RSA公钥密码系统
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自 1994 年四季度起，我国 CHINAPAC 网加大了宣传力度并实行 了一系列优惠措施。1995 年．使用 E-Mail 的用户迅速增加．数据通 讯中的信息加密开始在我国民间受到重视。由于 DES 数据加密标准 算法较早传人我国，相对来说掌握此项技术的人也较多．所以相当多 的用户使用了 DES 算法。但是 DES 算法的密钥只有 2^56≈7.21e16。 显然有些不足，所以 DES 算法的可靠性一直受到广泛关注。1995 年， 129 位十进制数 RSA129 在 1993 年被成功破译的信息传来后，人们 根据运算工作量估算，对当前速度最快的计算机，穷举搜索这 7.21e16 个密钥大概只需要几天或十几天的时间。又考虑到美国已经提出了第 三方保管密钥的加密标准(The Escrow Encryption Standard 简称为 ‘EES’)采用 80bit 密钥称作 SKIPJACK 的加密算法，欧洲提出了 128bit 密钥处理 64bit 数据块的加密算法称作国际数据加密算法(The
P=U+V，Q=U-V
这就可以提供另一种因子分解方法，若 P，Q 比较接近，U 将稍大于
N ，我们可以计算(int( N )+i)2-N，其中 int()为取整函数，i=0,1,2,…
若找到一个数 r，使当 i=r 时，S=(int( N )+r)2-N 且 S 是一个平方数
时，则
U=int( N )+r，V= S ，问题得到解决。
32262-10332547=10407076-10332547=74529 (273)2
因而 U=3226，V=273 ；从而 P=3226+273=3499，Q=3226-273=2953，P*Q=10332547。 例 2：分解 N=5541953。
N =2354.135…，int( N )=2354 23552-5541953=5546025-5541953=4072 (63.81…)2 这很不容易找到一个是平方数的数，而取 M=3×5541953=16625859
RSA 公钥密码系统
徐厚骏
[摘要] RSA 加密算法是由 Rivest、Shamir 和 Adleman 提出的基于素数理论的密码系统， 是第一个较为成功的公钥密码系统，也是目前应用比较广泛的公钥密码系统，本文较详细地 给出了 RSA 公钥密码系统的证明，同时给出了操作方法和安全性说明。
[关键词] 数据通讯 信息加密 公钥密码系统 RSA 加密算法
4. RSA 公钥密码系统
1978 年 Rivest、Shamir 和 Adleman 提出的公钥密码系统，称为 RSA 公钥密码系统，是第一个较为成功的公钥密码系统，也是目的 应用比较广泛的公钥密码系统，现作一简要的介绍。
4．1 RSA 算法中用到的一些量 (1)大素数(如大于 100 位十进制数)p 和 q(保密的)； (2)n=p×q(公开的)； (3)n 的 Euler 函数Φ(n)=(p-1)×(q-1)(保密的)； (4)与Φ(n)互素的加密密钥 e(公开的)，即 e 满足 gcd{e，Φ(n)}＝ 1； (5)作为解密密钥，选取 e 相对于模Φ(n)的逆元素 d(保密的)， d 满足 d×e≡l (modulo Φ(n))。 4．2 RSA 算法 若以 m 代表明文，c 代表密文，则 (1)加密算法 c≡E(m)≡me (modulo n)，即有 c=mod(me，n)； (2)解密算法 m≡D(c)≡cd (modulo n)，即有 m=mod(cd，n)。 4．3 RSA 算法的证明 只要证明解密算法能恢复明文即可。由于
2×2 !
3×3 !
