第二章-3飞行动力学-飞机的横侧运动+飞机方程
飞机运动的动力学、弹道学和控制
飞机运动的动力学、弹道学和控制1. 飞机运动的动力学
1.1 飞机的六度自由运动
- 平动运动：沿x、y、z三个坐标轴的平动
- 转动运动：绕x、y、z三个坐标轴的转动
1.2 飞机的空气动力学
- 升力原理
- 阻力原理
- 机动力学方程
2. 飞机的弹道学
2.1 弹道运动的基本概念
- 初始条件
- 空气阻力
- 重力加速度
2.2 弹道方程
- 二维平面弹道方程
- 三维空间弹道方程
2.3 弹道修正
- 风阻修正
- 重力修正
3. 飞机的控制
3.1 飞机的控制面
- 升降舵
- 方向舵
- 副翼
3.2 飞行控制系统
- 自动驾驶仪
- 飞行控制计算机
- actuators
3.3 控制律设计
- PID控制
- 最优控制
- 自适应控制
本文概述了飞机运动的动力学、弹道学和控制的基本理论和方法。
动力学部分介绍了飞机六度自由运动和空气动力学原理;弹道学部分阐述了弹道运动基本概念、弹道方程及修正方法;控制部分则涉及飞机控制面、飞行控制系统和控制律设计等内容。
这为深入研究飞机运动及其控制奠定了基础。
直升机飞行控制 第2章
第二章 直升机飞行动力学2.1 坐标系及运动参量与固定翼飞机相似，直升机在空中作6个自由度运动，即作为质点的三个线运动：升降运动，前飞与后退运动及左右侧向运动；以及作为刚体的角运动：俯仰运动，偏航运动及滚转运动。
为描述直升机自身运动需建立机体坐标系及速度坐标系，为建立直升机相对于地面的运动几何，需建立地面坐标系。
2.1.1 坐标系1．机体坐标系机体坐标系（OXYZ ）与机体固连，如图2－1所示，原点O 为飞机重心，纵轴OX 在直升机对称平面内，通过重心，与机身纵轴一致，沿机头方向为正，立轴OZ 通过重心，在机身对称平面内与桨毂轴平行，向下为正，横轴OY 通过重心O 与XOZ 平面垂直。
若左旋直升机，按左手定则，指向左为正，若右旋直升机则按右手定则，指向右为正。
图2－1为右旋直升机的机体轴系。
θφψE Z E X (北)(地图2-1 机体坐标系及与地面坐标系之间关系2．速度坐标轴系速度坐标系（a a a OX Y Z ）描述直升机空速相对于机体轴的关系，如图2－2所示，原点O 设在飞机重心，a OX 轴与空速向量k V 一致，前飞为正。
a OZ 在直升机对称平面内，垂直于a OX 轴，向下为正，a OY 垂直于a a X OZ 平面,直升机右旋时向右为正。
由速度坐标系可建立飞机的迎角α与侧滑角β。
机身迎角α为k V 在机身对称平面XOZ 的投影与OX 夹角，侧滑角β为k V 与对称平面XOZ 的夹角,k V 在X 轴右边时侧滑角β为正。
图2-2 速度坐标系 3．地面坐标系地面坐标系（E E E OX Y Z ）相对于地球表面不动，如图2-3所示，原点O 设在地面上某点（可设在起飞点），纵轴E OX 应指北，或指向应飞航向，立轴E OZ 垂直向下为正，E OY 轴与E E OX Y 平面垂直，指向由右手定则决定。
由图可知,地面坐标系可建立直升机相对于地面飞行的航迹倾斜角γ及航迹偏转角χ。
航迹角γ是指直升机的地速d V 与地平面夹角，向上为正。
飞行动力学飞机方程
xydm Ixy
表示惯性积
依据假设 Ixy=Izy=0 ，H 的各分量
H
x
H y
pI x qI y
rI xz
代入
dH dt
1H
dH dt
H
H x dt
pI x rI xz
dH y dt
qI y
dH z dt
rI z pI xz
由于
i jk
H p q r i(qH z rH y ) j(rH x pH z ) k ( pH y qH x )
1.地轴系与机体轴系间的方向余弦表
o
xg
x
cos cos
y
cos sin sin- sincos
z
cos sin cos+sinsin-
yg sincos sin sin sin+cos cos sin sin cos-cos sin
zg -sin cos sin cos cos
表中，oxyz为机体轴系， oxgygzg为地轴系
—动坐标系对惯性系的总角速度向量
—表示叉积，向量积
1H —沿动量矩 H 的单位向量
dV , dH dt dt
—对动坐标系的相对导数
1.力方程
F
m
dV dt
dV dt
1V
dV dt
V
V 和 用机体坐标系上的分量（u,v,w；p,q,r）表示
V iu jv kw, ip jq kr
三个力方程 三个力矩方程 飞机六自由 度动力学
线性方程 增量方程
m
d u dt
( X u
