部分分式展开法

X (z)
N ( z) D( z)
bm zm an zn
bm1zm1 b1z b0 an1zn1 a1z a0
步骤：
1. 将X(z)除以z，得到
X (z) z
2. 将 X ( z) 展成部分分式，方法同拉氏变换 z
3. 将展开的部分分式乘以z，即得到X(z)的表达式
4. 对各部分分式进行Z反变换
（二）、留数法（围线积分法）
罗伦级数定理
设f（z）在圆环域R1 z z0 R2内处处解析，
那么
f (z) Cn (z z0 )n n
其中
Cn
1
2i
C
(
f
(
z0
) )
n
1
d
(n 0,1,2, )
C为圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。
C1
1
2i C
f
( )d
（二）、留数法（围线积分法）
A0
X ( z )z0
b0 a0
(4.2 3)
于是可得X(z)的反变换为
N
x(n) A0 (n) Ai (zi )n u(n)
i1
（一）、部分分式展开法
二、当X(z)含有一r重极点
X (z)
A0
r Bjz j1 ( z z1) j
N
ir1
Ai z z zi
式中Ai的确定同单极点系数的确定相同
A0 A1 A2
z z(z 1)( z 0.5) z (z 1) (z 0.5)
A0 X ( z)z0 0
（一）、部分分式展开法
A1
( z
1)
X (z) z z1
z
z 0.5z1
2
A2
( z
0.5)
X
(z) z z0.5
z
z 1z0.5
1
X (z) 2z 1 z z 1 z 0.5
所以其反变换为
x(n) 2 u(n) (0.5)n u(n)
（二）、留数法（围线积分法）
留数的定义
设z0 为函数 f(z) 的孤立奇点，那么积分
f (z)dz
C
为与C无关的定值，以2 i除这个积分值，所得的数 叫做在z0的留数。
记作
Re
s[
f
( z ),
z0 ]
1
2i
C
f
(z)dz
C1
Re s X (z)zn1, zi (z zi )X (z)zn1 zzi
2、当z=zi 是r阶极点时
Re s X (z)zn1, zi
1 d r1
(r
1)!
dz
r1
(z zi )r X (z)zn1
zzi
（二）、留数法（围线积分法）
例：求 X (z) 2z2 3z 1 z 5 的Z反变换 (z 1)( z 5)
全部极点
]
0
则有
Re s[F(z),c内全部极点] Re s[F(z),c外全部极点]
求X(Z)的反变换x(n)
X (z) 10 z (z 1)( z 2)
z 2
留数法： 收敛域是圆外区域，所以x(n)是右边序列
1、当n>=0时，X (z)zn1 在c内有两个极点
z1 1, z2 2
解： x(n) Re s[X (z)zn1, Zi ]
i
i
Re
s[
2z2 (z
3z 1 1)(z 5)
z
n1,
Zi
]
当n>=1时，有极点 当n=0时，有极点
z1 1, z2 5 z3 0
（二）、留数法（围线积分法）
Re
s[
X
( z ) z 1,0]
[
z
2z2 (z
3z 1 1)( z 5)
x1(n) Re s[ X (z)zn1,1] Re s[ X (z)zn1,2]
Res[X (z)zn1,1] (z 1)X (z)zn1 z1 10u(n) Re s[X (z)zn1,2] (z 2)X (z)zn1 z2 10 2nu(n)
x1(n) 10(2n 1)u(n)
2、当n<0时，X (z)zn1 在c内有三个极点
z1 1, z2 2, z3 0 （n重极点）
而c外无极点。根据留数辅助定理
Re s[X (z)zn1,c内极点] Re s[X (z)zn1,c外极点] 0
x2(n) 0
因此：
x(n) x1(n) x2(n) 10(2n 1)u(n)
X(z)的反变换的围线积分表示式如下：
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
其中c是包围 X ( z)zn1 所有极点的闭合积分路线
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
Re s X (z)zn1, zi
i
zi是X (z)zn1的极点
（二）、留数法（围线积分法）
1、当z=zi 是一阶极点时
5. 写出原序列x(n)
（一）、部分分式展开法
一、当X(z)只含单极点
X (z) A0 A1 AN
N
Ai
z
z z z1
z zN i0 z zi
N
X (z)
Ai z
i0 z zi
式中zi是单极点，Ai是待定系数（极点zi的 留数）
（一）、部分分式展开法
Ai
( z
zi )
X (z) z zzi
Bj的确定与拉氏变换类似：
Bj
(r
1
j)!
d r j
dzr
j
(z
z1)r
X (z)
z
z z1
（一）、部分分式展开法
例4.2-2 已知
X (z)
Baidu Nhomakorabea
z2
z2 1.5z
0.5
收敛域为 z 1 试求Z的反变换
解：
X
(z)
z2
z2 1.5z
0.5
(z
z2 1)( z
0.5)
X (z)
z2
z 1 ]z 0
1 (n)
5
x(n) 1 (n) [(1)n 6 5n ]u(n 1)
5
5
留数辅助定理
如果围线积分的被积函数F(Z)在整个Z平面上除有限 个极点外都是解析的，且当Z时,F(Z)以不低于二 阶无穷小的速度0,则当围线C的半径趋于无穷大时，
1
2j
c
F
(
z
)dz
Re
s[
F
(
z),
（一）、部分分式展开法
X (z)
N(z) D(z)
bm z m an z n
bm1zm1 b1z b0 an1zn1 a1z a0
因为常用的Z变换对为
(n) 1, z 0
anu(n) z , z a
za
z
所以在对X(z)做部分分式展开时，力求得到形如 z a
的形式
（一）、部分分式展开法