 R2
Is6
b
R3
R4
解： 开路电压U0C，图(b)： I5网孔：(R2+ R3+ R5)I5 -R3IS6=US5 I5=2.3A KVL：U0C=US5-R5I5 - R4Is6= -30.5V
9 28
A
c 图(c)
+
Us4
Us5
Eo’’
_
R4
R5
d
I4
Ro’’
a R3
Us3 c
I3
Eo’
Eo’’
图(d)
Ro’
Ro’’
b
d
例3：R1=1，R2=2，R3=3，r=1，US1=1V，求I3。图
(a)
a
I3
Us1
rI3
R3
解：
求开路电压，图(b)：∵ I3=0，∴ rI3=0；
E0
US1
R2 R1 R2
2I2
a
I2 +
2/3U
2
a +
1/2U 2
I
+
a
1
3 U
1
3 U
3/4Ω
U
_ b
_ b
_ b
3 I 1U U 42
R U /I 3 2
2）求等效内阻方法3：求短路电流
∵I2=0，2I2= R1I1=0，I1=0，IS=I0
I0= 4A；
R0
UOC I0
1.5
2I2
a
I2
R1
Is
R2
Io
4.1.2 叠加定理 (Superposition Theorem)
定理内容：
在任一线性电路中，任一支路电流(或电压)都等于电路 中各个独立电源单独作用于网络时，在该支路产生的电流 (或电压)的叠加（代数和）。
定理特点：
将多电源电路转化为单电源电路进行计算。
例1：
R1
i2
+
Us
R2
-
(1 R1
1 R2
第四章 网络定理
4.1 线性电路的线性特性与叠加定理 4.2 替代定理 4.3 戴维宁定理与诺顿定理 4.4 特勒根定理与互易定理
4.1 线性电路的线性特性与叠加定理
4.1.1 线性电路的线性特性
+
线性
us -
无源 电路
i
i kus
➢k是与线性电路的结构及参数有关的常数。 ➢k值与独立源us无关。 ➢当独立电源us增加n倍时，i也增加n倍。
PL PS
PL RLI 2 50%
PS (RL RS )I 2
例：IS=4A，R1=1，R2=3，R可变。问R=?时吸收最大功
率？
2I2
a
解： 1）求开路电压，图(b)：
I2
R1
Is
R2
R
图(a)wenku.baidu.comb
2I2=R2I2+R1I1 I2=2A I1+ IS=I2 UOC=R2I2=6V
2I2
2V 3
R1 图(a) R2 b
I3
a
Us1
rI3
+
Eo
求 等效内阻（求短路电流），图(c)：
I0 I3 I1 I2,
I1
US1 R1
1A ,
I2
rI3 R2
1 I3 2
0.5I3 2
I3 1 0.5I3 , I3 3 A
I0
2 3
A
,
R0
E0 I0
1
R1图(b) R2
_
b
I1
I3
可加性 齐次性（单电源作用） 线性性（对功率不适用）
应用叠加定理时注意以下几点:
➢ 叠加定理只适用于线性电路
➢ 某个独立电源单独作用时，其它独立电源置零。将电源置 零的方法是：若置电压源为零，则用短路代替；若置电流 源为零，则用开路代替
➢ 功率不能叠加(功率为电源的二次函数)
➢ 含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控电源可视为独立电 源，让其单独作用于电路；也可视为非电源原件，在每一 独立源单独作用时，受控源应始终保留于电路之中
列回路方程得:
2.5Im-1.5I-1/8I=0
I
1 1 I Im
0.5
Im=13/20I
8
U=0.5(Im-1/8I)+0.5(Im-I-1/8I) 0.5 – U + 0.5 =0.025I=0.025*8Ix=0.2Ix
Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2
4.3 戴维宁定理与诺顿定理
a
N0
I1
b
3）应用戴维南定理简化电路：
2I2
a
I2
R1
Is
R2
R
图(a)
b
6V 1.5
a
I 1.5 R
b
由最大功率传输定理:当R=R0=1.5时，吸收最大功率:
P ( UOC )2 R 6W R R0
4.4 特勒根定理 (TELLEGEN’S THEOREM)
4.4.1特勒根定理
设 Un支3：路电压、电流为U1~U6、I1~I6，节点电压I1分别为Is1 Un1、Un2、
Req
b
a
Req
b
a N
b
a
Req
+ U_ oc
?
b
戴维宁定理：一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控 源的一端口网络，对外电路来说，可用一个电压源和电阻串联 等效。
I1
+
N
U
_
Load
1’
I1
Uoc +
U
Req _
1’
Load
原始电路和戴维宁等效电路
U0C 是端口的开路电压； Req一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻。
P=U1I1+U2I2+U3I3+U4I4+U5I5+U6I6
U1
=(Un1 - Un3)I1+(Un1 - Un2)I2+(Un2 Un3)I3+…
= Un1(I1+I2+I4)+ Un2(-I2+I3+I5)+ Un3(-I1I3+I6)
PL
RL I 2
RLU
2 S
(RS RL )2
号
源 Rs
RL
b
dPL 0 dRL
dPL dRL
(RS
RL )2 2RL (RS (RS RL )4
RL
)
U
2 S
0
(RS RL )2 2RL (RS RL ) 0 RL RS
PL max
U
2 S
4RS
传输效率：负载吸收的功率PL与电源产生的功率PS之比：
+
I1’’=I’’=2A
2I’’
-
由叠加定理得：
I=I’+I’’=-1A
I1=I1’+I1’’=5A
例2：一线性电路，US1=0V，IS2=0A时，有U3=3V；US1=1V， IS2= -1A时，U3=2V；US1= -4V，IS2=1A时，U3=1V。求当US1=1V， IS2=2A时，U3=?
例1：用叠加定理求所示电路中各支路电流。
解：电流源单独作用时等效电路:
I-
+ 12V
I1
3Ω
6A
I’
I1’
3Ω
6A
1Ω
+
2I
1Ω
+
-
2I’
-
由基尔霍夫定律得：
I’+3I1’+2I’=0 I1’=6+I’ 解得： I’=-3A I1’=3A 电压源单独作用时等效电路:
12V
-
+
I’’
1Ω
I1’’
3Ω