)0 u
( X
)0
( X
)0
m
第二章_飞行器运动方程(3)
第二章 飞行器运动方程 (三）飞机的横侧向运动
§3、飞机的横侧运动
横侧运动
横侧运动包括横滚，偏航，侧移（侧偏）三个 自由度的运动；操纵机构是副翼 δa ，方向舵δr
选用坐标系： 选用坐标系：选机体轴系 运动参量： 运动参量：
滚转角速率 p，偏航角速率 r， 侧滑角
β
，滚转角
φ
基准运动的运动参量特点：
po =γo =φo =ψo = βo = 0
Y = Lo = No = 0 o
产生侧力的因素
重力G 重力G的投影 当飞机俯仰 角 θ ≠ 0 ，而滚转 角 φ = 0 时，重力G 时，重力G 在Y轴上的投影为0； 轴上的投影为0 而当飞机俯仰 角 ，而滚转 角 θ ≠ 0 时，重力 G在φ轴上的投影为 Y ≠0
a
[
]
飞机侧力小扰动方程式： 飞机侧力小扰动方程式：
t
u =V cosα cos β 0 v =V sin β 0
由 ∑F = m(v +ur −wp) w=V sin α cos β & 0 Y 得到 m(d∆v +V0∆r) = ∆Ya +Gcosθ sin φ
dt β d∆ m 0( V +∆ ) = ∆ a +Gcosθ sin φ r Y dt
飞机向右滚转时，右翼产生一个向下的速 飞机向右滚转时， 度微小增量 ∆V，左翼产生相应的向上的微小 速度增量∆V 于是右翼迎角增加 ∆ ，左翼 。 α 减小 ∆ 。由于迎角增加，右翼升力增加 α 由于迎角增加， 左翼升力减小 L− ∆L。这个升力差产 L+ ∆L 生一个绕ox轴的滚转力矩 轴的滚转力矩。 生一个绕ox轴的滚转力矩。由于这个力矩的 方向始终与p的方向相反，是阻止p增加的， 方向始终与p的方向相反，是阻止p增加的， 因而叫阻尼力矩。 因而叫阻尼力矩。
01_飞机的一般运动方程
0 1 L qh 0 cos s 0 sin s
0 sin s cos s
coscos Ltq sin cos sin
sin cos 0
cos sin sin sin cos
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无人驾驶飞机：无人飞机和微型无人飞机
最大尺寸微型飞行器
英国的“Sender”无人机
微型飞行器和小尺寸无人机的尺寸对比
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“黑寡妇”微型飞机
“微星”微型飞机
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特殊航空器：微型扑翼和旋翼飞机
加州理工大学的“微型蝙蝠” 微型扑翼飞机
美国加州大学：扑翼机（翼展 200mm，总重11.5克，微型电 机驱动
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三、飞机的主要组成部分及其功能
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机翼 ：产生升力 ，机翼上一般有用于横向操 纵的副翼和扰流片；机翼前后缘部分还设有各 种形式的襟翼，增加升力 尾翼：水平尾翼和垂直尾翼；V型尾翼；水平尾 翼一般有水平安定面和升降舵组成；垂直尾翼 一般有垂直安定面和方向舵组成；超音速飞行 时通常采用全动水平尾翼（差动）；鸭翼 机身：容纳人员、货物或其他载重和设备；要 求流线；飞翼式飞机取消机身。 起落架：起飞降落（机轮、滑撬、浮桶）
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半机体坐标系Oxbybzb ：O在质心, Oxb沿飞 行速度矢量 V 在飞机对称平面投影方向， Oyb在对称平面内，垂直于Oxb向上（因而与 Oyq重合），Ozb垂直于飞机对称平面（与轴 Ozt重合）。
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图2-2
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航迹坐标系 Oxhyhzh ： O 在质心， Oxh与 Oxq一 致，Oyh在包含飞行速度矢量V的铅垂面内， 指向上， Ozh 垂直于 Oxhyh（因而使水平的）， 指向右。
第一章-6 飞行动力学-飞机的横侧运动+飞机方程
4.三种模态的简化处理(续)
2.荷兰滚模态的简化处理 初步近似认为滚转运动对荷兰滚模态没有影响，即认为偏航