2．2 同余
模运算：b=mod(a，m)，表示 a 除以 m 的余数为 b。 定义：若 mod(a，m)=mod(b，m)，则可写作 a＝km 十 b，k 为一 整数，我们称 a 和 b 模 m 同余，记作： a≡b (modulo m〕其中 m 称为这个同余式的模。 定理 2：模 m 的同余关系满足 (1) 自反性：即 a≡a (modulo m)； (2) 对称性：即若 a≡b (modulo m)，则 b≡a (modulo m)； (3) 传递性：即若 a≡b (modulo m)，且 b≡c (modulo m)， 则 a≡ c (modulo m)。 定理 3：若 a≡b (modulo m)且 c≡d (modulo m)，则 (1) a±c≡b±d (modulo m)； (2) a×c≡b×d (modulo m)。 定理 4：若 a×c≡b×c (modulo m)且 d=gcd{c，m}， 则 a≡b (modulo m/d)。 2．3 同余类 Euler 函数：在 0、l、2、……m-1 这 m 个数中，和 m 互素的数 的个数称为数 m 的 Euler 函数，表示为Φ(m)。 每个整数，总是与 0、1、2……m-1 这 m 个数中的一个数 r 模 m 同余，且仅和这一个数模 m 同余，所有模 m 和 r(0<=r<=m-1)同余的 整数，组成一个“同余类”，用[r]表示。如果 r 与模数 m 互素，则同 余类[r]中的每个数都与 m 互素，称作同余类[r]与模数 m 互素。所以 模数 m 的 Euler 函数Φ(m)即代表了和模数 m 互素的同余类的数目。 定理 5：若 m1 和 m2 互素，则 Φ(m1×m2)=Φ(ml)×Φ(m2)。 定理 6：若 m=p1a1×P2a2×…×pkak，则 Φ(m)=m×(1-1/P1)×(1-1/p2)×…×(1-1/pk) 若 m 是素数， 则 Φ(m)=m-1。 定理 7：若 a 和 m 互素，则有 aΦ(m)≡1 (modulo m)称作 Euler 定理。 2．4 逆元素 定义：对于一个整数 a，如果存在一个整数 a’，使得 a×a’≡1 (modulo m)，则称 a’是 a 相对于模 m 的逆元素。若 a 和 m 互索，则有 a’=mod(a(Φ(m)-1)，m)。
⒉ 必要的数论知识
2．1 因子分解 素数：只能被 1 和该数自身除尽的整数。 合数：不是 l 且非素数的整数。 最大公因子：若 a 能除尽 b 且 a 也能除尽 c，即 a 是 b 和 c 的公 因子，若 b 和 c 的每个公因子wk.baidu.com能除尽 a，则 a 是 b 和 c 的最大公因 子，表示为：
a=gcd{b，c} 定义：若 gcd{a，b}=士 1。则称 a 和 b 互素。 定理 l：每一个正合数都可表示为正素数的乘积，且当不考虑乘 积的顺序时，表示方法是唯一的。
Internotional Data Encryption Algorithm 简称为‘IDEA’)。另外，使 用三个不同密钥的三重 DES 加密算法也在使用，因此出现了完善现 有加密算法以适应 Internet 和 E-Mail 的要求。经过充分比较，认识到 把公钥密码技术和密钥密码技术相结合，可以获得安全性和高性能的 结合。为此选择了使用临时随机密钥的 DES 算法加密信息，再使用 RSA 算法对 DES 密钥进行数字签名和加密，为了避免冒充，数字签 名是必须的。因此，解决 RSA 算法的关键问题成为这一工作成功的 保证。笔者在实施过程中对其有了一个较全面的了解，现介绍如下。
S(N)=exp(-3.81809+0.88796*sqr(26.411+(N-0.07515)2)-1.10e-1*N+3.70e-3*N2 )
其中 exp(x)为 e 的 x 次幂; sqr(x)为 x 的平方根 。
2．7 指数的模运算 x＝mod(ar，p)算法
这是 RSA 算法中的关键。这里用 N—S 图表示如下。
3. 大数的因子分解
RSA 算法中 n=p×q 是公开的，公鈅 e 是公开的，只要因子分解
n 得出 p 和 q，就可依据 d×e≡l (modulo Φ(n))求出密钥 d，RSA 密
码系统被破解。
如果一个正奇数 N=P*Q，且 P>Q，我们可以写成
N=U2-V2
其中 U=(P+Q)/2， V=(P-Q)/2 ，有
定理 8：若 P 是素数，则 aP≡a (modulo P)称作 Fermat 定理。 注意：满足 Fermat 定理的数 P，并不全为素数。 2．5 素数的概率检验法 定义：对于一个正奇数 m 和非负整数 t，可得到一个正奇数 n＝2t ×m+1，若存在正整数 a，使得 am≡l (modulo n) 或者同时存在一个非负整数 h，0<=h<=t-1，使得 a(2^h×m)≡-1 (modulo n)，(其中 2^h=2h) 则称 n 关于 a 通过 Miller 检验。 定理 9：对于正整数 p，有任意正整数 a，若 gcd{p，a}=l，且满 足 Fermat 定理(定理 8)，即 aP≡a (modulo P)，则 p 关于 a 通过 Miller 检验。 Rabin 素数概率捡验法：若 p 是正整数，随机选取 k 个小于 p 的 不同正整数，如若关于这 k 个数 Miller 检验全部通过，则 p 是合数的 概率为(1/4)k [1]。 由此可见，当 k 足够大时．p 是素数的出错概率只是一个微小的 数，例如若 k=166，可知(1/4)166=1.14e-100，已经非常之小。这是产 生素数的主要方法。 2．6 强素数 强素数是满足某些特性的素数， 定义：一个正整数 P，如果 P 和(P-1)/2 都是素数，则称 P 为强 素数。例： 5，7，11，23，47 等是强素数； 2147481143 也是强素数，因为(2147481143-1)/2=1073740571 也 是素数。 2147483579 也是强素数，因为(2147483579-1)/2=1073741789 也 是素数。 强素数是无限多的。小于整数 N 的强素数数量 S 可用以下近似 式计算：
素数的个数是无限的，不大于正整数 N 的素数个数 P，有比较精 确的近似式如下：
P = Li( N )− 1 Li( N ) 2
其中
x dt
L i(
x
)
=
∫
2
ln(
t
)
展开式为：
Li( x ) = ln(ln( x )) + ln( x ) + (ln( x ))2 + (ln( x ))3 + …
⒈ 前言
我国的因特网(Internet)现已经发展到商业网，E-Mail 已广为应 用，另外还有三金工程，各部门、各行业、各省市的行业网、地区网 的建成，数据传输比当年 CHINAPAC 网的应用更为普遍。金融、商 业、政府等的通信对保密的要求愈来愈高，从而激起了对数据通讯中 的信息加密研究的热情。从商业角度来说，DES 是一个很好的加密算 法，而为了提高安全性和避开传递密钥的麻烦，人们广泛地使用临时 随机密钥，这需要用 RSA 算法对其密钥加密。RSA 公钥密码系统由 于加密密钥公开，为信息加密带来了极大的方便，更由于 RSA 加密 算法可以方便地实现数字签名，在网络通信高度发达的今天，意义更 加显得突出。
例 1：分解 N=10332547。
N =3214.428…，int( N )=3214
32152-10332547=10336225-10332547=3678 (60.646…)2
32162-10332547=10342656-10332547=10109 (100.54…)2
……
32252-10332547=10400625-10332547=68078 (260.91…)2
M =4077.48…，int( M )=4077 40782-16625859=16630084-16625859=4225 (65)2 计算 gcd{65+4078，16625859}=gcd{4143，16625859}=4013 5541953/4013=1381；即 P=4013，Q=1381，P*Q=4013*1381=5541953。 上述概念可进一步拓广为：若存在 U>V，且 U2≡V2 (modulo N) 可从求 gcd(U+V，N) 或 gcd(U-V，N) 而得出 N 的因数。
P=U+V，Q=U-V
这就可以提供另一种因子分解方法，若 P，Q 比较接近，U 将稍大于
N ，我们可以计算(int( N )+i)2-N，其中 int()为取整函数，i=0,1,2,…
若找到一个数 r，使当 i=r 时，S=(int( N )+r)2-N 且 S 是一个平方数
时，则
U=int( N )+r，V= S ，问题得到解决。
32262-10332547=10407076-10332547=74529 (273)2
因而 U=3226，V=273 ；从而 P=3226+273=3499，Q=3226-273=2953，P*Q=10332547。 例 2：分解 N=5541953。
N =2354.135…，int( N )=2354 23552-5541953=5546025-5541953=4072 (63.81…)2 这很不容易找到一个是平方数的数，而取 M=3×5541953=16625859
RSA 公钥密码系统
徐厚骏
[摘要] RSA 加密算法是由 Rivest、Shamir 和 Adleman 提出的基于素数理论的密码系统， 是第一个较为成功的公钥密码系统，也是目前应用比较广泛的公钥密码系统，本文较详细地 给出了 RSA 公钥密码系统的证明，同时给出了操作方法和安全性说明。
[关键词] 数据通讯 信息加密 公钥密码系统 RSA 加密算法
4. RSA 公钥密码系统
1978 年 Rivest、Shamir 和 Adleman 提出的公钥密码系统，称为 RSA 公钥密码系统，是第一个较为成功的公钥密码系统，也是目的 应用比较广泛的公钥密码系统，现作一简要的介绍。
4．1 RSA 算法中用到的一些量 (1)大素数(如大于 100 位十进制数)p 和 q(保密的)； (2)n=p×q(公开的)； (3)n 的 Euler 函数Φ(n)=(p-1)×(q-1)(保密的)； (4)与Φ(n)互素的加密密钥 e(公开的)，即 e 满足 gcd{e，Φ(n)}＝ 1； (5)作为解密密钥，选取 e 相对于模Φ(n)的逆元素 d(保密的)， d 满足 d×e≡l (modulo Φ(n))。 4．2 RSA 算法 若以 m 代表明文，c 代表密文，则 (1)加密算法 c≡E(m)≡me (modulo n)，即有 c=mod(me，n)； (2)解密算法 m≡D(c)≡cd (modulo n)，即有 m=mod(cd，n)。 4．3 RSA 算法的证明 只要证明解密算法能恢复明文即可。由于
2×2 !
