材料力学 第2章应力集中 剪切与挤压

m
h
2
h
L b
1 键的受力分析
P = 2m = 2 × 2 = 57kN d 0.07
（b×h×L=20 ×12 ×100） d=70mm， m=2KNm [τ]= 60M Pa ，
[σbs]= 100M Pa
m P
2 剪切面与挤压面的判定
A = bl
Abs
=
h 2
l
d
h
L
AQ
b
切应力和挤压应力的强度校核 Fs = Fbs = P
τ = Fs = P = 57 ×103 = 28.6MPa ≤ [τ ]
A bL 20×100
（b×h×L=20 ×12 ×100） d=70mm， m=2KNm [τ]= 60M Pa ，
[σbs]= 100M Pa
σbs
=
Fbs Abs
=
P Lh
2
=
57×103 100× 6
= 95.3MPa ≤ ⎡⎣σbs ⎤⎦
如何在一块较大的玻璃上切下一小块规则形状？ 用金刚石划痕， 再轻敲；
注意：
（1） 角越尖、孔越小，尺寸变化越急剧，应力集中程度越严重； （2）在构件上开孔、开槽时 采用圆形、椭圆或带圆角的，
避免或禁开方形及带尖角的孔槽; 在截面改变处采用圆弧过渡，且尽量增大圆弧倒角半径。
（3）可以利用应力集中达到构件较易断裂的目的。
理论应力集中系数
K = σ max σm
σ max ：局部最大应力；
σ m :削弱处的平均应力。
1、构件的形状尺寸对应力集中的影响： 尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小， 应力集中的程度越严重。
2、构件材料对应力集中的影响：
（1）静载荷作用下：
塑性材料所制成的构件 对应力集中的敏感程度较小；
σs
σs
带有圆孔的平板
为了确定在尺寸突变处的应力分布规律， 采用有限元计算了带有圆孔的平板的应力。
应力集中:
在圆孔附近的局部区域内，应力的数值剧 烈增加，
而在离开这一区域稍远的地方，应力迅速降低而趋于均匀。
这种因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增 大的现象，称为应力集中。
应力的分布规律：
P
P
P σmax
F 挤压面
挤压面：
两个构件之间相互接触的局部接触面，用 Abs 表示挤压面面积; 挤压面与外载荷垂直；
若接触面为平面，挤压面的面积取接触面的面积；
若接触面为圆柱侧面（铆钉、螺栓）， 挤压面的面积取圆柱侧面在直径平面上的投影。
F F
t
d
Abs = dt
在工程中采用实用计算
假设： 挤压应力在挤压面上均匀分布; 挤压面上产生何种应力？
§2-11 温度应力和装配应力
一 、温度应力 1、热胀冷缩：温度的变化会引起物体的膨胀或收缩；
对于静定结构，温度的均匀变化会在杆件内引起应力吗？ 构件可以自由变形，变形不会受到任何限制， 温度均匀变化时，构件内不会产生应力；
对于超静定结构：温度的均匀变化会在杆件内引起应力吗？ 温度均匀变化时构件的变形受到限制，在构件内会产生应力。
EA
Δl BC
=
RC
⋅
l 2
EA
3、协调关系
Δl = Δl AB − ΔlBC = δ
A BP RA C
P
4、求解得到：
RA
=
P 2
+
EAδ
l
RC
RC
=
P 2
−
EAδ
l
（3） 讨论 P ⋅ l
① δ ≥ 2 时，
EA
RA=P、RC=0；
②
P⋅ l
δ< 2
EA
时，
RA
=
P 2
+
EAδ
l
、
RC
=
P − EAδ
采用三关系法。
例题：1、2、3杆的设计长度均为L，但由于加工误 差，使得2杆比1、3杆短了Δ；杆间的距离相等均 为a，各杆的抗拉压刚度相同均为EA，横梁自重不 计，求安装后各杆内的受力。
12
3
A
B
1、静力学关系 取安装后的状态进行分析
N1
N2
源自文库
N3
12
3
A
B
2、物理关系
N2 − N1 − N3 = 0
（合力） F
剪力--FS： 剪切面上的内力。
n
n 名义切应力--τ：
F
（合力）
τ = FS
A
剪切面
FS
n
n
F
剪切强度条件：
τ = Fs ≤ [τ ]
A
可解决三类问题： 1、强度校核； 2、选择截面尺寸;
许用切应力
在假定的前提下进行 实物或模型实验，确 定许用应力。
3、确定许可载荷；
例1 图示冲床的最大冲压力为400KN，冲头的直径 d=34mm，试求此冲床所能冲剪钢板的最大厚度 t。
σs
F
F
F
塑性材料、静荷作用下 可不考虑应力集中的影响。
内部组织均匀的脆性材料制成的构件
σ max
必须要考虑应力集中的影响。
当σ max 达到 σ b 时，该处首先产生破坏。
陶瓷、玻璃等内部组织均匀的脆性 材料尽量避免尺寸突变。
F 内部组织不均匀的脆性材料制成的构件 灰铸铁构件
内部的不均匀和缺陷往往是应力集中的主要因素， 而零件外形改变所引起的应力集中可能成为次要因素，
2、温度应力或热应力 由于温度变化而在构件内产生的应力。
3 、线胀系数 α
温度每变化1℃，单位长度上杆件的变形量；
如果杆长 l
温度变化 ΔT
杆件由于温度变化引起的变形量为：
ΔlT = αlΔT
4 、有温度变化时杆件的总变形
有温度变化时，杆件的总变形 Δl 由两部分所组成：
即由温度变化所引起的 ΔlT + 内力引起的 ΔlN
πd
冲头 t
冲模 F
剪切面
挤压概念及其实用计算
螺栓与钢板相互接触的侧 F
F
面上，发生的彼此间的局部承
压现象，称为挤压 (bearing).
