二次型与二次曲面

于是上述二次型可以写成如下求和形式
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f ( x1 , x2 ,, xn )
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
f ( x1 , x2 ,, xn )
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例1 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 4 x1 x3 6 x2 x3
求二次型的矩阵A和二次型的秩。
解
2 1 2
A 1 1 3 ,
2 3 1
2 1 2 1 1 3 1 1 3 A 1 1 3 0 1 4 0 1 4 ,
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
ann xn2
由于 xi x j x j xi ，具有对称性，若令a ji aij ，i j ，则
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ，i j ，
2 3 1 0 1 7 0 0 1
所以r(A) = 3，即二次型的秩等于3。
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例2 求二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) (a1 x1 a2 x2 a3 x3 )2
的矩阵A和二次型的秩，其中 a1, a2 , a3 不全为零。
解 f ( x1 , x2 , x3 ) (a1 x1 a2 x2 a3 x3 )2
a1 2
a1
x1
( x1 , x2 , x3 ) a2 ( x1 , x2 , x3 ) a2 (a1 , a2 , a3 ) x2 ,
a3
a3
x3
所以二次型 f 的矩阵为
a1
a12 a1a2
A a2 (a1 , a2 , a3 ) a2a1 a22
称为由变量 x1, x2 ,, xn 到 y1, y2 ,, yn 的一个线性变换。
记
x1
X
x2
,
xn
y1
Y
y2
,
yn
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n
c2n
,
cnn
则上述线性变换可以写成矩阵形式： X CY .
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x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn C 称为该线性变换的矩阵。
X CY .
若| C | 0 ，则此线性变换称为可逆线性变换。
如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。
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南京a邮3电a大1 学 a a 邱中3华 2
a1a3
a2a3 ,
a32
r( A) 1 .
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二、线性变换
在平面解析几何中，为了确定二次方程
ax2 2bxy cy2 d
所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：
x x cos y sin
y
x sin
y cos
第六章 二次型与二次曲面
§1 二次型的基本概念 §2 二次型的标准形 §3 惯性定理与规范性 §4 正定二次型与正定矩阵 §5 曲面及其方程 §6 空间曲线及其方程
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第一节 二次型的基本概念
一、二次型及其矩阵
定义 含有n个变量 x1, x2 ,, xn的二次齐次多项式 f ( x1 , x2 ,, xn )
ann xn2
a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 a2n x2 xn
nn
an1 xn x1
an2 xn x2
ann
x
2 n
aij xi x j ,
i1 j1
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a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
称为一个(n元)二次型.
ann xn2
本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。
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f ( x1 , x2 ,, xn )
容易验证，转轴公式
x x cos y sin
y
Hale Waihona Puke xsiny cos
是一个正交变换。
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三、矩阵的合同关系
将可逆线性变换X CY ，代入二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ，得
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵。
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f ( x1, x2 ,, xn ) X T AX ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵。
A的秩称为该二次型的秩。
A是一个实对称矩阵。 事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实 二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相 唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为 研究它的矩阵A所具有的性质。
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nn
f ( x1, x2 ,, xn )
aij xi x j
i1 j1
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
x1
X
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1, x2 ,, xn ) X T AX ,
选择适当的 ，消去交叉项,可使上面的方程化为
ax2 by2 d , 上述 x, y 由 x, y 的线性表达式给出，通常称为
线性变换。一般有下面的定义。
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定义 关系式
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn