高等数学-对坐标的曲线积分
高等数学第十章曲线积分
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L
曲线积分与曲面积分
I2(2x yy2z)dx d2 y xyd x dd x(y 2x)d yy
1
D xy
a a2 x2
(3) I x2zdy d(xz2yz3)dz d(2xxy y2z)dxdy I1I2
2020/6/10
>> syms a x y z s r t >>P=x*z^2; >>Q=x^2*y-z^2; >>R=2*x*y+y^2*2; >>f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z); >>f=subs(f,{x,y,z},{'r*sin(s)*cos(t)',
逆时针方向。
2 、计算下列曲面积分
2020/6/10
(1) (2xy2x2xz)ds，其中Σ为平
(2) 面2x+2y+z=6在处一卦限中的部分.
(2) x2 y2zdxdy,其中Σ是球面x2+y2+z2=R2
的下半部分的下侧。
(3) xdydzydzdxzdx，d其y 中Σ是界于
z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9 的整个表面的外侧。
R[x(t),y(t),z(t)]z(t)}dt
[例2]计算∫Γx3dx+3zy2dy-x2ydz，其中 Γ是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0）
的直线段 AB 。
2020/6/10
[解]直线段 AB 的方程为 x y z
321
x 3t
化为参数方程
y
2t
t：1→0
z t
x3dx3zy2dyx2ydz
y=rsint; (4)将曲面积分化为对r,t的二次积分
高等数学 第二节 对坐标的曲线积分
第十一章 第二节
9
定积分的定限原则：起点对下限，终点对上限， 下限不一定小于上限。 {P[(t) , (t)](t) Q[(t) , (t)] (t)}dt 其他情形
(1) L : y y( x) ( x : a b)
b
L Pdx Qdy a {P[x , y( x)] Q[x , y( x)]y( x)}dx
(可推广到空间曲线 上)
第十一章 第二节
16
L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds : x (t) , y (t) , z (t) (t : a b)
Γ 上点( x , y , z)处的切向量的方向角为 , ,
则 Γ Pdx Qdy Rdz Γ (P cos Q cos Rcos )ds
n
3) “求和” W P (k , ηk )Δxk Q(k , ηk ) Δyk
k1 n
4) “取极限” W
lim 0 k1
P (k , ηk )Δxk Q(k , ηk ) Δyk
为所有小弧段长度的最大值
第十一章 第二节
3
2 定义 设 L 为 xOy 平面内从 A 到 B 的一条有向 光滑弧，在 L 上定义了一个向量值函数
1 引例 变力沿曲线所作的功。 y L
B
设一质点受如下变力作用
F ( x , y) (P( x , y) , Q( x , y))
A
x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B ，
求移动过程中变力所作的功W。
常力沿直线所作的功
F W F AB cos
A
B F AB
第十一章 第二节
L
k
对积分域 的可加性
高数第十一章复习
曲线积分
习题课
高等数学
1
知识梳理 一、 两类曲线积分
定义 对弧长的曲线积分 ∫ f ( x, y)ds
L
对坐标的曲线积分
∫ P( x, y)dx = lim ∑P(ξ ,η )∆x λ
L →0
n
= lim∑ f (ξi ,ηi )∆Si
λ→0
i =1
n
∫ Q( x, y)dy = lim ∑Q(ξ ,η )∆y λ
（7）求 ）
其中
是以 点 A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) 为 y
B (0,1)
顶点的三角形的正向边界曲线. 顶点的三角形的正向边界曲线 解 上式积分 =
C (-1,0) o
x
A(1,0)
由格林公式，得 由格林公式，
高等数学
13
例2.螺旋形弹簧一圈的方程为 螺旋形弹簧一圈的方程为
二、四个等价命题
条件：在单连通区域 内 条件：在单连通区域G内，函数P ( x , y ) , Q ( x , y ) 具有一阶 连续偏导数 以下四个命题等价： 以下四个命题等价： 内与路径无关； 1 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在G 内与路径无关；
L
2
∫
∂Q ∂P 3 在 G 内恒成立 内恒成立; = ∂x ∂y 4 Pdx + Qdy = du( x , y ), 即Pdx + Qdy 为某一 u( x , y )的全微分 的全微分.