3×3 !
2．2 同余
模运算：b=mod(a，m)，表示 a 除以 m 的余数为 b。 定义：若 mod(a，m)=mod(b，m)，则可写作 a＝km 十 b，k 为一 整数，我们称 a 和 b 模 m 同余，记作： a≡b (modulo m〕其中 m 称为这个同余式的模。 定理 2：模 m 的同余关系满足 (1) 自反性：即 a≡a (modulo m)； (2) 对称性：即若 a≡b (modulo m)，则 b≡a (modulo m)； (3) 传递性：即若 a≡b (modulo m)，且 b≡c (modulo m)， 则 a≡ c (modulo m)。 定理 3：若 a≡b (modulo m)且 c≡d (modulo m)，则 (1) a±c≡b±d (modulo m)； (2) a×c≡b×d (modulo m)。 定理 4：若 a×c≡b×c (modulo m)且 d=gcd{c，m}， 则 a≡b (modulo m/d)。 2．3 同余类 Euler 函数：在 0、l、2、……m-1 这 m 个数中，和 m 互素的数 的个数称为数 m 的 Euler 函数，表示为Φ(m)。 每个整数，总是与 0、1、2……m-1 这 m 个数中的一个数 r 模 m 同余，且仅和这一个数模 m 同余，所有模 m 和 r(0<=r<=m-1)同余的 整数，组成一个“同余类”，用[r]表示。如果 r 与模数 m 互素，则同 余类[r]中的每个数都与 m 互素，称作同余类[r]与模数 m 互素。所以 模数 m 的 Euler 函数Φ(m)即代表了和模数 m 互素的同余类的数目。 定理 5：若 m1 和 m2 互素，则 Φ(m1×m2)=Φ(ml)×Φ(m2)。 定理 6：若 m=p1a1×P2a2×…×pkak，则 Φ(m)=m×(1-1/P1)×(1-1/p2)×…×(1-1/pk) 若 m 是素数， 则 Φ(m)=m-1。 定理 7：若 a 和 m 互素，则有 aΦ(m)≡1 (modulo m)称作 Euler 定理。 2．4 逆元素 定义：对于一个整数 a，如果存在一个整数 a’，使得 a×a’≡1 (modulo m)，则称 a’是 a 相对于模 m 的逆元素。若 a 和 m 互索，则有 a’=mod(a(Φ(m)-1)，m)。
⒉ 必要的数论知识
2．1 因子分解 素数：只能被 1 和该数自身除尽的整数。 合数：不是 l 且非素数的整数。 最大公因子：若 a 能除尽 b 且 a 也能除尽 c，即 a 是 b 和 c 的公 因子，若 b 和 c 的每个公因子wk.baidu.com能除尽 a，则 a 是 b 和 c 的最大公因 子，表示为：
a=gcd{b，c} 定义：若 gcd{a，b}=士 1。则称 a 和 b 互素。 定理 l：每一个正合数都可表示为正素数的乘积，且当不考虑乘 积的顺序时，表示方法是唯一的。
Internotional Data Encryption Algorithm 简称为‘IDEA’)。另外，使 用三个不同密钥的三重 DES 加密算法也在使用，因此出现了完善现 有加密算法以适应 Internet 和 E-Mail 的要求。经过充分比较，认识到 把公钥密码技术和密钥密码技术相结合，可以获得安全性和高性能的 结合。为此选择了使用临时随机密钥的 DES 算法加密信息，再使用 RSA 算法对 DES 密钥进行数字签名和加密，为了避免冒充，数字签 名是必须的。因此，解决 RSA 算法的关键问题成为这一工作成功的 保证。笔者在实施过程中对其有了一个较全面的了解，现介绍如下。
S(N)=exp(-3.81809+0.88796*sqr(26.411+(N-0.07515)2)-1.10e-1*N+3.70e-3*N2 )
其中 exp(x)为 e 的 x 次幂; sqr(x)为 x 的平方根 。
2．7 指数的模运算 x＝mod(ar，p)算法
这是 RSA 算法中的关键。这里用 N—S 图表示如下。
3. 大数的因子分解
RSA 算法中 n=p×q 是公开的，公鈅 e 是公开的，只要因子分解
