第八章 期权定价二叉树模型

pfud (1 p) f dd ,代入得： -rT f 0 e pfu (1 p) f d 2 -r（T T ） 2 e p f 2 p (1 p ) f (1 p ) f dd uu ud 2 -rT 2 e p fuu 2 p(1 p) fud (1 p) f dd 2 -rT e p max(u 2 S K , 0) 2 p(1 p)
=5.0894
• 3、例2 • 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利 年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期 权协议价格为50元，求该期权的价值。
4、倒推定价法总结
5、有红利资产期权的定价
• 课后自行阅读
6、构造树图的其他方法和思路
• 不作要求
fd e
-rT2
1 1 2
max(udS K , 0) (1 p) max(d S K , 0)
2 2
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• 五、n步二叉树模型（欧式）
n -rT j j n j j n j f 0 e Cn p (1 p) max(u d S K , 0) j 0
Sert pSu (1 p) Sd 在股票价格服从B S 模型所假定的几何布朗运动下， 其方差为：S e (e
2 2 2 2rt
2 t
1)。而在S二叉树模型下
2 2 2
的方差为：pS u (1 p)S d S pu (1 p)d 。故： S e (e
t t
其中，a e r t
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价 • 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来 的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
72 60 50 48 32
40
0
1.4147
f
4
9.4636
20
• 对于1.4147点，提前执行受益为-8，提前执行 不合算。但对9.4636，提前执行受益却为12， 所以要提前执行。故该点应为12。即
0
1.4147
f
4
12
20
• 这样，该美式看跌期权价值为：
f=e
0.051
（0.6282 1.4147+0.3718 12）
• 随着n的增加，二叉树模型的定价结果将 趋近于B-S-M定价模型结果
第二节 u、d和p的确定
• 一、问题的提出 • 在前面关于二叉树定价模型中，我们都 假设了u和d，并在此基础上推出了风险 中性概率p，但在实际中，u和d到底应该 为多少呢？
• 二、u、d、p值的确定 • 在风险中性世界中，所有股票的收益率 都为无风险利率r。因此，在经过时间间 隔 t 后，股票的期望值为
第八章 期权定价二叉树模型
第一节 二叉树模型
• 一、为什么要对基础资产的价格模型进 行假设？ • 所谓价格模型，实际上就是基础资产价 格的运行模型 • 基础资产价格模型是后续推导的前提 • 假设的好坏从根本上影响着后续推到结 论的合理性。
• 二、二叉树模型
S0u3
S0u2
S0 u S0 S0 d S0ud S0d2
其中， e d p ud
rT
• 四、多步二叉树期权定价模型(以欧式、两步为例)
S0u2 fuu fud fdd S0u S0 S0ud S0d2 fu f0
S0d
fd
• 基本思路:利用前述单步二叉树模型,先求 出f11和f12 ,再求出f0即可。
S0u2 S0u S0ud fuu
fu
fud
• 推理如下： fu e-rT2 pfuu (1 p) fud
2 2rt
2 t
1) pS2u 2 (1 p)S2d 2 S2 pu (1 p)d
将上述两个方程简化，有： e r t pu (1 p )d e
2rt 2 t
pu 2 (1 p)d 2
在加入Cox、Ross和Rubinstein用的第三个条件 1 u= d 可解出方程 ad p= ud u e d e
S0u2d S0ud2 S0d3
其中，0<d<1<u
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则 • 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为： • S0 d f d
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
S0u fu S0 d f d 此时 fu f d S0u S 0 d
• 这样，该组合就是无风险的。在无套利 约束下，收益应该为无风险利率，即：
S0 f0 （S0u fu）e
• 解方程，可得：
f0 e
-rT
-rT
pfu (1 p) f d