数字信号处理 答案 第二章

第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 3333 3444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=an-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明（1）交换律X(n) * y(n) = ∑∞-∞=-kknykx)()(令k=n-t,所以t=n-k,又-∞<k<∞,所以-∞<t<∞,因此线性卷积公式变成` x(n) * y(n) =∑∞-∞=---ttnnytnx)]([)(=∑∞-∞=-ttytnx)()(=y(n) * x(n)交换律得证.(2)结合律[x(n) * y(n)] * z(n)=[∑∞-∞=-kknykx)()(] * z(n)=∑∞-∞=t [∑∞-∞=-kktykx)()(]z(n-t)=∑∞-∞=k x(k) ∑∞-∞=ty(t-k)z(n-t)=∑∞-∞=k x(k) ∑my(m)z(n-k-m)=∑∞-∞=kx(k)[y(n-k) * z(n-k)]=x(n) * [y(n) * z(n)]结合律得证.(3)加法分配律x(n) * [y(n) + z(n)]= ∑∞-∞=kx(k)[y(n - k) +z(n - k)]=∑∞-∞=k x(k)y(n-k)+ ∑∞-∞=kx(k)z(n - k)=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)加法分配律得证.2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。

并加以证明(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[32πn+6π] (3)y(n)=∑∞-∞=k k x )( (4)y(n)= ∑=nn k k x 0)((5)y(n)= x(n)g(n)解 （1）设y 1(n)=2x 1(n)+3,y 2(n)=2x 2(n)+3,由于 y(n)=2[x 1(n)+x 2(n)]+3 ≠y 1(n)+ y 2(n) =2[x 1(n)+x 2(n)]+6故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而y(n-k) = T[x(n-k)]故该系统是非移变系统。

故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（3）设 y 1(n)=∑-∞=n k k x )(1，y 2(n)=∑-∞=nk k x )(2，由于y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]=∑-∞=+nk k k )](bx )(ax [21=a∑-∞=nk k x )(1+ b ∑-∞=nk k x )(2=ay 1(n)+by 2(n)故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=∑--∞=t n k k x )(= ∑-∞=-nm t m x )(=T[x(n-t)]所以该系统是非移变系统。

设 x(n)=M<∞ y(n)=∑-∞=nk M =∞，所以该系统是不稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（4）设 y 1(n)=∑=nn k k x 01)( ，y 2(n)=∑=nn k k x 02)(，由于y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]=∑=+nn k k k 021)](bx )(ax [= a∑=n n k k x 01)(+b ∑=nn k k x 02)(=ay 1(n)+by 2(n)故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=∑-=t n n k k x 0)(= ∑+=-ntn m t m x 0)(≠T[x(n-t)]=∑=-nn k t m x 0)(所以该系统是移变系统。

设x(n)=M,则lim n →∞y(n)= lim n →∞(n-n 0)M=∞,所以该系统不是稳定系统。

显而易见，若n ≥n 0。

则该系统是因果系统；若n<n 0。

则该因果系统是非因果系统。

(5)设y 1(n)=x 1(n)g(n),y 2(n)=x 2(n)g(n),由于y(n)=T[ax 1(n)+bx 2(n)]=(ax 1(n)+bx 2(n))g(n) =ax 1(n)g(n)+b 2(n)=ay 1(n)+by 2(n)故系统是线性系统。

因y(n-k)=x(n-k),而T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。

设|x(n)|≤M<∞,则有|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 （1）h(n)=2nu(-n) (4) h(n)=(12)nu(n) (2) h(n)=-a n u(-n-1) (5) h(n)=1nu(n) (3) h(n)=δ(n+n 0), n 0≥0 (6) h(n)= 2nR n u(n)解 （1）因为在n<0时，h(n)= 2n≠0,故该系统不是因果系统。

因为S=n ∞=-∞∑|h(n)|=n ∞=∑|2n |=1<∞，故该系统是稳定系统。

(2) 因为在n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。

因为S=n ∞=-∞∑|h(n)|=1n -=-∞∑| a n|=n ∞=∞∑an-，故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。

(3) 因为在n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。

因为S=n ∞=-∞∑|h(n)|=n ∞=-∞∑|δ(n+n 0)|=1<∞，故该系统是稳定系统。

(4) 因为在n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=n ∞=-∞∑|h(n)|=n ∞=∑|(12)n|<∞，故该系统是稳定系统。

(5) 因为在n<O 时，h(n)=1nu(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=n ∞=-∞∑|h(n)|=n ∞=-∞∑|1n u(n)|= 0n ∞=∑1n =∞，故该系统不是稳定系统。