F
F
挤压变形
螺栓与钢板在接触处相互压紧，在螺栓或螺 栓孔处因相互压紧而产生塑性变形;
挤压力：局部接触面上的总压力（外力）;
或者挤压面上传递的力。
F
挤压面：
两个构件之间相互接触的局部接触面; 剪切面
键的右侧的下半部分受到轴给键的作用力，合力大小F‘；
(3)、剪切面： 两组力的作用线交错的面；
A = bl
(4)、挤压面： 相互压紧的局部接触面；
Abs
=
hl 2
(5) 挤压应力
σ bs
=
F Abs
例 齿轮与轴由平键（b×h×L=20 ×12 ×100）连接，它传递的
扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为[τ]= 60M Pa ，许用挤压应力为[σbs]= 100M Pa，试校核键的强度。
Δl = ±ΔlT ± ΔlN ΔlT 前的正负号是根据 温度变化而定的；
若温度升高取正号; 温度降低取负号；
ΔlN 前的正负号是根据 轴力而定的;
受拉取正号； 受压取负号。
5 、温度应力的解法： 三关系法
温度应力属于静定问题还是超静定问题？ 超静定问题
例1 等截面杆AB的二端固定，线胀系数α＝
12×10－6，温度升高 ΔT = 60 度时，
2)[σ ]c
3、 挤压力 F是外力，不是内力。
4、当连接件与被连接件的材料不同时，应对许用挤压应力 较小者进行挤压强度校核。
分析轮、轴、平键结构中键的剪切面与挤压面
(1)、 取轴和键为研究对象进行受力分析 F
M −F d =0
M
2
(2)、单独取键为研究对象受力分析
键的左侧上半部分受到轮给键的约束反力的作用，合力大小F；
N2 − N1 − N3 = 0
N1a − N3a = 0
Δ − N2l = N1l EA EA
Δl1
=
N1l EA
Δl2
=
N2l EA
N1
=
N3
=
EAΔ 3l
N2 = 2N1
例2：杆的设计长度为L，安装后离地距离为δ；已 知： E、A、力P作用在长度的中点处，绘杆件的轴力 图。
A
B P
C
讨论
（1）若AB段伸长
P⋅ l
Δl AB =
2 ≤δ
EA
此时下端未接触, RC=0
RA=P
A
BP C
（2）若
P⋅ l
Δl AB =
2 ≥δ
EA
下端将阻止杆件的伸长，在C端受到阻力作用。
在C端受到阻力后 系统为1次超静定结构
求解方法： 三关系法
1、静力学关系 RA + RC − P = 0
2、物理关系
Δl AB
=
RA
⋅
l 2
A
B
由于在安装阶段，迫使杆件产生变形，
必定会在杆内 产生应力; 装配应力：
12
3
静不定结构中， 由于杆件的尺寸不准确， A
B
强行装配在一起，在未受载荷之前，杆内已产生应力。
即由于强行装配在一起而引起的应力。 装配应力的特点：
装配应力在系统受力前已经存在，且普遍存在。
装配应力的研究方法： 静不定结构中存在
求杆内的应力。
A
B
(1)静力学关系： RA
A
B
RB
RA − RB = 0
(2) 物理关系：
ΔlN
=
RAl EA
温度变化引起变形 Δl T = αlΔT
(3) 协调关系
Δl = 0
ΔlT − ΔlN = 0
(4) 补充方程： αlΔT − RAl EA = 0
(5) 求解得到： RA = EAαΔT
N1a − N3a = 0
Δl1
=
N 1l EA
Δl2
=
N2l EA
Δ与原长相比为无穷小；
Δl3
=
N3l EA
且由静力学关系得知 Δl1 = Δl3
3、协调关系 作协调图，确定各变形量之间的关系； 协调关系 Δ -⊿L2= ⊿L1
4、补充方程
Δ -⊿L2= ⊿L1 5、联立求解
Δ − N2l = N1l EA EA
被冲剪钢板的剪切极限 应力为 τu = 300×103 KN / m2
钢板
F
冲头 t
冲模
F 分析钢板的受力
剪切面 是钢板内被 冲头冲出的 钢板