和侧移运动不受滚转速率和滚转角的影响，得到：
全自由度方程解： 偏差较小：
3）螺旋模态的简化处理
螺旋模态在各运动参数中只占据很小的份额，而且运动参数 的变化慢，因此初步近似时，惯性项可以忽略，令方程中：
二、横侧向扰动运动与三种模态
纵向运动时的同一飞机，以M=0.9.高度h=11000m作定常平飞， 各参数及气动导数如下(对稳定轴系）:
由表中表 达式计算：
拉氏变换后得代数方程:
扰动运动 控制输入为0：a=r=0
特征多项式：
特征根：
扰动运动的解
一对共挽复根代表振荡运动模态 大负根代表滚转快速阻尼模态 小根(可正可负)代表缓慢螺旋运动的模态 飞机横侧扰动运动由此三种典型模态线性叠加而成
飞机：倾斜转弯(bank-to-turn)
2、导弹的控制
利用升力、侧力控制导弹飞行轨迹-产生加速度（过载） 水平舵面—，升力，法向过载，上下飞行 垂直舵面—，侧力，侧向过载，左右飞行 滚转:无a，同一平面舵面的差动偏转—滚转力矩
鸭式导弹 鸭翼，不受气流下洗的影响，改变气动特性
推力矢量控制 导弹舵面气动力小，靠推力改变方向控制
三种模态中，振荡模态的系数最大，说明这一模态在横侧 运动各参数中均有明显的表现。
与纵向短周期相同，航向静稳定性导数Cn起恢复作用， 消除侧滑角；侧力导数CY和航向阻尼力矩导数Cnr起阻尼
作用；
CY和Cnr在数值上很小，因此横侧向振荡模态的衰减很慢。
与纵向短周期模态不同的是:由于横滚静稳定性导数的存 在，伴随着侧滑角的正负振荡，飞机还产生了左右滚转的 运动。航向和滚转运动的耦合。
第二章-2 飞行动力学-飞机的纵向运动课件
五、纵向运动的传递函数
扰动运动—齐次微分方程，无输入，起始条件响应 传递函数—输入输出关系，操纵响应 (一)纵向运动的传递函数（仅考虑e输入）
纵向方程中，令油门杆输入T=0，各变量初始条件为0，
以e为输入，V为输出的传递函数： 各系数定义： p,p,Tp—长周期参数 阻尼比、振荡频率 时间常数 s,s,Ts—短周期参数 阻尼比、振荡频率 时间常数
三、纵向扰动运动的两种典型模态 以飞机纵向扰动运动的过渡过程为例。 设某飞机高度h=11OOOm，M=0.9(V0=266m/s)作定常直线平飞，受到 扰动后，飞机偏离基准运动状态。计算扰动因素消除后，飞机 恢复到基准运动的过渡过程。 完全靠飞机自身的稳定性，驾驶员没有进行操纵:
主要的结构参数及纵向气动参数：
六、短周期运动的近似传递函数
纵向运动的初始阶段，短周期运动占主导地位，其过渡过程时间很短，飞 行速度变化不大，可以认为速度增量V=0。 纵向运动方程式中第一式(切向力方程)可以删去，其他两式当V=0时， 得 经拉氏变换，得： 简化后为二阶系统.
分母上有一个积分环节， 用q较为合适
展开行列式，得：
由第三个代数方程式，可得 代入速度V对舵面的传递函数，代入给定数据，得：
右面的V/e, /e, /e表明，二阶简化系 统与未简化（三阶）系统 的频率特性在低频段（低 于1rad/s）几乎完全一致， 高频段差别增大
基准运动为定直平飞，小扰动假设：空气密度=常值，可忽略 力与力矩：
各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一 阶项,得
令
得力与力矩的线性化描述：
(一)切向动力学方程的线性化
dV 1 (T D G sin ) dt m
飞行器运动方程
假定飞机有一个对称面xoz（机体坐标系）,且飞 行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对 称，惯性积
I xy I zy O
;
忽略地面曲率，视地面为平面;
二、 六自由度飞机运动方程
1、飞机运动的自由度：(six-degrees-of freedom)
飞机在空间的运动有六个自由度，即质心沿地 面坐标系的三个移动自由度和绕机体坐标轴系 的三个转动自由度 。
x1 0 sin x1 1 0 y1 C y 1 z g 0 cos z g 得到 xyz 最后绕 ox 轴转
0 0 x x 1 x y 0 cos sin y C y 1 z z 0 sin cos z2
0 求 与 p,q,r 的关系。再将 加上可得： ,
0 0 cos 0 sin 0 p 1 q 0 cos sin 0 1 0 0 0 r 0 sin cos sin 0 cos
dV dV 1V V dt dt
dL dL 1H L dt dt
1、牵连运动
1V ：沿 V 的单位向量；
：动坐标系对惯性系的总角速度向量；
1L ：沿动量矩 L的单位向量； ：表示叉乘 v 是牵连加速度。