(6) 因为在n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=n ∞=-∞∑|h(n)|=1N n -=∑|2n |=2N -1<∞，故该系统是稳定系统。

2.9 已知y(n)-2cos βy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=sin()sin n ββ证明 题给齐次差分方程的特征方程为α2-2cos β·α+1=0由特征方程求得特征根α1=cos β+jsin β=e j β,α2=cos β-jsin β= e j β-齐次差分方程的通解为y(n)=c 1α1n +c 2α2n =c 1ej nβ+c 2ej nβ-代入初始条件得 y(0)=c 1+c 2=0y(1)= c 1ej nβ+c 2ej nβ-=1由上两式得到c 1=1j n j ne eββ--=12sin β，c 2=- c 1=-12sin β 将c 1和c 2代入通解公式，最后得到y(n) =c 1ej nβ+c 2ej nβ-=12sin β( e j n β+ e j nβ-)=sin()sin n ββ2.10 已知y(n)+2αy(n-1)+β(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数a 和b 由(2)2(1)(0)660(3)2(2)(1)361230y ay by a y ay by a b ++=+=⎧⎨++=++=⎩可求出 a=-1,b=-8于是原方程为y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程α2－2α－8＝0求得特征根α1＝4 ，α2＝-2齐次差分方程得通解为y(n)=c 1α1n +c 2α2n = c 14n +c 2(-2n )代入初始条件得y(n)= c 1α1+c 2α2= 4α1+2α2=3由上二式得到c 1＝12，c 2＝－12将c 1和c 2代入通解公式，最后得到y(n)=c 1α1n +c 2α2n ＝12[4n-(-2) n ]2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1解 由特征方程α2－α－1＝0求得特征根α1＝12，α2＝12通解为y(n)=c 1α1n +c 2α2n ＝c 1（12）n ＋c 2（12-）n代入初始条件得121211c c c c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 求出c 1，c 2最后得到通解y(n)= c 1()n + c 2)n)1n +)1n +]2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应解 由图可知ßy(n)=x(n)+ βy(n-1)为求单位取样响应，令x(n)=δ(n),于是有h(n)= δ(n)+ βh(n-1)由此得到h(n)=()1n Dδβ-=βnu(n)阶跃响应为y(n)=h(n)*u(n)=nk =∑βk y(k)u(n-k)=111n ββ+--u(n)2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(ejw),求下列各序列的傅立叶变换解 （1）F[ax 1(n)+bx 2(n)]=aX 1(e jw)+bX 2(ejw)(2)F[x(n-k)]=e jwk-X(ejw) (3)F[e0jw nx(n)]=X[e0()j w w -](4)F[x(-n)]=X(ejw-) (5)F[x *(n)]=X *(ejw-) (6)F[x *(-n)]= X *(e jw)(7)(8)jIm[x(n)]=12[X(e jw )-X *(e jw -)] (9)12πX(e j θ)*X(e jw ) (10)j ()jw dx e dw2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述y(n)-12y(n-1)=x(n)+ 12x(n-1) (1) 求该系统的单位取样响应h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝e jwn时系统的响应(3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入x(n)=cos(2πn+4π)的响应解 （1）令X （n ）=δ(n),得到h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n ≥0 递推计算出h(-1)=0h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=21h(2)=(21)2 h(4)= 21h(2)=(21)3 ．．．h(n)=δ(n)+ (21)n-1u(n-1) 或 h(n)= (21)n [u(n)-u(n-1)]也可将差分方程用单位延迟算子表示成(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)由此得到h(n)=[(1+21D)/(1-21D)]δ(n) =[1+D+21D 2+ (21)2 D 3+…+(21)k-1 D 3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ 21δ(n-2)+21δ(n-3)+... +(21)k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ (21)n u(n-1)2）将jwn e n X =)(代入)(*)()(n h n x n y =得到[]()jwjwjwnjwn jw jwnnn jwnjwn e e e e e e D D D D e D D n D De n y ------+=-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡••••+⎪⎭⎫ ⎝⎛+••••+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+=-+=2112112112121211211211)(211211*)(11322δ （3）由（2）得出 ()jw jwjw e e e H ---+=211211（4）由（3）可知121121121212=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--wj w j wj e e e H ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21arctan 2211arctan 211arctan arg 222ππj j w j e e e H 故：()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=21arctan 242cos arg 42cos ππππn e H n e H n y jw jw2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)试确定能使系统成为全通系统的b 值（b ≠a ），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率ω无关的常数的系统。