相关函数及协方差函数

相关函数及协方差函数 自协方差函数（对于一维随机过程）
C X (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] X (t1 ) X (t2 )
自相关函数
def
CXY (t1, t2 ) E[ X (t1) X (t1)][Y (t2 ) Y (t2 )], (t1, t2 T )
互协方差函数（对于二维随机过程） def
互相关函数
RX (t1,t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
def
RXY (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )],
2
协方差函数
CX (t1 , t2 ) Cov[X (t1 , t2 )]
def
=E [ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )] ,(t1 , t2 T )
def
(t1, t2 T )
注：特别的如果 { X (t ), t T } 的期望函数为零，则协 方差函数和自相关函数相等。如果 X (t1 ), X (t2 ) 随机 程的两状态相互独立，则有 C X (t1,t 2 ) 0
def
注：特别的如果 X (t ),Y (t ) 之一的期望为零，则互 协方差等于互相关函数。如果随机过程 X (t ),Y (t ) 相互独立， C XY (t1,t2 ) 0 t1,t2 T ，X (t ),Y (t ) 则 称为互不相关的。相互独立的两个随机过程必是互 不相关的。反之如果互相关的不一定相互独立。
def
谱密度函数 自相关函数 RX ( ) 的谱密度函数 S X ( jw) 称为自谱

互相函数 RXY ( ) 的谱密度函数 S XY ( jw) 称为互密

密度函数 S X ( jw)

RX ( ) e
jw
d
度函数 S XY ( jw)

R
XY
( ) e
jw
ຫໍສະໝຸດ Baidud
注：谱密度函数就是相关函数的傅里叶变换式，反之，相关函数就是谱密度函数的傅里叶反变换式。 著名的维纳-霍甫积分方程 著名的维纳-霍甫积分方程

RXY ( ) g ( )RX ( )d
0
注：这个方程给出了自相关函数、输入与输出的互相关函数和脉冲响应函数之间的关系。 常用的函数 数学期望函数 X (t ) E[ X (t )],t T 方差函数 X (t ) E{[ X (t ) X (t )]2}