dV dt
dV dt
和
dH dt
dH dt
：表示在动坐标系内的相对导数。
一、动力学方程式
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运 动参数间关系的方程，显然包括两组方程：
飞行动力学(第五、六节)
全机滚转角速度p
引起的偏舵力矩 式中：
交叉动导数
无因次滚转角速度
偏航力矩N，正负不定
5.偏航角速度r引起的N—航向阻尼力矩
航向阻尼力矩,与纵向、滚转阻尼力矩原理相同。航向阻尼 力矩主要由立尾产生，机身也有一定的作用。
r0时，前行翼的相对空速增大，阻力增大，
后退翼的相对空速减小，阻力减小，
产生的力矩与r的方向相反，故为阻尼力矩
交叉动导数
式中：
交叉动导数 无因次偏航角速度
三、绕oz轴的偏航力矩N
1.侧滑角引起的N — 航向静稳定力矩
0，立尾上有侧力N ，产生正偏航力矩
机身有不稳定偏航力矩； 箭形机翼产生正偏航力矩，起稳定作用； 超音速飞机头部有侧力，产生不稳定的偏航力矩；
侧滑角产生的偏航力矩N：
式中；
航向静稳定导数
方向舵正向偏转(方向舵后缘向左偏转)时，产生正的 侧力。由于方向舵在机身之上，此侧力对ox轴取矩得 正的滚转力矩。可写为
式中：
操纵交叉导数
4.滚转角速度p引起的L——滚转阻尼力矩
滚转阻尼力矩主要由机翼产生，平尾和立尾也有影响
当飞机左滚时p为负，左翼下行，右翼上行。下行翼迎
角增加故升力增加，上行翼迎角减小故升力减小，形 成正滚转力矩L（右滚），起到了阻止滚转的作用，称 为滚转阻尼力矩。 平尾及立尾的作用原理与机翼相同， 都是阻止滚转，只是作用小于机翼 滚转阻尼力矩可写为
铰链故障会直接造成飞行控制失控
第五节内容
侧滑产生侧力 侧向变量：状态量，操纵量 所有侧向变量都产生滚转和偏航力矩 描述公式，各气动导数定义
滚转静稳定性，滚转静稳定导数CL <0 航向静稳定性，航向静稳定导数Cn >0
飞行动力学PPT课件
当V=0，p=p0，—最大静压
p
1 2
V
2
p0
总压
V大，p小；V小，p大
第5页/共24页
四、马赫数M
• 马赫数定义为气流速度(v)和当地音速(a)之比:M V
音速：a 20 T
T:空气的绝对温度
a
a与温度有关，表示空气受压缩的程度，M与a都是几何位 置的函数
• 临界马赫数Mcr
远前方的迎面气流速度V与远前方空气的音速a之比 • 迎面气流的M数超过Mcr时，翼面上出现局部的超音速区，
式中：
q=1/2V2—动压，qs=牛顿（力）， S—机翼面积， S —第尾21页翼/共面24页积，
第一节 重点
空速，马赫数，动压； 坐标系：惯性坐标系、机体坐标系； 飞机运动参数：
三个姿态角；迎角与侧滑角； 操纵：三个舵面偏转角； 稳定性定义；
第22页/共24页
第一节 结束 谢谢！
第23页/共24页
• 钝头物体的激波是脱体波（正激波），产生大波阻 • 楔形物体的激波是倾斜的（附体波 ），波阻较小，用于
超音速飞机的机头
第8页/共24页
七 膨胀波
•
伯努利静态公式 p 1 V 2 C(常数) 不适用于高速流动情况 由于空气高速流动时2 密度不是常数
，
• 由推导伯努利方程动态过程，得出考虑到空气的可压缩
第13页/共24页
二、飞机的运动参数（续）
• 速度轴系与地面轴系的关系
1.航迹倾斜角 飞行速度V与地平面间的夹角 以飞机向上飞时的为正
2.航迹方位角
飞行速度V在地平面上的投影与ogxg间的夹角 速度在地面的投影在ogxg之右时为正
3.航迹滚转角
速度轴oza与包含速度轴oxa的铅垂面间的夹角， 第14页/共24页
飞机的横侧向运动原理
飞机的横侧向运动原理飞机的横侧向运动原理主要涉及到飞机的侧滚和定向稳定性。
在飞行中，飞机需要进行侧滚和偏航姿态的调整，以保持平稳的飞行状态。
下面将从以下几个方面来详细解释飞机的横侧向运动原理。
1. 侧滚的原理飞机的侧滚是指飞机围绕其纵轴进行的旋转运动。
侧滚的发生是由于飞机受到空气动力学力的作用，在一侧机翼产生的升力大于另一侧机翼时，飞机会发生侧滚。
产生侧滚的主要原因是飞机的侧向不平衡力矩，导致飞机向一侧倾斜。
飞机的侧向不平衡力矩主要来自于下列四个力矩的不平衡：(1) 侧向力矩：当飞机的重心不在对称线上时，产生了由于重力而引起的侧向力矩。
(2) 拖曳力矩：当飞机的发动机串扰产生的推力与空气动力阻力不平衡时，会产生拖曳力矩，引起飞机侧向不平衡。
(3) 抗扰力矩：飞机受到气流等外力的扰动时，会产生向往复位的抗扰力矩，也会引起侧向不平衡。
(4) 增升系统力矩：用于操纵飞机的增升系统的操作也会引起飞机侧向不平衡。
