微分中值定理的再讨论

本科生毕业论文（设计）

题目：微分中值定理的再讨论

院 （系） 数学系

专 业 班 级 数学与应用数学

学 生 姓 名 李 杨

指导教师（职称） 吴苏朋（讲师）

提 交 时 间 2011 年5月

安康学院学位论文独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安康学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意.

作者签名：日期：

安康学院学位论文使用授权声明

本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属安康学院.本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为安康学院.学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版.

作者签名：日期：

微分中值定理的再讨论

李杨

（安康学院数学系，陕西安康，725000）

摘要微分中值定理是数学分析内容的难点和重点之一，本文给出了将微分中值定理的闭区间推广为开区间或无穷区间、以及中值点个数的一些结论，并对微分中值定理的应用进行研究与探索。

关键词微分中值定理；中值点；有穷区间

Futther Approach about The Differential Mid-value

Theorem

Li Yang

(Department of Mathmatics science,Ankang University, Ankang Shaanxi

Province, 725000)

Abstract The Differential Mid-value Theorem is the mathematical analysis difficulty and key one, In this paper, the Mean Value Theorem to promote the open interval closed interval or infinite interval, and the number of data points in some of the conclusions. And the application of differential value to explore and research.

Key Words The differential mid-value theorem;median point;finite interval

目录

一、前言 (5)

二、正文 (6)

1、微分中值定理 (6)

(1) 微分中值定理 (6)

(2)微分中值定理之间的关系 (7)

2、微分中值定理的推广 (7)

(1)中值定理的推广 (7)

(2) 典型例题 (8)

3、微分中值定理的“中值点”的个数 (9)

(1)定理 1及证明 (9)

(2)定理2及证明 (10)

4、微分中值定理的应用 (10)

三、结论 (13)

四、参考文献 (14)

五、致谢 (15)

前言

导数与微分是数学分析中重要的基本概念，微分学是数学分析的重要组成部分，其中微分中值定理是微分学的核心。罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理统称为微分中值定理，他们是微分学中最基本、最重要的定理，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具。

本文通过对微分中值定理的再次研究与探讨,通过大量的推广及其应用,使学生能够更加清楚地认识罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的性质,并能熟练运用和解决有关微分中值定理的问题.

已有文献对微分中值定理已做了大量的研究和探讨,其中主要集中在对微分中值定理的各种推广，这些推广大致可分为两类：一类是将闭区间推广为开区间或无穷区间；另一类则是把可微性概念加以拓宽或者增加函数的个数，然后推广微分中值定理。

本文在已有文献的基础上,根据罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的特点,进行探讨、拓展和简化,使微分中值定理的有关性质更加清晰、易懂.

而将微分中值定理的闭区间推广为开区间或无穷区间怎样的情况？众所周知，微分学理论已经解决了微分中值定理“中值点”的存在性问题，那中值点的个数问题又是怎样的?

正 文

1 微分中值定理

（1）中值定理

Rolle 定理﹑Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理统称为微分中值定理 ﹙罗尔﹙Rolle ﹚中值定理﹚若函数f 满足如下条件：

﹙i ﹚f 在闭区间[],a b 上连续；

﹙ii ﹚f 在开区间(),a b 内可导；

﹙iii ﹚()()f a f b =，则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。

罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。

﹙拉格朗日﹙Lagrange ﹚中值定理﹚若函数f 满足如下条件：

﹙i ﹚f 在闭区间[],a b 上连续；

﹙ii ﹚f 在开区间(),a b 内可导；

则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b a

ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本结论极即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情况。

拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点()(),p f ξξ，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB 。

﹙柯西﹙Cauchy ﹚中值定理﹚设函数f 和g 满足

﹙i ﹚f 在闭区间[],a b 上连续；

﹙ii ﹚f 在开区间(),a b 内可导；

﹙iii ﹚()f x '和()g x '不同时为零；

﹙Ⅳ﹚()()g a g b ≠，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-='-。 柯西中值定理的几何意义：设弧AB 的参数方程()X g x = ()Y f x =，在x

o y 平面上表示一段曲线，上式右边的()()()()

f b f a

g b g a --表示连接该曲线两端的弦AB 的斜率，而上式左边的()()x f dy g dx ξ

ξξ='='则表示该曲线上与x ξ=相对应的一点

()()(),C g f ξξ处的切线的斜率，上式即表示上述切线与弦AB 互相平行。

（2） 微分中值定理之间的关系