对数坐标图 公式

Dec Dec Dec Dec
− ∞...
0
−2 0.01
−1 0.1
0 1
1 10
2 100
log ω
ω
由于ω 以对数分度，所以零频率点在－∞处。
更详细的刻度如下图所示
ω
lg ω
ω lgω
１ 0.00 0
2 0.30 1
3 0.47 7
4 0.60 2
5 0.69 9
6 0.77 8
7 0.84 5
n2
− ∑ tg −1
l =1
n2
2ζ lTlω + ∠e − jTd ω 1 − ω 2Tl 2
• 所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近似 表示。 • 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似 的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
5.2.2 典型环节的对数坐标图
Tω = 1 ωo = ，
1 ，称为转折频率或交换频率。 T
− 20dB/ Dec
1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）： 当ω ≤ ω o 时，误差为： 1 = −20 log 1 + T 2ω 2 ∆ 当ω > ω o 时，误差为： 2 = −20 log 1 + T 2ω 2 + 20 log Tω ∆
来计算只能求出±90°之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是
1 , ∞) 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。 T 1 即当 ω ∈ ( , ∞) 时，用计算器计算的结果要减180°才能得到 。 T
说当 ω ∈ (
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) = s
幅值A(ω ) 1.00 对数幅值 20lgA(ω ) 0
2．使用对数坐标图的优点 • 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 • 可以将乘法运算转化为加法运算。
K ∏ (1 + τ i s )∏ (1 + 2ζ k τ k s + τ k2 s 2 )e −Td s
ϕ (ω ) = −tg −1
2ζωT 1 − T 2ω 2
L 对数幅频特性为： (ω ) = 20 log A(ω ) = −20 log (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζωT ) 2
低频段渐近线： Tω << 1时，L(ω ) ≈ 0 高频段渐近线： Tω >> 1时，L(ω ) ≈ −20 log (T 2ω 2 ) 2 = −40 log Tω 1 两渐近线的交点 ω o = 称为转折频率。ω>ω0后斜率为-40dB/Dec。 T
k =1 j =1 m2
m1
i =1
n1
− ∑ 20 lg (1 − ω 2Tl 2 ) + j 2ζ l Tl ω
l =1
n1 2ζ k Tk ω − v × 90° − ∑ tg −1Tk ω ϕ (ω ) = ∠K + ∑ tg −1τ iω + ∑ tg −1 1 − ω 2Tk2 i =1 k =1 k =1 m1 m2
对数幅频特性：
K >1 K =1 K <1
相频特性：
0° ϕ (ω ) = ∠K = − 180° K ≥0 K <0
ϕ (ω )
180°
K ≥0 K <0
log ω
− 180°
2．积分环节的频率特性：
1 G ( s) = s 1 A(ω) =
来自百度文库
ω
1 1 1 −2 j G ( jω ) = =−j = e ω ω jω π 1 −1 ϕ(ω) = tg (− 0) = − ω 2
π π 1 1 当ω = 0时，ϕ (0) = 0;当ω = 时，ϕ ( ) = − ;当ω = ∞时，ϕ (∞) = − 。 4 2 T T 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(ω0, －45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不 变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即 可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
−1 ϕ 相频特性： (ω ) = −tg
2ζωT 1 − T 2ω 2
1 π , ϕ (ω ) = − ; ω = ∞, ϕ (ω ) = −π。 T 2
几个特征点：ω = 0, ϕ (ω ) = 0; ω =
相频特性曲线在半对数坐标中关于( ω0, －90°)点是斜对称的。
1 1 这里要说明的是当 ω ∈ (0, ) 时， (ω ) ∈ (0,−90°) ,当 ω ∈ ( , ∞) ， , ϕ T T 时， (ω ) ∈ (−90°,−180°) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器 ϕ
= 0 .1 = 0 .2 = 0 .3 = 0 .5 = 0 .7 = 1.0
0
ς ς ς ς ς ς
= 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.4 = 0.5 = 0.6
ϕ (ω )
-10
渐近线
− 40dB/ Dec
0°
ς = 0.7 ς = 0.8 ς = 1.0
(deg) ° -30
-60°
i =1 k =1 m1 m2
G ( s) =
s
υ
∏ (1 + T s)∏ (1 + 2ζ T s + T
j =1 j l =1 l l
m2 k =1
n1
n2
2
l
s2 )
G ( jω ) =
K ∏ (1 + jτ iω )∏ [(1 − ω 2Tk2 ) + j 2ζ k Tk ω ]e − jTd ω
L(ω) = 20log A(ω) = 20log = −20log ω,
π
L(ω ) / dB 40 20
1
ω
ω
1 10 100
− 20 − 40
ω =1, L(ω) = 0; ω =10, L(ω) = −20
可见斜率为－20/dec
ϕ (ω )
− 90°
1 10 100
ω
⒊ 惯性环节的频率特性： 1 1 G(s) = G ( jω ) = Ts + 1 Tjω + 1 1 A(ω ) = , ϕ (ω ) = −tg −1Tω 1 + T 2ω 2 ①对数幅频特性： L(ω ) = 20 log A(ω ) = −20 log 1 + T 2ω 2 了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