为了抵消这些侧向不平衡力矩，飞机上通常设置了侧滚控制系统，用于产生合适的侧滚力矩，以使飞机保持平稳。
常见的侧滚控制系统包括副翼和风切面设备。
2. 定向稳定性的原理飞机的定向稳定性是指飞机在飞行过程中保持方向稳定的能力。
当飞机发生侧风或横侧失速等情况时，定向稳定性的良好能够使飞机迅速恢复稳定飞行。
定向稳定性的产生主要涉及到飞机的竖尾和侧滑角。
竖尾是飞机上用于控制飞机方向的主要部件，它能够产生侧向力矩，使飞机保持方向的稳定性。
当飞机向一侧受到侧风的作用时，竖尾产生的侧向力矩会使飞机产生侧滑角，从而使飞机重新对齐飞行方向。
除了竖尾外，还有一些辅助设备用于提高飞机的定向稳定性。
比如风向标和侧滑提示器等，这些设备能够向飞行员提供当前飞机的侧滑程度，以便飞行员进行相应的调整来保持定向稳定性。
此外，飞机的横侧向运动还受到飞行员的操纵操作的影响。
飞行员可以通过操纵副翼、脚蹬和方向舵等控制飞机的侧滚和定向稳定性。
飞行员需要根据飞机的动力学特性以及飞行情况进行相应的调整，以保持飞机的平稳运动。
空气动力学基础与飞行原理：飞机横侧向操纵
主要内容
•一、飞机的侧向操纵 •二、飞机的方向操纵
一、飞机的侧向操纵
1 偏转副翼对飞机进行侧向操纵 2 偏转副翼引起的有害偏航 3 副翼操纵的失效和反逆问题 4 提高飞机侧向操纵效率的措施
1 偏转副翼对飞机进行侧向操纵
对飞机的侧向操纵是通过偏转副翼来完成的。副翼
是指安装在机翼后缘转轴上的小操纵面。副翼的偏
提高副翼反逆临界速度的措施
①提高机翼的抗扭刚度
机翼的扭转刚度越大，扭转角越小，副翼反逆 临界速度也就越高。要求副翼反逆临界速度大 于最大允许速度。
在飞机使用维修中，则应注意不能使机翼受到 损伤，以致降低机翼的扭转刚度。比如，机翼 蒙皮上的疲劳裂纹、蒙皮腐蚀损伤、碰撞造成 的外形凹 陷等，都应在维修中及时发现，并进 行排除和修理
差动副翼
为了克服有害偏航，可 釆用差动副翼。
差动副翼是指对于驾驶杆的 同一行程，副翼上偏角度大 于下偏角度的副翼，如图所 示。这种副翼是通过在副翼 上偏一侧机翼上产生较大的 废阻力，去平衡另一侧机翼 上的过大的诱导阻力，来消 除有害偏航。
弗来兹（Frise）副翼
将副翼的转轴由副翼的 前缘向后移，并安排在 副翼的下表面。
副翼上下偏转角度是相等的 副翼向下偏转时，即使达到最大偏转角，副翼的前缘也不 会露出机翼的上表面； 而当副翼向上偏转时，即使偏转 很小的角度，副翼的前缘也会露出机翼的下表面，产生较 大的废 阻力，去平衡副翼下偏一侧较大的诱导阻力，消 除副翼偏转产生的有害偏航
1.为克服有害偏航所采用的副翼是( )【多选】
目前一些大型民用运输机的布局
飞行时，地面扰流板锁定, 飞行扰流板辅助副翼完成对飞机侧向操纵； 着陆时，机轮一接触地，地面扰流板开锁，飞机两侧机翼上的所有扰流板全部打开， 减升增阻，缩短飞机着陆滑跑距离
第二章 3飞行动力学 飞机的横侧运动飞机方程案例
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? 当负滚转力矩小于正滚转力矩时，飞机更向右滚转.于是合力作用使飞机 更向右侧滑。
? 如此逐渐使?角正向增大，升力的垂直分量Lcos?则逐渐减小，轨迹向心 力Lsin?则逐渐增大，致使形成盘旋
半径愈来愈小，高度不断下降的螺旋 线飞行轨迹，故称为螺旋模态。 ? 螺旋模态的初期发散是很缓慢的， ? 设计时要与荷兰滚模态配合， 为尽量增大荷兰滚模态的阻尼比， 宁可让螺旋模态有稍微的不稳定
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由于
(1-62，1-72， 1-79，1-80)
重力 倾斜 产生 的侧 力
飞机横航向平衡和静稳定性和操操纵
翼身干扰
结论与分析
➢机身作用
C y 0, Cl 0, Cn 0 — 机身为航向静不稳部件 (正常重心情况)
➢机翼后掠作用
0:
C y 0 Cl 0, Cn 0 机翼后掠产生横向和航向静稳定作用。 但后掠角一般由升阻要求决定。
➢翼端的作用
机翼迎风一侧的直边缘变成了前缘， 另一侧变成了后缘。 迎风直边缘上部存在侧缘吸力， 升力增加。
侧滑
侧滑角：飞行速度矢量和纵
向对称面的夹角：β；
当Vy为正时，侧滑角为正。
即右侧滑为正。
V
s
in
V ＝
y
V
图:飞机着陆的侧滑飞行
• 绕OX轴的运动称为横向运动或滚转运动； • 绕Z轴的运动称为航向运动 • 凡出现侧滑、横向或航向运动这三者之一，或其组
