刚体转动及角动量守恒解析

转动惯量 I 是刚体转动惯性的量度
I∑
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
质量连续分布的刚体用积分求 I
I
为体积元 处的密度
I 的单位为
分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点） 的轻细硬杆的质量可以忽略，
则
∑
转轴
∑
0.75
质量直连续棒分算布的例刚体
匀直细杆对中垂轴的
与 时刻对应，何时
则何时
，
何时 恒定 则何时 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例转题动 二( T2 – T1 ) R = Ib
I=mR2 2
R
m
T2
T1
a
m2
m1
b
平动 m2 g – T2 = m2a
T2
T1
T1 – m1 g = m1a
线-角 a = Rb
T2
T1
联立解得
a
G2
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转
轴的力矩使刚体发生转动
F2
j2
Ft 2
Ft 1
r2 O r1
P2 d2 d1
P1
F1 力矩 M1 = r1 × F1 j1 大小 M1 = r1 F1 sin j1
= F1 d1 =Ft 1 r1
方向 MM2 = r2 × F2
M2
大小 M 2 = r2F2 sin j 2
= F2 d2 =FtF2 r2
合外力矩 M = M1 + M2
大小 M = F1 d1 F2 d2
=
Ft 叉1 r乘1 右螺Ft旋2
rr2
转动定律
瞬时 角加速度
ji
ri
Fi
qi
n
t fi
O
瞬时 角速度
某质元 受外力 Fi 受内力 fi Fi + f i = a i
其法向n 分量均通过转轴，
不产生转动力矩。
该平面且通 过质心
刚体上 各质点都 以某一定 点为球心 的各个球
复杂 的运动 与平动 的混合。
面上运动。
定轴转动参量
1. 角位置
刚体定轴转动 的运动方程
2. 角位移
3. 角速度
刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t)
转动平面（包含p并与转轴垂直）
参考 方向
静止
4. 角加速度
匀角速
常量 匀角速 变角速
其中
匀质薄圆盘 常用结果 匀质细直棒
转轴通过中心垂直盘面
转轴通过端点与棒垂直
R
m
L
m
I=
1 2
mR2
I=
1 3
mL2
匀质矩形其薄板它典型
转轴通过中 心垂直板面
I=
m 12
(a 2 + b 2 )
匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
I=mR2
匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
I=
m R2 2
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
公式对比 质点直线运动或刚体平动
刚体的定轴转动
位移
角位移
速度
角速度
加速度
角加速度
匀速直线运动 匀变速直线运动
匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
刚体转动定律引言
质 点 或 刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量 合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念
使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
a
G1
a
=
m2 m1
m1+ m2+
1 2
m
g
g
T1 = m1 ( g + a ) m1 g
轮轴无摩擦
T2 = m2 ( g – a ) m2 g
轻绳不伸长
轮绳不打滑 （以后各例同）
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为
( T2 – T1 ) R – Mr= Ib 再联立求解。
细绳缠绕轮转缘动定律例题三
其切向t 投影式为
r Fi sin j i + fi sinq i
= a it =
ib
r 等式两边乘以 i
并对所有质元及其所受力矩求和
r r r ∑ Fi i sin j i + ∑ fi i sinq i = ∑
ib
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
M = ∑ ri b
转动惯量
瞬时 角加速度
ji
并对即所有质元及其所受力矩求和
r r r 刚∑体F所i 获i si得n j的i 角+加∑速fi度i sin的q i大=小∑与刚体受i 到b的
合外力矩合M外力内矩力矩成的对抵大消小= 0成正比，
得 与刚体的转M动=惯∑量 成ri反比b。
转动惯量的计算
将刚体转动定律 M = I b 与质点运动定律F = ma 对比
I
=
m 2
(R12 +
R22
)
匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=
m 4
R2+
m 12
L2
匀质薄Βιβλιοθήκη Baidu壳
转轴通过球心
I=
2m R2 3
转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为负。
合外力矩 与合角加速度 方向一致。
刚体转动及角动量守恒
刚体运动的分类 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚体任意
刚体质心
两点的连线 刚体每点 限制在一平
保持方向不 绕同一轴线 面内，转轴
变。各点的 作圆周运动， 可平动，但
且转轴空间 始终垂直于
相作同质，点可处当理。位不置变及。方向
匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量
质心
例如：
时
新轴对心轴的平移量
新轴 质心轴
代入可得 端
匀质薄圆盘对圆心垂盘轴算的 例
取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元
球体算例 匀质实心球对心轴的 可看成是许多半径不同的共轴 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为 的薄圆盘的转动惯量为
ri
Fi
qi
n
t fi
O
瞬时 角速度
r = 某质M元 受∑外力 Fii 受内b力 fi
其与关法刚的F不向体物i产n+性理生分质 量f转量i 及，=动均质用力通量矩过I分。转a表布i轴示有， 其称切为向t转投动影惯式为量
r Fi刚s体in j的i转+ f动i s定in律q i
= a it =
ib
r 等式两边乘以 i
常量 匀角加速 变角加速
转轴
用矢量表 示或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
单位：
转动r方ad 程求导rad 例s-1 题 rad s-2
rad
rad
150p 100p
50p p
rad s -1 rad s -2
匀变角速定轴转动
rad s 1
rad s 2
53p
52p 51p
p
50p
（A）
（B）
（A）
R
R
m
m
（B）
恒力 F
t
t
t
s
s
s
积分求转动方程
得
恒量
且t=0 时
任意时刻的
得
匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
定线轴转量动刚与体角在某量时刻的t 的关瞬时系角速度为 ，瞬
时角加速度为 ，刚体中一质点P至转轴的距离为r
瞬时线速度
质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
的大小
这是定轴转动中线量与角量的基本关系