【新版】1.1 北师大版等腰三角形优质课件【完整高效】

课内练习
1.如图:已知在△ABC和△DEF 中 AC=DF,AB=DE,∠C=∠F=100°,则△ABC 和△DEF会全等吗?若能请证明;若不能请 说明理由.
其它条件不变若∠B=∠E=70°呢？
C F
B
E
A
D
议一议P2
你还记得我们探索过的等腰三角形 的性质吗?
A
2 定理: B1 C 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 推论: 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 A 底边上的高互相重合(三线合一).
你能利用已有的公理和定理证明这 些结论吗?
B
D
C
议一议P3
A
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 已知:如图,在△ABC中, AB=AC. 求证: ∠B=∠C. B
证明: 过点A作AD⊥BC,交BC于点D. 在Rt△ABD与Rt△ACD中 ∵ AB=AC （已知）, AD=AD（公共边）, ∴ △ABD≌△ACD（HL）.
与同伴交流你在探索思 路的过程中的具体做法.
判断公理: 三边对应相等的两个三 角形全等（SSS）.
A
B
在△ABC与△A′B′C′中 ∵ AB=A′B′ BC=B′C′ A′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
B′
C
C′
判断公理: 两边及其夹角对应相等的 两个三角形全等（SAS）.
做一做P3
3
∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可 得三线合一的三种不同形式的运用.
课内练习
1.证明:等边三角形的三个角都相等,并 且每个角都等于60°.
2.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点, 且AC垂直BD,AC=BC=CD. (1) 求证:△ABD是等腰三角形
例题解析 例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平 分线.求证:BD=CE. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). A 1 1 又∵∠1= ∠ABC,∠2= ∠ ACB ( 已知 ), 2 2 ∴∠1=∠2(等式性质). E D 在△BDC与△CEB中 B 1 2 C ∵∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）, ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
B
A
●
B′
C
在△ABC与△A′B′C′中 ∵ AB=A′B′ A′ ∠A=∠A′ BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
●
C′
判断公理: 两角及其夹边对应相等的 两个三角形全等（ASA）. 在△ABC与△A′B′C′中 A′ ∵ ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′. 求证:△ABC≌△A′B′C′.
A 证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知） ∴∠B=∠B′（三角形内角和定理） 在△ABC与△A′B′C′中 A′ ∵ ∠A=∠A′ （已知）, AB=A′B′（已知）, ∠B=∠B′ （已证）, ∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
D
C
此时AD还是 什么线?
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
做一做P3
3 A
推论: 等腰三角形顶角的平分 线、底边上的中线、底边上的 高线互相重合(三线合一).
1 2
B
D
C
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
B
●●
A
●
B′
●●
C
●
C′
性质公理: 全等三角形的对应边、对 应角相等. ∵ △ABC≌△A′B′C′ ∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′ （全等三角形的对应边相等）;
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
B
●●
A
●
●● ●
B′
●●
C
A′
●
●● ●
C′
（全等三角形的对应角相等）.
●
命题的证明
B
●●
B′
C
●
●●
C′
回顾与思考
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何的三种语言
B
推论: 两角及其一角的对边对应相 等的两个三角形全等（AAS）. 在△ABC与△A′B′C′中 ∵∠A=∠A′ ∠C=∠C′ A′ AB=A′B′ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
A
●
●●
B′
C
●
●●
C′
证明后的结论,以后可以直接运用.
● ●
命题证明 例2 求证:等腰三角形两腰上的中线相等. A 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线.求证:BM=CN. M N 证明:∵AB=AC(已知), B C ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 又∵CM= AC,BN2 = AB(已知), 2 ∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已证）, CM=BN（已证）, ∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)
A
(2)求∠ABD的度数
B
D C
1.1等腰三角形 （二）
复习引入 在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中 线、高等）.
你能发现其中的一些相等的线段吗?
你能发现其中的一些相等的角吗? 你能证明发现的结论吗?
A A A M Q C B
E
B
● ●
D
●● ●●
N C B
P
C
与同伴交流你在探索思路的过程中的 具体做法.
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索 “因” .); (5)依据思路 ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证 明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等.
你能用上面的公理证明下面的推论吗？ 推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角 形全等(AAS)