此时不能用格林公式
2 xy − 3 y x 2 − 5x dx + 2 dy 解 ∫ 2 2 2 x +y L x + y 1 = 2 ∫ (2 xy − 3 y )dx + (x 2 − 5 x )dy a L 1 = 2 ∫∫ [(2 x − 5 ) − (2 x − 3 )]dxdy a x 2 + y 2 ≤a 2
D8.1_曲线积分_习题课
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
y
C
这说明积分与路径无关, 故
L
2
I
AB a 2 x dx a
( x y ) d x ( y x ) dy
2
B
o
Ax
解法2 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
I
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( xz
B
利用对称性
3
AB AB
y d x z d y xdz xd z
3
A x
o
C y
3 (1 z )d z
0
1
考研真题
1. （数学一 2010）
已知曲线 L 的方程为 y 1 x (x [1,1]) 起点是 (1, 0), 终点是 (1, 0), 则曲线积分 xydx x 2dy =
I 2 ( x y y ) d x ( y 2 x) d y
2
2
L
练习题:
1. 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
x
提示:
I e sin y d x (e cos y 2)d y 2 y d x
x L L
L AB
AB
2 yd x
L
y
2 为从点 A(3, ) 到 B(1,2) 的直线段。 3 13 2 1 4 2 解: ∴原式= 3 [1 f ( x)]dx 2 2 [y2f (y) 1]dy 2 9 3 3 y
2 3 2 2 1 [ f ( x)]dx 2 [ f ( y) 2 ]dy 3 2 3 3 y 3 1
高等数学第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分
(1)沿圆弧, (2)沿X轴.
解(1)沿圆 L1弧 :
Bo
x acos y asin
:0
L 1y 2 d x 0 a 2 s2 in a s in d
4 3
a
3
.
Ax
(2)沿X轴,
L2 :
x t y 0
t:a a.
L 2y2dxa a0dt0. 积分路径,积 不分 同值.不 24
例 8I L x 2 d x xy ,L 是 dy由 y x 抛 2 从 (0 ,0 物 )
两类曲线积分之间的关系 :
L F d L P d x Q d y R d z
前页公式:
d
t d
LF
t
d
第二类曲线积分
L F
t
d L P co Q c so R c so d s
zm 1 Lz(x,y,z)ds
m 10 2 k t a 2 k 2 t2 a 2 k 2dt
15
如果 L是平面(极 曲坐 线 ):标
r r ( )
则 xy rr(())csions
L
rd
dr d
d r
o
x
d ( r co r ss i ) 2 n ( r si r n c) o 2 ds
W 1 L y d x x d y ( x y z ) d z
终点B 起点A
0 2 y x x y (x y z )z d t
19
W1 0 2 0 2 (a y s x ti) x ( n y a s (x ti) n y (a c z )z to ) ( d a tc sto ) L : s x yz aa 2cc st in o tt
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
高等数学同济六版第十章10-2
取 F (ξ i ,η i ) = P (ξ i ,η i ) i + Q (ξ i ,η i ) j ,
∆Wi ≈ F (ξ i ,η i ) ⋅ M i −1 M i ,
y
F(ξi ,ηi )
B
L
A
M2 M1
Mi−1 x i ∆
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
y
变力沿曲线所作的功
L : A → B,
F ( x , y) = P ( x , y)i + Q ( x, y) j
B
L
A
M2 M1
Mi−1 xi ∆
∆yi
Mi Mn−1
常力所作的功 W = F ⋅ AB . o
x
分割 A = M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),⋯ , M n−1 ( x n−1 , y n−1 ), M n = B .
