正方形经典题型(培优提高)

正方形的性质及判定

知识归纳

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点：正方形知识的灵活应用

例题讲解

一、正方形的性质

例1：如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为

F

E D C

B

A

变式1：如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．

正

方形

菱形

矩形平行四边形

变式2：将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为

例2：如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．

E

D

C

B

A

变式1：如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：

AP EF =.

F E

P

D

C

B A

例3：如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=

P

D

C

B

A

变式1：如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒， 则CME CNF ∠+∠= ．

N

M

F

E

D

C

B

A

变式2：如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=

F

E

D

C

B

A

例4：如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：

BE DG =.

G

C F

E

D

B

A

变式1：如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，

CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.

B

D

C

A

E

F

变式2：已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．

（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；

（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四

边形？并说明理由．

例5：若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射

A

B

C

D

E

F E '

G

线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．

变式1：如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ．

⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；

⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个

四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．

图3

图1图2

H D

G

C F

E

B

A

O

H G

F

E

D

C B

A

变式2：如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.

B

O D C

A

Q

P

例6：如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证：DG DA =

G F

E

C D

B

A

变式1：如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数

N

M

D

C

B

A

变式2：如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，

EG 与DF 交于H ，求证：AH =正方形的边长．

H

E

G

C

D

F

B

A

例7：把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

G

C

H

F E

D

B A

变式1：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.

l

P

M F

E D

C B

A