合统称为横侧运动。 • 典型的横侧运动：
－定常直线侧滑飞行 －定常曲线飞行
本节内容
1、横侧向运动的定义 2、典型的横侧向运动时飞机上的横侧向气动力和
力矩（定常直线侧滑和定常盘旋） 3、横航向静稳定性及横航向静稳定导数 4、如何操纵飞机实现横侧力与力矩的平衡
飞机横侧运动的基本概念
非对称的飞行运动，称为横侧运动，或横航向运动。
• 横向运动（滚转运动）； • 航向运动； • 侧滑； • 三者之一或其组合统称为横侧运动。
• 定常侧滑直线飞行中，飞机上同时作用有侧力、滚转力矩 和偏航力矩。
• 偏航力矩和滚转力矩随β的变化规律，可以通过吹风实验 得出，或者采用工程估算求得。
1定常直线侧滑飞行，作用在飞机上的侧力、横侧力矩
定常侧滑直线飞行中，飞机上同时作用有侧 力、滚转力矩和偏航力矩，力和力矩系数与 β成线性关系。
无人机的侧向动力学微分方程
无人机的侧向动力学微分方程任何飞机的横向动力学都是根据物体的固定速度和对应的地球固定方向（参见图1）。
图1：侧向飞行动力学无人机的侧向动力学可以用下列微分方程表示：式中：速度是滚转率（p）和横摆角速度（R）。
其他所有身体固定动力学被认为是恒定的（如波速）或零。
这些速度的影响对惯性固定地固定轴通过飞机的方向代表。
这些是滚转角（f）和偏航角（y）。
此外，侧滑对飞机包括侧滑角（β）的形式。
在飞机的横向动力学相应的输入是副翼偏转（δa）和方向舵偏转（δr）。
副翼控制滚转运动和方向舵控制航向或航向。
这里的平移速度是以m／s，旋转速度在拉德/s和角的弧度。
常数值激增的速度为u0=30米/秒。
除了飞行动力学，这架飞机的代表性还包括副翼和方向舵作动器。
两个制动器的最大振幅偏转为40。
最大速率限制为10度/秒。
利用matlab的ode()函数求得其微分方程的数值解。
300.174530.698130029.9990.176920.69814 5.0237e-05 2.9427e-0729.9980.17930.698140.00010047 5.9253e-0729.9970.181690.698140.000150718.9479e-0729.9960.184070.698150.00020094 1.201e-0629.9920.1960.698170.00045208 2.7922e-0629.9870.207920.698180.00070318 4.4832e-0629.9820.219850.69820.00095424 6.2741e-0629.9780.231770.698220.00120538.1648e-0629.9550.291390.698310.0024598 1.9116e-0529.9320.3510.69840.0037134 3.2563e-0529.9090.410610.698490.004966 4.8505e-0529.8860.47020.698570.0062176 6.6943e-0529.7710.768060.698950.0124610.0001965529.657 1.06570.699260.0186810.0003884829.543 1.36320.699510.0248770.000642729.43 1.66050.699690.0310490.0009591628.869 3.14380.699640.0615570.003473728.32 4.62230.697990.0914830.0075383。
空气动力学基础与飞行原理：飞机横侧向动稳定性
飞机的横侧稳定性过弱而方向稳定性过强，易产生螺旋 不稳定。
飞机受扰左倾斜→左侧滑，若横侧稳定性弱→飞机改平坡 度慢；方向稳定性强→飞机左偏的速度快→ 快速左偏导致右翼 升力大→ 飞机难于改平左坡度。最终导致飞机进入缓慢的盘旋 下降过程，称螺旋不稳定。
螺旋不稳定的周期较大，对飞行安全不构成威胁，飞机设 计中允许出现轻度的螺旋不稳定。
A.滚转阻尼,荷兰滚,螺旋 B.荷兰滚,螺旋,滚转阻尼 C.螺旋,滚转阻尼,荷兰滚 D.荷兰滚,滚转阻尼,螺旋 答案：B
三、飞机的横侧向扰动运动及影响动稳定 性的因素
飞机受到外界扰动，产生的横侧向扰动运动是 以上三种典型模态的简单叠加而成。
在扰动运动初期，以滚转运动模态为主
扰动运动后期，以螺旋运动模态为主
一般飞机都能满足此模态的稳定性要求。
2 螺旋模态
螺旋模态是一种非周期性的、运 动参数变化比较缓慢的运动模态。 在螺旋模态运动中，侧滑角近似 为零，偏航角大于滚转角，所以 螺旋模态运动主要是略带滚转、 侧滑角近似为零的偏航运动