n
n
性质 (1) 如α 与β 是 常数 则 常数,则
∫L [α F 1 ( x , y ) + β F 2 ( x , y )] ⋅ d r = α ∫ F 1 ( x , y )d r + β ∫ F 2 ( x , y )d r L L
( 2) 若有向曲线弧 L可分成两段光滑的有向 曲线弧 L1和 L2 , 则
i =1
n
精确值
定义
设L为 xoy面内从点 A到点 B的一条有
向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q ( x , y )在 L 上有界 . 用 L上的点 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), ⋯ , M n−1 ( xn−1 , yn−1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i −1 M i ( i = 1,2,⋯, n; M 0 = A, M n = B ). 设∆xi = xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 , 点( ξ i , ηi )为 M i −1 M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 λ → 0时 ,
《高等数学教学课件》2011 第二节 第二型曲线积分
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数
高等数学9-2第二类曲线积分(2)
特殊情形
(1) L : y y( x )
b L a
x起点为a，终点为b.
则 Pdx Qdy { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx.
( 2) L : x x ( y )
d L c
y起点为c，终点为d .
则 Pdx Qdy { P[ x ( y), y]x ( y) Q[ x ( y), y]}dy.
(2) L－ 表示 L 的反向弧
k
i 1
L i P( x, y)d x Q( x, y)d y
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
第二型曲线积分必须注意积分曲线弧段的方向!
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3. 计算
x (t ) • 对有向光滑弧 L : , t : y (t )
曲线积分
对弧长的曲线积分
定 义
对坐标的曲线积分
L
f ( x, y )ds
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
LPdx Qdy
L f ( x, y )ds
计
f [, ] dt
2 2
[ P (, ) Q(, )]dt
解 (1) 化为对 x 的积分.
B(1,1)
L : y x , x从0变到1,
2
y x2
原式 ( 2 x x 2 x 2 2 x )dx
0
1
4 x 3 dx 1.
0
1
A(1,0)
( 2) 化为对 y 的积分.
x y2
高等数学对坐标的曲面积分
cos
1 1 x2 y2
(z2 x)( x)dxdy
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
dxdy
cos
对坐标的曲面积分
(z2 x)dydz (z2 x)( x)dxdy
(z2 x)由dy对dz称性zdxdy
z 1(x2 y2)
[(z2 x14)x((xx2 )yz2 )]d2dxxddyy 0
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)cos dS
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )dS
其中cos、cos 、cos 是有向曲面Σ在点 ( x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 不论哪一侧都成立.
对坐标的曲面积分
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
对坐标的曲面积分
Dxy : x2 y2 1( x 0, y 0)
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环
行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以
爬到任何一点去.
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为 有向曲面.
i 1
2. 存在条件
当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在有向光滑
高等数学下册第十一章习题答案详解
高等数学下册第十一章习题答案详解1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0LP x y x =⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：(,)d (,0)d bLaP x y x P x x =⎰⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周()222x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3）d d Ly x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π2的一段弧； （4）22()d ()d Lx y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5）2d d d x x z y y z +-⎰Γ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0到π的一段弧；（6） 322d 3d ()d x x zy y xy z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；（7）d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里AB C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)，，；（8）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x xz y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415L x xy x y xy yx x x x x x x xxx x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4. 计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 分别是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； （4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到0,Bb （）,求力所做的功. 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6. 计算对坐标的曲线积分：（1）d xyz z ⎰Γ,Γ为2221x y z ++=与z y =相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ卦限；（2）222222(-)d ()d ()d y z x z x y x y z +-+-⎰Γ,Γ为2221x y z ++=在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分. 方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2sin cos d 2sin 2d 21cos 4d 22πxyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰ 习题11-31. 