6-空间直角坐标转换解析
空间直角坐标转换之仿射变换（转）
空间直⾓坐标转换之仿射变换（转）空间直⾓坐标转换之仿射变换□/3Echo⼀、引⾔⼯作开发中常常会遇到坐标系转换的问题，关于如何实现不同坐标系之间的转换的论述⾮常之多，基于实际应⽤项⽬，⼤都提出了⼀种较好的解决⽅法。
两年前，我也从⽹上下载了⼀篇⽂章——《坐标系转换公式》（青岛海洋地质研究所戴勤奋译），⽂中对各种变换模型都有详细的描述，如莫洛⾦斯基-巴德卡斯转换模型、赫尔黙特转换模型、布尔莎模型以及多项式转换，算是⼀篇⽐较全⾯介绍坐标系转换⽅⾯的⽂章。
我想⼤家对常⽤转换模型的理解⽅⾯⼀般不会有⼤太困难，如果基于当前流⾏GIS平台（如超图、ArcGIS、MapInfo）的基础上作⼆次开发，我想也不会有什么困难，只要找准了它们提供的接⼝，理顺⼀下思路，我们也能实现⽤户提出的需求。
但是对于内核算法、参数求解的过程我们却⼀⽆所知，很多时候我们⾃⼰觉得解决了这个问题，也就不会太去关注底层实现的算法问题了。
不过，说实话要去真正弄清楚各个模型之间的关系确实是⼀件头痛的事情，没有⼀定的数学功底还真的是不知道它在说些什么。
⼆、仿射变换仿射变换是空间直⾓坐标变换的⼀种，它是⼀种⼆维坐标到⼆维坐标之间的线性变换，保持⼆维图形的“平直线”和“平⾏性”，其可以通过⼀系列的原⼦变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以⽤⼀个3×3的矩阵来表⽰，其最后⼀⾏为(0, 0, 1)。
该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这⾥原坐标和新坐标皆视为最末⼀⾏为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]⽤代数式表⽰如下：x’ = m00*x+m01*y+m02；y’ = m10*x+m11*y+m12；如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：其⽰意图如下：⼏种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每⼀点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是⼀种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产⽣形变的理想物体，平移当然不会改变⼆维图形的形状。
大地坐标及直角空间坐标转换计算公式
大地坐标与直角空间坐标转换计算公式一、参心大地坐标与参心空间直角坐标转换1名词解释：A ：参心空间直角坐标系：a) 以参心0为坐标原点；b) Z 轴与参考椭球的短轴（旋转轴）相重合；c) X 轴与起始子午面和赤道的交线重合；d) Y 轴在赤道面上与X 轴垂直.构成右手直角坐标系0-XYZ ；e) 地面点P 的点位用（X.Y.Z ）表示；B ：参心大地坐标系：a) 以参考椭球的中心为坐标原点.椭球的短轴与参考椭球旋转轴重合；b) 大地纬度B ：以过地面点的椭球法线与椭球赤道面的夹角为大地纬度B ；c) 大地经度L ：以过地面点的椭球子午面与起始子午面之间的夹角为大地经度L ；d) 大地高H ：地面点沿椭球法线至椭球面的距离为大地高H ；e) 地面点的点位用（B.L.H ）表示。
2 参心大地坐标转换为参心空间直角坐标：⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin *])1(*[sin *cos *)(cos *cos *)(2公式中.N 为椭球面卯酉圈的曲率半径.e 为椭球的第一偏心率.a 、b 椭球的长短半径.f 椭球扁率.W 为第一辅助系数ab a e 22-= 或 ff e 1*2-= Wa N B W e =-=22sin *1( XX80椭球参数：长半轴a=6378140±5（m ）短半轴b=6356755.2882m扁 率α=1/298.2573 参心空间直角坐标转换参心大地坐标 []N BY X H H e N Y X H N Z B XY L -+=+-++==cos ))1(**)()(*arctan()arctan(22222 二 高斯投影及高斯直角坐标系1、高斯投影概述高斯-克吕格投影的条件：1. 是正形投影；2. 中央子午线不变形高斯投影的性质：1. 投影后角度不变；2. 长度比与点位有关.与方向无关；3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形.采用分带投影的方法。