圆柱体的侧面：
A = πdt
冲孔所需要的条件：
F A
≥
τu
A≤ F
τu
=
400 ×103 300 ×106
= 1.33 ×10−3 m2
t
t ≤ 1.33 × 10 −3 = 0.1245 m = 12 .45 mm
二、装配应力
构件制成后会有尺寸误差，
对于静定结构， 1比2杆短了δ，
1
2
安装横梁后，1、2杆内会产生应力吗？ A
B
安装后横梁AB发生倾斜，但在1、2杆内不会产生应力。
对于超静定结构，2杆比1、3杆短了δ，
安装横梁后，1、2、3杆内会产生应力吗？ 1 2
3
此时应拉伸2杆， 压缩1、3杆；
才可把横梁AB安装上。
杆件受到: 两个大小相等， 方向相反、 作用线垂直于杆的轴线, 并且相互平行,
且相距很近的平行力系的作用。
F F
变形特点：
F
剪切面 F 构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。
剪切面： 发生错动的面；
F
与外力的作用线平行 n
n
单剪： 有一个剪切面的；
F
双剪： 有二个剪切面的；
U形连接件中螺栓的受力与变形
F
d B A t1 t t1
F
分析B处螺栓的剪切面
F/2 F/2
F
三、剪切变形的内力
FS=F
剪力 与剪切面平行的内力
四、剪切变形的实用计算
（1）实际： 从有限元计算结果看剪切面上应 力的分布情况十分复杂，工程中 采用近似计算。
（2）假设：
切应力在剪切面上均匀分布；
（3）名义切应力
剪切面--A： 错动面。
2l
AB段受拉，BC段受压。
A
BP C
RA
=
P 2
+
EAδ
l
RC
=
P 2
−
EAδ
l
§2-12 应力集中的概念
一 、应力集中
1、等截面直杆受轴向拉压时，横截面上应力 均匀分布 ；
σ = FN
A 2、由于工程需要,有些构件必须有切口、切槽、 油孔、螺纹、轴肩等，
P
P
P
P
使得这些部位的截面尺寸突变。 那么在尺寸突变处应力如何分布呢？
(6)杆内应力为：
A
B
σ
=
RA
A=
EAαΔT
A
=
EαΔT
6、如何避免温度应力 工程中要尽量避免在构件内产生过高的温度应力； 给构件留有一定的伸缩空间； (1):管道中的伸缩节
如何避免温度应力 (2)钢轨各段之间留有温度缝
如何避免温度应力 (3) 桥梁的一端采用活动铰支; 以削弱对膨胀的约束, 降低温度应力。
σ bs
=
F Abs
名义挤压应力: 由假设而得到的挤压面上的应力
挤压强度条件 几点注意
σ bs=
F Abs
≤ [σ bs ]
1 [σ bs ]由直接试验结果，按名义挤压应力计算，并考 虑了安全系数后得到的。
2压、应试力验[σ表]明c 要，大许。用挤[σ压b应s ] 力= (1.[7σ−bs
]比材料的许用
（4）不同材料与受力情况对于应力集中的敏感程度不同。
§2-13 剪切与挤压的实用计算
剪切的概念及实用计算 挤压的概念及实用计算
一、工程中常见的连接件
P P 特点： 可传递一般 力，可拆卸。
P P
特点： 可传递一般 力，不可拆卸。
螺栓 铆钉
工程中常见的连接件
键连接
特点： 传递扭矩。
二、剪切变形 受力特点：
对零件的承载力不一定造成明显影响。
（2）动载荷作用下：
无论是塑性材料制成的构件还是脆性材料所制成的构件都 必须要考虑应力集中的影响。
动荷作用下，应力集中往往是零件破坏的根源
3、应力集中一无是处吗？
可以利用应力集中达到构件较易断裂的目的。 食品或药品包装袋上的V 型孔； 售货员卖布时先剪一个小口，再用力撕开；
h
L
AQ
b
m P
d
综上，键满足强度要求。
接头的强度计算 在铆钉钢板的接头中，有几种可能的破坏？
P P
可能造成的破坏： （1）因铆钉被剪断而使铆接被破坏；
（2）铆钉和板在钉孔之间相互挤压过大，而使铆接被 破坏；
（3）因板有钉孔，在截面被削弱处被拉断。