应用格林公式计算下列积分：（1）(24)d (356)d Lx y x x y y -+++-⎰,其中L 为三顶点分别为()()0,0,3,0和(32)，的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin e )d (sin 2e )d x x Lx y x xy x y x x x y y +-+-⎰,其中L 为正向星形线222333x y a +=0a >（）；（3）3222(2cos )d (12sin 3)d Lxy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22πx y =上由点0,0（）到点π,12⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧； （4）22()d (sin )d Lxy x x y y --+⎰,其中L 是圆周22y x x =-上由点0,0（）到()1,1的一段弧；（5）(e sin )d (e cos )d x x Ly my x y m y -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(),0a 到0,0（）经过圆22x y ax +=上半部分的路线（a 为正数）.图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则2cos 2sin 2e x P x x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂．从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d dcos2sin e sin2ed d++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x xLDx yx y x xy x y x x yQ Px yx y(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cos x，Q=1-2y sin x+3x2y2262cosPxy y xy∂=-∂，262cosQxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d0L OA AB DQ PP x Q y x yx y-++∂∂⎛⎫-+==⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π2122001222d d d dd d d dππd d12sin3243d12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅⎪⎝⎭⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L OA ABOA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy yyy y(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO DQ PP x Q y x yx y而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a xm m m a xm a2. 设a 为正常数，利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1） 星形线 33cos ,sin ;x a t y a t == （2） 双纽线 22cos2;r a θ= （3） 圆 22x y ax ++=解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ． 于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 3. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： （1）(1,1)(0,0)()(d d )x y x y --⎰；（2）(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰；（3）(1,2)2(1,1)d d y x x yx +⎰沿在右半平面的路径； （4）(6,8)(1,0)⎰.证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y∂=-∂，2123Qxy y x∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q ，且P Qy x∂∂==∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰4．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个函数(),u x y :（1）()()2d 2d x y x x y y +++；（2）22d d xy x x y +;（3）223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++（）（）； （4）222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-（）（）. 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Qx xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyyy y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂， 有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数。
高等数学之曲线积分的计算方法总结
⾼等数学之曲线积分的计算⽅法总结
在考研数学中，曲线积分数学⼀重要考点之⼀，每年必考，并且时常考⼀道⼤题和⼀道⼩题，因此⼀定要掌握其基本计算⽅法和技巧。
下⾯我总结第⼀类曲线积分和第⼆类曲线积分的⼀些基本的计算⽅法，供各位考⽣参考。
对弧长的线积分计算常⽤的有以下两种⽅法：
（1）直接法：
（2）利⽤奇偶性和对称性
平⾯上对坐标的线积分（第⼆类线积分）计算常⽤有以下四种⽅法：
（1）直接法
（2）利⽤格林公式
注：应⽤格林公式⼀定要注意以下两点：
a.P(x,y),Q(x,y)在闭区间D上处处有连续⼀阶偏导数
b.积分曲线L为封闭曲线且取正向。
（3）补线后⽤格林公式
若要计算的线积分的积分曲线不封闭，但直接法计算不⽅便时，此时可补⼀条曲线，使原曲线变成封闭曲线。
（4）利⽤线积分与路径⽆关性
题型⼀：对弧长的线积分（第⼀类线积分）
例1：
解法⼀：利⽤直⾓坐标⽅程计算
解法⼆：利⽤参数⽅程计算
题型⼆：对坐标的线积分（第⼆类曲线积分）计算
例2：
解题思路：本题中积分路径L为封闭曲线，⾸先考虑格林公式，容易验证被积函数在L围成区域上满⾜格林公式条件。
解：。
高等数学：对坐标的曲面积分
解: 利用对称性.
y
原式 3(z x)d x d y
x
的顶部
1
:z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
的底部
2 : z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
2 (z x)d x d y
Dx
y
(
a 2
x)d
x
d
y
3aDx y d x d y
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例 2 计算 xyzdxdy
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一、填空题:
练习题
1、 Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx
=_______________________.
2、第二类曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy化成第 一类曲面积分是__________，其中 , , 为有向
{[1 ( x2 y2 ) x] ( x) 1 ( x2 y2 )}dxdy
4 Dxy
2
[ x2 1 ( x2 y2 )]dxdy
Dxy
2
2
d
2 (r 2 cos2 1 r 2 )rdr
8.
