数字信号处理 答案 第二章

第二章

2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos(6

85ππ+n ) （2）x(n)=)8(

π-n

e j

（3）x(n)=Asin(3

43π

π+n )

解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。因此5

16

2=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=

)5(165

16

取k k =。 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出8

1

=ω。因此πωπ162=是无理数，所以不

是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π3

43ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。因此3

8

2=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于

N=

)3(83

8

取k k =

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)

1

11

1

(b)

(c)

11

111

0 0

-1-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

2

2

2

222 3

3

3

3 34

44

…

…

…n

n

n n

n

n

x(n)x(n)

x(n)

h(n)h(n)

h(n)2

1

u(n)

u(n)

u(n)a n ===2

2

解 利用线性卷积公式

y(n)=

∑∞

-∞

=-k k n h k x )()(

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1

y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3

y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)

h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)

y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=

∑∞

-∞

=--k k

n k n u k u a

)()(=

∑∞

-∞

=-k k

n a

=a

a n --+111u(n)

2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λ

n

u(n)*u(n)

解：(1) y(n)=

∑∞

-∞=-k k n u k u )()(

=

∑∞

=-0

)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0

即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞

-∞=-k k k n u k u )()(λ

=∑∞

=-0

)()(k k

k n u k u λ

=λ

λ--+111

n ,n ≥0

即

y(n)=λ

λ--+111

n u(n)

2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).

解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =

∑∞

-∞

=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]

=u(n)-u(n-4)

y(n)=ω(n)*h 2(n) =

∑∞

-∞=k k

k u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]

=∑∞

-=3

n k k

a

,n ≥3

2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a

n

-u(-n),0

系统的单位阶跃响应。

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明（1）交换律

X(n) * y(n) = ∑∞

-∞

=-

k

k

n

y

k

x)

(

)

(

令k=n-t,所以t=n-k,又-∞

` x(n) * y(n) =∑∞

-∞

=

-

-

-

t

t

n

n

y

t

n

x)]

(

[

)

(

=∑∞

-∞

=-

t

t

y

t

n

x)(

)

(=y(n) * x(n)

交换律得证.

(2)结合律

[x(n) * y(n)] * z(n)

=[∑∞

-∞

=-

k

k

n

y

k

x)

(

)

(] * z(n)

=∑∞

-∞

=t [∑∞

-∞

=

-

k

k

t

y

k

x)

(

)

(]z(n-t)

=∑∞

-∞

=

k x(k) ∑∞

-∞

=t

y(t-k)z(n-t)

=∑∞

-∞

=

k x(k) ∑

m

y(m)z(n-k-m)

=∑∞

-∞

=

k

x(k)[y(n-k) * z(n-k)]

=x(n) * [y(n) * z(n)]

结合律得证.

(3)加法分配律

x(n) * [y(n) + z(n)]

= ∑∞

-∞

=

k

x(k)[y(n - k) +z(n - k)]

=∑∞

-∞

=

k x(k)y(n-k)+ ∑∞

-∞

=

k

x(k)z(n - k)

=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)

加法分配律得证.

2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明