坐标转换中的大地坐标系与空间直角坐标系转换公式
坐标转换中的大地坐标系与空间直角坐标系转换公式在测量与地理信息领域，坐标转换是一个非常重要的概念。
它涉及将不同坐标系下的位置互相转换，使得地理空间信息能够得到准确而一致地表达。
而在坐标转换的过程中，大地坐标系与空间直角坐标系的相互转换公式则是至关重要的工具。
大地坐标系是一种常用的坐标系，在地理测量和导航等领域广泛应用。
它采用了经纬度和大地高作为坐标参数，可以精确地描述地球上任意一点的位置。
经度表示东西方向上的位置，纬度表示南北方向上的位置，而大地高则表示相对于海平面的高度。
在大地坐标系下，地球被近似看作一个椭球体，因此大地坐标系也被称为椭球坐标系。
然而，由于大地坐标系的曲线性质，它并不适合直接参与复杂三维计算，尤其是在工程测量中需要使用的情况。
因此，我们需要将大地坐标系转换为空间直角坐标系，以便进行进一步的计算和分析。
空间直角坐标系采用了直角坐标的表示方式，其坐标参数分别为X、Y、Z，可以方便地进行几何运算。
在进行坐标转换时，我们需要采用适当的公式来实现大地坐标系到空间直角坐标系的转换。
下面将介绍两种常用的转换公式。
1. 大地坐标系到空间直角坐标系的转换公式大地坐标系到空间直角坐标系的转换公式可以通过三个连续的旋转和平移变换来实现。
具体而言，我们首先将大地坐标系的原点O与空间直角坐标系原点重合，然后进行三次坐标轴的旋转，使得大地坐标系的纬度线与空间直角坐标系的Z轴重合。
接着，我们对大地坐标系进行一个小角度的旋转，使得大地纬线与空间直角坐标系的Y轴重合。
最后，再进行一个小角度的旋转，将大地经线与空间直角坐标系的X轴重合。
通过以上步骤，即可完成大地坐标系到空间直角坐标系的转换。
2. 空间直角坐标系到大地坐标系的转换公式与大地坐标系到空间直角坐标系的转换相反，空间直角坐标系到大地坐标系的转换需要进行三次逆变换。
即首先将空间直角坐标系的原点与大地坐标系原点重合，然后进行三次逆变换，回到大地坐标系。
为了实现空间直角坐标系到大地坐标系的转换，我们需要利用解析几何的知识。
直角坐标变换公式推导
直角坐标变换公式推导在数学中，直角坐标变换是一种常见的数学操作，用于将一个点在一个直角坐标系下的坐标转换为另一个直角坐标系下的坐标。
直角坐标变换公式的推导是理解这一概念的关键。
1. 二维平面直角坐标变换公式推导假设有两个二维平面直角坐标系，分别为OXY和O′X′Y′，现在需要将点P(x,y)在OXY坐标系下的坐标(x,y)转换为在O′X′Y′坐标系下的坐标(x′,y′)。
设坐标系O′X′Y′相对于OXY坐标系的角度为$\\theta$，则根据几何关系可推导得到直角坐标变换公式如下：$$ x' = x \\cos \\theta - y \\sin \\theta \\\\ y' = x \\sin \\theta + y \\cos\\theta $$这两个公式即是二维平面直角坐标变换的基本公式。
2. 三维空间直角坐标变换公式推导类似地，对于三维空间中的直角坐标变换，假设有两个直角坐标系OXYZ和O′X′Y′Z′，需要将点P(x,y,z)在OXYZ坐标系下的坐标(x,y,z)转换为在O′X′Y′Z′坐标系下的坐标(x′,y′,z′)。
设坐标系O′X′Y′Z′相对于OXYZ坐标系的绕x轴、y轴和z轴的旋转角分别为$\\alpha$、$\\beta$和$\\gamma$，则直角坐标变换公式可推导为：$$ x' = x \\cos \\beta \\cos \\gamma - y(\\cos \\alpha \\sin \\gamma - \\sin \\alpha \\sin \\beta \\cos \\gamma) + z(\\sin \\alpha \\sin \\gamma + \\cos\\alpha \\sin \\beta \\cos \\gamma) \\\\ y' = x \\cos \\beta \\sin \\gamma +y(\\cos \\alpha \\cos \\gamma + \\sin \\alpha \\sin \\beta \\sin \\gamma) -z(\\sin \\alpha \\cos \\gamma - \\cos \\alpha \\sin \\beta \\sin \\gamma) \\\\ z' = -x \\sin \\beta + y \\sin \\alpha \\cos \\beta + z \\cos \\alpha \\cos \\beta $$ 以上公式即是三维空间直角坐标变换的推导结果，应用这些公式可以在不同坐标系下方便地进行坐标转换。
