线性系统理论第六章资料

线性系统理论
§ 6.1 § 6.2 § 6.3 § 6.4 § 6.5
常用的反馈结构及其对系统特性的影响 单输入-单输出系统的极点配置 多输入-多输出传统的极点配置 解耦控制 状态观测器
线性系统理论
6.1 常用的反馈结构及其对系统特性的影响
无论是在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈 都是系统设计的主要方式。但由于经典控制理论是用传递 函数来描述的，因此它只能以输出量作为反馈量。而现代 控制理论由于是采用系统内部的状态变量来描述系统的物 理特性，因而除了输出反馈外，还可采用状态反馈这种新 的控制方式。
(6.4)
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v+
u
B+
x
x
y
I/s
C
-
-
A
K
图6-1(b) 加入状态反馈后的结构图
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因此可用系统{(A BK) B C}来表示引入状态反馈 后的闭环系统。而从式可以看出输出方程则没有变化。
2. 输出反馈 系统的状态常常不能全部测量到，状态反馈方法就有 一定的工程限制，在此情况下，人们常常采用输出反馈方 法。输出反馈的目的首先是使闭环成为稳定系统，然后在 此基础上进一步改善闭环系统的性能。
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在本章中，将主要讨论在不同形式的性能指标下线性定常 系统的反馈控制规律的综合方法，包括建立可综合的条件 及建立控制规律及其算法。
综合问题中的性能指标可区分为非优化型性能指标和 优化型性能指标两种类型，它们都规定着综合所得系统运 动过程的期望性能。两者的差别是：非优化指标是一类不 等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算实 现了综合的目标；
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当把线性定常系统的控制量u取为输出y的线性函数
u v Fy
(6.5)
时，相应的称为线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。
加入输出反馈后系统的结构图如图6-2所示。
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v+
u
B+
x
x
y
I/s
C
-
+
A
F
图6-2 输出反馈系统
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由式(6.1)和式(6.5)可导出输出反馈的状态空间描述为
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在这里，我们研究形如 u v Kx 的线性状态反馈对 原线性定常动态方程的影响。其中v为p维系统参考输入向 量，K是 ( p n) 反馈增益矩阵。按要求，K应为实矩阵。 在研究状态反馈时，我们默认了这样一个假定，即所有的 状态变量都是可以用来反馈的。
因此，当将系统的控制量u取为状态变量x的线性函数
x (A BFC)x Bv, y Cx 其传递函数矩阵则为：
GF (s) C(sI A BFC)1 B
(6.6) (6.7)
不难看出，不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改 变状态的系数矩阵。但这并不是说，两者具有等同的性能。
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由于状态能完整地表征系统的动态行为，因而利用状态反 馈时，其信息量大而完整，可在不增加系统的维数的情况 下，自由地支配响应特性；而输出反馈仅利用了状态变量 的线性组合来进行反馈，其ຫໍສະໝຸດ Baidu息量便较小，所引入的串、 并联补偿装置将使系统维数增加，且难于得到任意期望的 响应特性。一个输出反馈系统的性能，定有对应的状态反 馈系统与之等同，这时只需令 FC K ，确定状态反馈增 益矩阵是方便的；
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优化型指标则是一类极值型指标，综合目的是要使性能指 标在所有可能值中取极值。本章讨论的综合问题主要涉及 的是非优化型指标，它们可能以一组期望的闭环系统极点 作为性能指标，讨论极点配置问题。系统运动的状态也即 其动态性能，主要是由系统的极点位置所决定。把闭环极 点组配置到所希望的位置上，实际上等价于使综合得到的 系统的动态性能达到期望的要求。
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一、两种反馈结构
1. 状态反馈
设有n维线性定常系统
x Ax Bu, y Cx
(6.1)
式中 x,u, y分别为n维、p维和q维向量，A、B、C 分别为
n n、n p、q n 阶实矩阵。
由式可画出该系统结构图如图6-1(a)所示。
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u
B+
x I/s x C
+
A
图6-1(a) 系统结构图
本章最后讨论状态观测器。在状态反馈中，假定所有 状态变量如输出量一样是可以得到的。实际上，这一假定 通常是不成立的。
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因此，若我们要实现状态反馈，则必须根据可利用的信息 来产生状态向量估值。这种建立近似状态向量的装置即为 状态观测器。状态观测器理论的建立，拓宽了状态反馈综 合方法的应用范围。
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但是，一个状态反馈系统的性能，却不一定有对应的输出 反馈系统与之等同，这是由于令 K FC来确定 F的解时， 或者形式上过于复杂而不易实现，或者 阵含F 有高阶导数 项而不能实现，或对于非最小相位的受控对象，如含有右 极点，而选择了右校正零点来加以对消时，便会潜藏有不 稳定的隐患。不过，输出反馈所用的输出变量总是容易测 得的，因而实现是方便的；而有些状态变量不便测量或不 能测量，需要重构，给实现带来麻烦是需要克服的障碍。
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通过引入状态观测器，利用原系统的可测量变量 y 和 u 作 为其输入以获得x的重构量 xˆ ，并以此来实现状态反馈 （图6-3）。有关状态观测器和带有状态观测器的状态反 馈系统的分析和综合问题，将在本章的最后几节中研究。
u v Kx (6.2)
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时，称其为线性的直接状态反馈，简称状态反馈。由式 (6.1)与式(6.2)可以得出加入状态反馈后系统结构图如图 6-1(b)所示，将式代入式可得状态反馈系统动态方程为
x (A BK)x Bv, 其传递函数矩阵可表示为
y cx
(6.3)
Gk (s) C(sI A BK )1 B
以渐近稳定作为性能指标，主要讨论各种反馈结构对 系统稳定性的影响。
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以使一个“多输入——多输出”系统实现“一个输入 只控制相应的某个输出”作为性能指标，其相应的综合问 题即为解耦控制问题。
还有在各种扰动作用下无静差地跟踪参考指令的性能 指标，其相应的综合问题为鲁棒控制问题（留在下一章专 门讨论）。
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第六章 线性反馈系统的状态空间综合
已知受控系统结构参数及期望的系统运动形式或特征， 确定施加于受控系统的控制规律与参数，称为综合。当系 统以状态空间描述以后，系统的状态含有系统的全部运动 信息，若将控制信号设计为状态与参考信号的函数形成闭 环控制，便可得到相当好的控制效果。无论在抗扰动或抗 参数变动方面，反馈系统的性能都远优于非反馈系统。