正弦曲线测试试题含详解

正弦函数图像及其性质一、单选题

1．函数y＝2sin(3x ＋)，x∈R的最小正周期是( )

A．

B．

C．

D．π

2．函数是（）

A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数3．函数的定义域为（）

A．

B．

C．

D．

4．函数的值域是（）

A．0 B．

C．

D．

5．若函数的最小正周期是2，且当时取得最大值，那么

A．

B．

C．

D．

6．函数的单调增区间为（）A．

B．

C．

D．

7．设函数，x∈R，则f（x）是（）

A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数

C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数

8．下列函数中，周期为π，且在,

42

ππ

??

??

??

上单调递增的奇函数是（）A．

3

sin2

2

y x

π

??

=+

?

??

B．cos2

2

y x

π

??

=-

?

??

C．cos2

2

y x

π

??

=+

?

??

D．sin

2

y x

π??

=-

?

??

9．已知函数，则下列结论错误的是

A．

的最小正周期为B．

的图象关于直线对称C．

的一个零点为D．

在区间上单调递减10．设函数=,则下列结论正确的是

A．

的图象关于直线对称B．

的图象关于点对称

C ． 的最小正周期为

D ．

在上为增函数 11．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之差等于

A ．

B ．

C ．

D ．

第II 卷（非选择题）

三、填空题

12．已知x 满足－≤sinx≤，则角x 的取值范围为________.

13．函数

的定义域为_______，值域为_______.

14．函数2sin sin 1y x x =+-的值域为________．

二、解答题

17．已知=

.

(1)求函数的对称轴和对称中心;

(2)求函数的最大值,并写出取最大值时自变量的集合;

15．已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）当时，求的最值，并指明相应的值；

（3）用五点法在给出的直角坐标系中，画出函数

在区间

上的图象.

18．已知函数f(x)＝

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)用五点法在所给坐标系中画出函数f(x)在

区间上的图象．

参考答案

1．B

【解析】

函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是.选B.

2．B

【解析】

【分析】

根据正弦函数的性质，可得函数为奇函数，再根据周期的计算公式，即可判定，得到答案.

【详解】

由题意，函数，则，

所以函数为奇函数，

且最小正周期，故选B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中熟记三角三角函数的图象与性质，准确求解与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．C

【解析】

【分析】

由函数，根据解析式有意义得到，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.

【详解】

由函数，则满足，

令，解得

即函数的定义域为，故选C.

【点睛】

本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出不等式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．D

【解析】

【分析】

：去掉绝对值符号，转化为求分段函数的最值。

【详解】

：，由此值域为

【点睛】

：含绝对值的表达式理解为分段函数，转化为分段函数的最值问题。

5．B

【解析】

【分析】

本题可根据三角函数的周期性质以及最大值还有的取值范围来解得答案。

【详解】

由题意知，所以.又当时，有，

所以，而，所以.

【点睛】

熟知三角函数公式的每一个字母所指代的含义以及相关性质，是解决这类题目的关键。6．C

【解析】，解得，，故选C.

7．B

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论． 【详解】

∵函数=sin2x ，x ∈R ，则f （x ）是周期为=π的奇函数，

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查诱导公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题． 8．C

【解析】对于A ，由于cos2y x =-，故为偶函数.对于B ，由于sin2y x =，故函数在区间上为减函数.对于C ，由于sin2y x =-，在区间上递增，符合题意.对于D ， cos y x =为偶函数. 9．B 【解析】 【分析】

根据周期的公式得到故A 正确；函数图像的对称轴为

可判断B 错误；零点为

，可判断C 正确；单调减区间为

可

得到D 正确. 【详解】

函数，周期为：故A 正确；函数图像的对称轴为

，不是对称轴，故B 不正确；函数的零点为

，当k=1时，得到一个零点为；函数的单调递减区间为：

，解得x的范围为，区间是其中的一个子区间，故D正确.

故答案为：B.

【点睛】

函数（A>0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：时，函数

为奇函数；时，函数为偶函数;（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=;（3）单调性：根据y=sin t和t=的单调性来研究，由

得单调增区间；由得单调减区间;（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x;

利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.