飞机的方向静稳定性远大于侧向静稳定性时， 会出现这种不稳定模态。
当方向静稳定性过大时，一旦飞机受到扰动发生滚和 侧滑，过大的方向静稳定性会使侧滑角很快得到修正， 机头很快对准气流，并且在对准气流的偏航运动中产 生较大的交叉滚转力矩，这一力矩和侧滑角引起的侧 向静稳定力矩方向相反。当交叉滚转力矩大于侧向稳 定力矩时，滚转不但得不到纠正，还会继续加大。滚 转得不到纠正会使飞机机头继续对准来流，向倾斜的 一侧偏转。结果，便产生了机身向一侧倾斜, 机头下 沉并不断对准来流的沿螺旋线航迹盘旋下降的螺旋发 散运动。
1 滚转收敛模 态 2 螺旋模态 3 荷兰滚模态
1 滚转收敛模态
滚转收敛模态是一种非周期性的、衰减很快的运动模 态在。滚转模态运动中，飞机的滚转角和滚转速度迅速变化， 而侧滑角和偏航角的变化很小，可以忽略不计。
飞行器运动方程
展开后得: H i(qHz rH y ) j(rHx pHz ) k( pHy qHx )
2.1.1动力学方程
外力矩L的分量形式为: M iL jM kN 利用前面的一系列式子可得角运动方程:
L pI x rI xy qr(I z I y ) pqIxz
M qI y pr(Ix I z ) ( p2 r 2 )I xz N rI z pI xy pq(I y I x ) qrI xz
2.1.2 运动学方程
❖ 速度坐标轴系与机体坐标轴系之间的关系: 根据速度坐标轴系OXaYaZa和机体坐标轴系OXYZ之间的几何
关系,可得方向余弦表(3)
速度坐标 机体坐标
OX
OY
OZ
OXa
coscos sin
sincos
OYa
-cossin cos
-sinsin
OZa
-sin 0
cos
2.1.2 运动学方程
❖ 机体坐标轴系与地面坐标轴系之间的关系: 根据机体坐标轴系OXYZ和地面坐标轴系OXgYgZg之间的几何关系,可得方
向余弦表(1)
机体坐标
OX
OY
OZ
地面坐标
OXg
coscos cossinsin-sincos sinsin+cossincos
OYg
sincos cossin+sinsinsin sinsincos-cossin
何外形对称，而且内部质量分布也对称，即惯性积IXY=IZY=0。
❖ 飞机运动的自由度：对于飞机，若将其视为刚体，其在空 间的运动需要六个自由度来描述。
质心的位移（线运动）：飞行速度的增减、升降和侧移运动； 绕质心的转动（角运动）：俯仰角运动、偏航角运动以及滚转角运
飞机横侧向运动
⎧m∆v + mV0 ∆r = ∆Y a + Gφ ⎪ I x ∆p − I xz ∆r = ∆La ⎨ ⎪ I ∆r − I ∆ p = ∆ N a xz ⎩ z
φ
L
L cosφ L sinφ
o
p
y0
y
z
z0
飞机横侧运动的稳定性
飞机横侧运动的三种典型模态Fra bibliotek 滚转阻尼模态
荷兰滚Dutch Roll模态（振荡模态）
螺旋模态
飞机横侧运动模态的简化
滚转阻尼模态的简化
荷兰滚模态的简化
螺旋模态的简化
飞机横侧向运动的传递函数
飞机的横侧向运动
1. 飞机横侧向运动的线性化方程； 2.飞机横侧向运动的模态及其物理成因； 3.横侧向典型运动模态的简化
飞机横侧向运动的线性化方程
飞机的横侧运动包括飞机的滚动、偏航和侧向移动三个自由 度的运动。飞机横侧运动的主要操纵面是副翼和方向舵，是 横侧动力学环节的操纵输入。仍然考虑基准运动为等速水平 飞行情况。考虑在飞机的偏航运动中，为保持飞机的基准运 动水平飞行，当机体转动 φ 角度，必须满足升力在垂直方向 的分量=飞机重力，从而在水平方向出现分力成为侧力的一 部分，水平侧力为 G sin φ ，线性化增量形式为 G∆φ，该力不 能忽略，这样方程可以表示为
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由于
(1-62，1-72， 1-79，1-80)
重力 倾斜 产生 的侧 力
横侧向方程
偏航角不产生力或力矩，仅为几何关系
写成p算子形式 式中各大导数：
二、横侧向扰动运动与三种模态
纵向运动时的同一飞机，以M=0.9.高度h=11000m作定常平飞， 各参数及气动导数如下(对稳定轴系》:
代入方程
2.荷兰滚模态(振荡摸态)
三种模态中，振荡模态的系数最大，说明这一模态在横侧运 动各参数中均有明显的表现。
与纵向短周期相同，航向静稳定性导数Cn起恢复作用，消除 侧滑角；侧力导数CY和航向阻尼力矩导数Cnr起阻尼作用；
CY和Cnr在数值上很小，因此横侧向振荡模态的衰减很慢。