8 0.90 3
9 0.95 4
10 1.000
⑵ 纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L(ω)=20logA(ω) 表示。其单位为分贝(dB)。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标 （频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益 的关系为：增益=20log (幅值)
i =1
m1
( jω )
υ
∏ (1 + jT ω )∏ [(1 − ω
j j =1 l =1
n1
n2
2
Tl 2 ) + j 2ζ l Tl ω ]
L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg K + ∑ 20 lg 1 + jτ iω
+ ∑ 20 lg (1 − ω 2Tk2 ) + j 2ζ k Tk ω − 20 × v lg jω − ∑ 20 lg 1 + jT j ω
L 低频段：当 Tω << 1时，(ω ) ≈ 20 log1 = 0 ，称为低频渐近线。
，为
L(ω ) ≈ −20 log Tω 高频段：当 Tω >> 1时， ，称为高频渐近 线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示ω 每增加10倍频 程下降20分贝）。 当ω → 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当ω → ∞ 时，趋近于高频渐近线。 低频高频渐近线的交点为： ，得： 0 = −20 log Tω
5.2 对数坐标图
5.2.1 对数坐标图及其特点 5.2.2 典型环节的对数坐标图 5.2.3 系统对数频率特性的绘制 5.2.4 最小相位系统及非最小相位系统的对数坐标 图
5.2.1 对数坐标图及其特点
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 1．波德图的坐标轴 ⑴ 横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率ω 的对数值 logω 进 行线性分度的。但为了便于观察仍标以ω 的值，因此对ω 而言是 非线性刻度。ω 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十 倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率ω 的数值变化一 倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。 如下图所示：
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
-90° -120° -150° -180°
1 10T
ς ς ς ς ς ς
= 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。 当0.3<ζ<0.8，误差约为±4.5dB
⒋ 振荡环节的频率特性：
ωn 1 G( s) = 2 2 = 2 T s + 2ζTs + 1 s + 2ζω n s + ωn 2
2
讨论 0 < ζ < 1时的情况.频率特性为：
1 G ( jω ) = (1 − T 2ω 2 ) + j 2ζωT
A(ω ) = 1 (1 − T 2ω 2 ) 2 + ( 2ζωT ) 2
-3 -1
≈ −3(dB)
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
②相频特性：
ϕ (ω ) = −tg −1Tω
作图时先用计算器计算几个特殊点：
ωT ϕ(ω ) ωT
ϕ(ω ) 0.01 -0.6 2.0 -63.4 0.02 -1.1 3.0 -71.5 0.05 -2.9 4.0 -76 0.1 -5.7 5.0 -78.7 0.2 -11.3 7.0 -81.9 0.3 -16.7 10 -84.3 0.5 -26.6 20 -87.1 0.7 -35 50 -88.9 1.0 -45 100 -89.4
G ( s ) = 1 + Ts G ( s ) = T 2 s 2 + 2ζTs + 1
频率特性分别为：
G ( jω ) = jω G ( jω ) = 1 + jTω G ( jω ) = 1 − T 2ω 2 + j 2ζωT
由幅频特性 当ω
A(ω ) =
(1 − T 2ω 2 ) 2 + ( 2ζωT ) 2
1 L = ω0 ，A(ω0 ) = 2ζ ， (ω0 ) = −20 lg 2ζ 。
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 有很大的误差。
L(ω ) 20 ( dB )
10
ς ς ς ς ς ς
ωT
L(ω ),dB 渐近线,dB 误差,dB 0.1 0.2 0.5 -1 0 -1 1 2 5 10
最大误差发生在
ω = ωo =
1 处，为 T
-0.2 0.04 0 0 -0.2 0.04
-3 -7 -14.2 -20.04 0 -6 -14 -0.2 -20 -0.04
2 ∆max = −20log 1+ T 2ω0
1．比例环节：
G( s) = K
G ( jω ) = K
ϕ( A 幅频特性： (ω ) = K ；相频特性： ω ) = ∠K
L(ω ) / dB
20 log K
20 log K 20 log K K >1
K = 1 log ω K <1
> 0 L(ω ) = 20 lg K = 常数 = = 0 < 0
对 A(ω ) 求导并令等于零，可解得 A(ω ) 的极值对应的频率 ω p。
1 − 2ζ 2 ωp = T
该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数ζ 有关，当ζ = 1 = 0.707 时， p = 0 ；当 ζ ω 当ζ
< 1 2
2
>
1 时，无谐振峰值； 2
时，有谐振峰值。
M p = A(ω p ) = 1 2ζ 1 − ζ 2 1
幅值A(ω ) 1.00 对数幅值 20lgA(ω ) 0 1.26 2 0.79 -2 1.5 6 4 0.6 3 -4 2.0 0 6 0.5 0 -6 2.5 1 8 0.3 9 -8 3.1 6 10 0.3 2 -10 5.62 15 0.18 -15 10. 0 20 0.1 0 -20 100 40 0.0 1 -40 1000 60 0.001 -60 10000 80 0.0001 -80