10．D

【解析】

因为函数=的最小正周期为，所以排除C；函数的对称轴为

，解得，所以直线不是函数的对称轴,所以排除A；函数的对称中心的横坐标为，解得，对比选项可知点不是对称中心，故排除B；

因为,解得，所以可知函数在上单调递增，所以选项D 正确，故选D.

11．B

【解析】

【分析】

由函数的值域为以及三角函数的图像性质可知，定义域一定在一个周期内，再由函数图像可以得出定义域的差值。

【详解】

如图，当时，值域为且最大；当时，值域，

且最小，∴最大值与最小值之和为.

【点睛】

本题在解题的时候，需要注意的是，值域的最大值不为1，那么定义域必然会在一个周期内，只需要在三角函数的某个周期内找对应的定义域就可以了。

12．（1）；（2）当时，最小值,当时，最大值；（3）图象见解析.

【解析】

【分析】

根据周期公式得出结果

时，，即可求出的最值

在所给的区间内找出函数值域的几个特殊点，最大值和最小值点，列出表格，在坐标系中描出函数图像

【详解】

(1) ，

所以f(x)的最小正周期T=.

（2）由

所以当即时，取得最小值,

当即时，取得最大值．

(3)列表:

【点睛】

本题是一道关于三角函数的题目，关键是利用三角函数的图像及其性质来解答，掌握解题方法尤为重要，本题较为基础

13．（1）对称轴方程为；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意可求周期，利用周期公式可求，由，，结合范围，可求，从而可求的解析式，由可解得对称轴方程．

（2）分别求出对应的值和值列表，然后描点，再用平滑曲线连接得函数图象．

【详解】

（1）的两个相邻的对称中心分别为，

，

，，，

由，得，

所以对称轴方程为，

（2）列表：

作图：

【点睛】

本题考查了型函数的有关概念，考查了由的部分图象确定其解析式，考查利用五点作图法作函数的图象，属于基础题．

14．（1）对称轴:,对称中心:；(2)最大值为,的取值集合

=；（3）见解析

【解析】

试题分析：(1)根据函数的解析式，利用整体代换，计算得到函数的对称轴与对称中心；(2)直接得到函数的最大值，并计算出函数取到最大值时相应的；(3)利用五点法，作出函数的图象.

试题解析：(1)令，解得，即对称轴为，令

，解得，即对称中心为.

(2)令，解得，故函数最大值为2,的取值集合

=

(3)如图所示

点睛：本题主要考查了函数的对称轴满足、对称中心的横坐标满足、函数的最值及取得最值时对应自变量的值，五点作图法中的五点

为，，，，.

15．（1）π.，（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先通过五点作图法作一个周期

上的图像，再根据自变量范围为进行调整即可.

【详解】

．解：(1)T＝＝π.

令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，

则2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

(2)列表：

ππsin－

描点连线得图象如图：

【点睛】

函数的性质

(1).

(2)周期

(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值

对应自变量满足，

(4)由求增区间; 由求减区间

16．{x|+2kπ≤x≤+2kπ或－+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}

【解析】分析：利用正弦函数的图象，观察得到结果.

详解：

先观察一个周期，

易得：

∴角x的取值范围

又y=sinx的最小正周期为

∴角x的取值范围为{x|+2kπ≤x≤+2kπ或－+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}

故答案为：{x|+2kπ≤x≤+2kπ或－+2kπ≤x≤+2kπ，k ∈Z}

点睛：处理三角不等式主要方法有：（1）利用三角函数线，（2）利用三角函数图象.

17．

【解析】由题意，可知，根据正弦函数图象，得，即函数的定义域为，此时

，则函数的值域为

，从而问题可得解.

18．514??

-????

，

【解析】令[]

t sin 1,1x =∈-,

22sin sin 11y x x t t =+-=+-.

为开口向上的抛物线，对称轴为12

t =-， 当12t =-

时， 1151424

min y =--=-, 当1t =时， 1111max y =+-=. 所以值域为： 514??

-????

，.

答案为： 514??

-????

，.