与纵向短周期模态不同的是:由于横滚静稳定性导数的存在， 伴随着侧滑角的正负振荡，飞机还产生了左右滚转的运动。 航向和滚转运动的耦合。
兰滚模态不稳定。
3.螺旋模态
当Cl较小而Cn较大时，易形成不稳定的螺旋模态。 若t=0有正的滚转角（>0），则升力L右倾斜与重力合力使飞机向右侧滑，
由于Cl小，则使角减小的负滚转力矩小，而Cn较大，使得偏航角速率r 正值大。交叉动导数Clr为正，产生较大的正滚转力矩。
当负滚转力矩小于正滚转力矩时，飞机更向右滚转.于是合力作用使飞机 更向右侧滑。
0
Y
0
0
ir Na La
p
1 ipir
r
0
i
p
La
Na
1 ipir
0
0
Yr
ir Nr Lr
1 ipir ip Lr Nr
a
r
1 ipir
0
式中：
ir
I xz Ix
,
ip
I xz Iz
课后习题：
飞机侧向动力学的重点： 横侧向状态变量和控制输入分别是什么？ 横测量运动的三个模态及其特性？
1.荷兰滚模态
荷兰滚模态的简化特征方程
由于
，荷兰滚模态的固有频率为：
阻尼比：
与空速成正比
都正比于
2.滚转阻尼模态 滚转阻尼模态传递函数的时间常数为：
TL与V0成反比。
3.螺旋模态
螺旋模态小实根的近似表示式
由于
远远大于其他项，所以
螺旋模态时间常数与飞行速度成正比
四、气动导数变化对横侧动力学特性的影响
第二章 飞行器运动方程
第三节 飞机的横侧向运动
南京航空航天大学金城学院 赵宾 2010，10
一、横侧向运动的线性化方程
飞机横侧运动包括滚转、偏航和侧移三个自由度的运动。
操纵面是副翼a和方向舵r—侧向状态方程的输入量
基准运动—等速直线平飞状态的横侧小扰动线化方程：
令=v/V0，同时：侧向速度v0=0，V=V，
e
M &Z e
)
0
XT
0 e
MT
T
0
0 X V
1 (M q M&)
0 0
q
1
0
Y
&
ir
N
L
p&
r&
&ir N ipir
0
0
1
ir N p Lp 1 ipir ipLp N p 1 ipir 1
ir Nr Lr 1 ipir ip Lr Nr 1 ipir
拉氏变换后得代数方程:
扰动运动 控制输入为0：a=r=0
特征多项式：
特征根：
扰动运动的解
一对共挽复根代表振荡运动模态 大负根代表滚转快速阻尼模态 小根(可正可负)代表缓慢螺旋运动的模态 飞机横侧扰动运动由此三种典型模态线性叠加而成
经拉氏反变换，（设0=1）得
都受振荡模 态影响
1.滚转阻尼模态
飞机受扰后的滚转运动，受到机翼产生的较大阻尼力矩的阻 止而很快结束。这是由于大展弦比机翼的滚转阻尼导数Clp大， 而转动惯量Ix较小所致。对应一个大的负实根。
如此逐渐使角正向增大，升力的垂直分量Lcos则逐渐减小，轨迹向心 力Lsin则逐渐增大，致使形成盘旋
半径愈来愈小，高度不断下降的螺旋 线飞行轨迹，故称为螺旋模态。 螺旋模态的初期发散是很缓慢的， 设计时要与荷兰滚模态配合， 为尽量增大荷兰滚模态的阻尼比， 宁可让螺旋模态有稍微的不稳定
三、空速、高度变化对横侧动力学的影响
可以通过改动飞机几何参数（如上反角）， 调整Cl的值，
使得螺旋模态稳定，或虽不稳定，但发散不致过快。
飞机方程
飞机是多输入多输出系统，可用状态方程描述，去掉
纵向状态方程 横侧向状态方程
V& & q&
XV
ZV
(
M
V
M&ZV
)
&
0
X Z (M M&Z ) 0
0
Ze
(
M
加剧向左侧滑的作用，这就抵消了一部分偏航运动的阻尼效果。 出现左侧滑角时，又会重复上述过程，
但方向相反。 这种飘摆运动的飞行轨迹呈s形，同时又
左右偏航、左右滚转，很像荷兰人滑冰 的动作，故称荷兰滚模态。 滚转运动加入到振荡运动中使本来就较小 的阻尼比进一步减小，所以必须选择适当
的横滚静稳定性。若横滚静稳定性设计得太大(Cl的负值太大)，会使荷
1.滚转阻尼模态
时间常数与飞机横滚阻尼气动导数Clp成反比 Clp大，滚转阻尼特性好；过大，副翼操纵滚转困难，飞机进
入盘旋太慢，影响盘旋机动性能；
超音速飞机一般都是小展弦比机翼，Clp小，滚转阻尼特性不
好，因此有必要加人工阻尼。 2.荷兰滚模态 航向静稳定性越大，荷兰滚模态固有频率越高； Cl太大，会降低荷兰滚阻尼。 3.螺旋模态
2.荷兰滚模态
设某时刻有正侧滑>0，航向静稳定性Cn产生正的偏航力矩以消除正侧滑， 飞机产生正偏航角速率r>0。同时横滚静稳定性Cl产生负的滚转力矩，使 飞机向左滚转（<0）。
由于转动的惯性作用，在消除正侧滑角之后会出现负侧滑角<0。但此时 飞机已产生了负滚转角（<0），使升力L向左倾斜，与重力的合力起到