0
0
2
六、小结
1.对坐标曲Βιβλιοθήκη 积分的物理意义 2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点 a.曲面的侧 b.“一投,二代,三定号”
内容小结
1. 两类曲面积分及其联系
定义:
n
•
f
( x,
y,z)d S
lim f
0 i1
对坐标的曲线积分的计算方法_高等数学(下册)_[共4页]
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153 曲线积分第10章是定义在L 上的向量场，那么根据曲线积分的定义和物理意义易知：(,)d (,)d L P x y x Q x y y +∫()()d cos cos d L L P Q s αβ==++∫∫i F s i j i j ()cos cos d L P Q s αβ=+∫.即 (,)d (,)d L P x y x Q x y y +∫()cos cos d LP Q s αβ=+∫. 类似的，有 (,,)d (,,)d (,,)d P x y z x Q x y z y R x y z z Γ++∫()cos cos cos d P Q R s αβγΓ=++∫. 其中(,,)cos cos cos x y z αβγ=++i j k τ是有向曲线Γ上点(,,)x y z 处与Γ方向一致的单位切向量．4．对坐标的曲线积分的性质根据对坐标的曲线积分定义，容易推导出对坐标的曲线积分的如下性质． 性质1 设L 由1L 和2L 两段光滑有向曲线组成（记为L =12L L +），则1212d d d d d d L L L L P x Q y P x Q y P x Q y ++=+++∫∫∫. 性质2 设L 是有向曲线弧段, L −是与L 方向相反的有向曲线弧段，则d d d d L LP x Q y P x Q y −+=−+∫∫. 10.2.2 对坐标的曲线积分的计算方法定理10.2.1 设曲线L 的参数方程为()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，当参数t 单调地从α变到β时，对应地点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 移动到终点B ，其中函数()x t ,()y t 在以α和β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22()()0x t y t ′′+≠，若函数(,)P x y ,(,)Q x y 在曲线L 上连续，则曲线积分(,)d (,)d L P x y x Q x y y +∫存在，且[][]{}(,)d (,)d (),()()(),()()d L P x y x Q x y y P x t y t x t Q x t y t y t t βα′′+=+∫∫.证 因为 (,)d (,)d d (,)d L L L P x y x Q x y y x y s +==∫∫∫i i τF s F ,其中 (,)(,)P x y Q x y =+F i j，d s t =.而曲线L 上点(,)x y 处与L 方向一致的单位切向量d (,)d x y s ′′==s j τ.因为点(,)x y 处的有向弧元素 ()d (,)d ()()d x y s x t y t t ′′==+s i j τ.故(,)d (,)d L P x y x Q x y y +∫()()d ()()d L P Q x t y t t βα′′==++∫∫i F s i j i j[][]{}(),()()(),()()d P x t y t x t Q x t y t y t t βα′′=+∫。
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L
M ykk B
Mxk k1
A
x
则有
Wk F(k , k ) M k1M k F(x, y) (P(x, y), Q(x, y))
P(k , k )xk Q(k , k )yk
4
3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
L
其中L :沿y x2从点O(0,0)到B(1,1)
解 : L中任一点(x, y)处切向量(沿OB向)
T {1,2x} 方向余弦
cos 1 , cos 2x .
1 4x2
1 4x2
x x
y
x2
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y) 2xQ(x, y) ds
xe
x
d
x
201
x
1e2x
d
x
1 2
e2
7
12
例2. 求
其中 从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程
x cos t, y sin t, z 2 cost sin t ( t : 2 0)
z
(2 2cost sin t) cost
2 (1 4cos2 t) d t 2 0 13
F(x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
7
1).存在条件： 当P(x, y), Q(x, y)在光滑曲线弧 L 上连续时, 第二类曲线积分存在 .