n 得出 p 和 q，就可依据 d×e≡l (modulo Φ(n))求出密钥 d，RSA 密
码系统被破解。
如果一个正奇数 N=P*Q，且 P>Q，我们可以写成
N=U2-V2
其中 U=(P+Q)/2， V=(P-Q)/2 ，有
定理 8：若 P 是素数，则 aP≡a (modulo P)称作 Fermat 定理。 注意：满足 Fermat 定理的数 P，并不全为素数。 2．5 素数的概率检验法 定义：对于一个正奇数 m 和非负整数 t，可得到一个正奇数 n＝2t ×m+1，若存在正整数 a，使得 am≡l (modulo n) 或者同时存在一个非负整数 h，0<=h<=t-1，使得 a(2^h×m)≡-1 (modulo n)，(其中 2^h=2h) 则称 n 关于 a 通过 Miller 检验。 定理 9：对于正整数 p，有任意正整数 a，若 gcd{p，a}=l，且满 足 Fermat 定理(定理 8)，即 aP≡a (modulo P)，则 p 关于 a 通过 Miller 检验。 Rabin 素数概率捡验法：若 p 是正整数，随机选取 k 个小于 p 的 不同正整数，如若关于这 k 个数 Miller 检验全部通过，则 p 是合数的 概率为(1/4)k [1]。 由此可见，当 k 足够大时．p 是素数的出错概率只是一个微小的 数，例如若 k=166，可知(1/4)166=1.14e-100，已经非常之小。这是产 生素数的主要方法。 2．6 强素数 强素数是满足某些特性的素数， 定义：一个正整数 P，如果 P 和(P-1)/2 都是素数，则称 P 为强 素数。例： 5，7，11，23，47 等是强素数； 2147481143 也是强素数，因为(2147481143-1)/2=1073740571 也 是素数。 2147483579 也是强素数，因为(2147483579-1)/2=1073741789 也 是素数。 强素数是无限多的。小于整数 N 的强素数数量 S 可用以下近似 式计算：
素数的个数是无限的，不大于正整数 N 的素数个数 P，有比较精 确的近似式如下：
P = Li( N )− 1 Li( N ) 2
其中
x dt
L i(
x
)
=
∫
2
ln(
t
)
展开式为：
Li( x ) = ln(ln( x )) + ln( x ) + (ln( x ))2 + (ln( x ))3 + …
⒈ 前言
我国的因特网(Internet)现已经发展到商业网，E-Mail 已广为应 用，另外还有三金工程，各部门、各行业、各省市的行业网、地区网 的建成，数据传输比当年 CHINAPAC 网的应用更为普遍。金融、商 业、政府等的通信对保密的要求愈来愈高，从而激起了对数据通讯中 的信息加密研究的热情。从商业角度来说，DES 是一个很好的加密算 法，而为了提高安全性和避开传递密钥的麻烦，人们广泛地使用临时 随机密钥，这需要用 RSA 算法对其密钥加密。RSA 公钥密码系统由 于加密密钥公开，为信息加密带来了极大的方便，更由于 RSA 加密 算法可以方便地实现数字签名，在网络通信高度发达的今天，意义更 加显得突出。
例 1：分解 N=10332547。
N =3214.428…，int( N )=3214
32152-10332547=10336225-10332547=3678 (60.646…)2
32162-10332547=10342656-10332547=10109 (100.54…)2
……
32252-10332547=10400625-10332547=68078 (260.91…)2
M =4077.48…，int( M )=4077 40782-16625859=16630084-16625859=4225 (65)2 计算 gcd{65+4078，16625859}=gcd{4143，16625859}=4013 5541953/4013=1381；即 P=4013，Q=1381，P*Q=4013*1381=5541953。 上述概念可进一步拓广为：若存在 U>V，且 U2≡V2 (modulo N) 可从求 gcd(U+V，N) 或 gcd(U-V，N) 而得出 N 的因数。