2).组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
9
二、对坐标的曲线积分的计算法
思想方法： 统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
连续,
L
的参数方程为
x y
(t) (t)
t : , 则曲线积分
存在, 且有
P[ (t), (t)](t) Q[ (t), (t)] (t)d t
0
k
1
P(ξk
,
ηk
)Δxk
Q(ξk ,
ηk
)Δyk
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F(k , k )
L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M ykk B
Mxkk1
A
x
5
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
22
L
L
1 4x2
19
例2. 将积分
化为对弧长的积
分, 其中L 沿上半圆周
解： y
2x x2, d y
1 x d x 2x x2
y
ds 1 y2 dx 1 dx 2x x2
o
Bx
2x x2,
1 x
L P(x, y) dx Q(x, y) dy
2x x2
20
(1 x)
例3. 设 连续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
证明：
x t d x tdt y t d y tdt
利用变量代入法可得上式 左边＝右边
10
特别是, 如果 L 的方程为 y (x), x : a b, 则
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x) dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
ds
则两类曲线积分有如下联系
A
x
L P(x, y) d x Q(x, y) d y
0
l
0
P
[x(s),
y(s)]cos
Q[x(s),
y(s)]cos
ds
P(x, y) cos Q(x, y) cos ds
L
17
类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
P d x Q d y R d z
动过程中变力所作的功W.
常力沿直线所作的功
F W F AB cos
A
B F AB
解决办法: “大化小” “常代变” “近似和” “取极限”
3
1) “大化小”.
把L分成 n 个小弧段, F 沿
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
y F(k , k )
z C(0,0,1)
y z 1
I
0
2dx
1
0
1
(1
y)dy
1
0
dx
2
(1
1) 2
1
A(1,0,0) x
o
B(0,1,0) y
x y 1
16
三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 B
已知L切向量的方向余弦为
y
dS dy
M
cos dx , cos dy
dx
ds
L
OA
AB
BO
OA: y 0 d y 0 0 x 1
A 0x
AB : x 1 d x 0 0 y 2 BO : y 2x d y 2d x x : 1 0
I 1exd x 2 2eyd y 0[2x 1ex 2x 1e2x ]d x
0
0
1
2
2eyd y
0
2
1 0
在L上
证:
L P cos Q cos ds
L P cos Q cos ds
设 A (P, Q), t (cos ,cos )
二者夹角为
L A t ds L A cos ds
说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
21
作业 P200 3 4, 6, 8; 4 1, 3; 5 ; 72; 8
z (t)
P[
(t
),
(t
)
,
(t
)]
(t)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)] (t) d t
11
例1：计算：I L y 1exd x x 1e yd y
其中L 为折线 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2).
yB
解：
高等数学
第二节
第十一章
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
2
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F(x, y) (P(x, y), Q(x, y))
A
x
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移
称为对
x
的曲线积分;
n
L
Q(x,
y)dy
lim
0
Q( k
k 1
,
k
)yk ,
称为对
y
的曲线积分.
若记 d s (d x , dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P(x, y)dx Q(x, y)dy
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , dy , dz)
其中
F
Pi
Qj ,
ds dxi dyj.
8
3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
k
P(x, y)dx Q(x, y)dy
i1 L i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
说明:
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
o
y
x
例3. 设曲线C为曲面
从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ; (2) 计算曲线积分
解: (1)
与曲面
z
ay
14
x
(2) 令
利用“偶倍奇零 ”
15
例5. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算
解: AB d x d y BC d y y d z 0 OA d x
P cos Q cos R cos ds
令 A (P, Q, R), d s (d x , dy , dz)
t (cos , cos , cos )
A d s At ds
记 A 在 t 上的投影为 At
Ad s
18
例1 把 P(x, y)dx Q(x, y)dy化为对弧长的曲线积分,
lim
0
k
1
P(k ,
记作
k
)xk
Q(k
,
k
)yk
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
都存在, 则称此极限为函数
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
6
n
L
P(x,
y)dx
lim
0
P(k
k 1
,
k
)xk ,