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式空间大地坐标系和平面直角坐标系是两种不同的坐标系统，用于描述地球上的点的位置。
在进行空间大地坐标系与平面直角坐标系之间的转换时，需要考虑到地球的椭球体形状和投影方式。
下面将详细介绍空间大地坐标系与平面直角坐标系的转换方法。
1.空间大地坐标系经度：经度是指地球上特定点与本初子午线之间的角度差，用度、分、秒的形式表示。
纬度：纬度是指地球上特定点距离赤道的角度，用度、分、秒的形式表示。
大地高：大地高是指地球表面特定点到参考椭球体上其中一参考面的高度差，可分为正高和负高。
2.平面直角坐标系平面直角坐标系是以地球上一些基准点为原点建立的二维坐标系。
在平面直角坐标系下，点的位置通常用东方向坐标值X和北方向坐标值Y来表示。
3.空间大地坐标系到平面直角坐标系的转换公式3.1平面直角投影平面直角投影是将地球表面上的点投影到一个水平的平面上。
其转换公式为：X = k₀ + R * cosL * sin(λ - λ₀)Y = k₀ + R * (cosφ₀ * sinL - sinφ₀ * cosL * cos(λ - λ₀))其中，X和Y为平面直角坐标系下的坐标值，L为参考点与待转换点的经度差，λ为待转换点的经度，φ₀为参考点的纬度，λ₀为参考点的经度，k₀为常数，R为参考点到地心的距离。
3.2高斯投影高斯投影是将地球上的点投影到一个平面上，使得该平面上的距离尽可能与大地距离一致。
其转换公式为：X = X₀ + N * cosB * (λ - L₀)Y = Y₀ + N * (tanB * cos(λ - L₀) - sinB * (B - B₀))其中，X和Y为平面直角坐标系下的坐标值，X₀和Y₀为参考点的平面坐标，N为法向子午线长度，B为待转换点的纬度，λ为待转换点的经度，L₀为参考点的经度，B₀为参考点的纬度。
4.平面直角坐标系到空间大地坐标系的转换公式平面直角坐标系到空间大地坐标系的转换公式为空间大地坐标系到平面直角坐标系的逆运算，可以通过解方程组或迭代法来进行计算。
空间大地坐标系及平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类正如前面所提及的,所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式,即采用什么方法来表示空间位置。
人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在测量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用图2-3来表示：图2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采用大地经、纬度和大地高来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
空间大地坐标系可用图2-4来表示：图2-4空间大地坐标系三、平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。
投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。
在我XX 用的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。
UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。
高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。
从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。
如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切〔此子午线称为中央子午线或轴子午线〕，椭球轴的中心轴CC ’通过椭球中心而与地轴垂直。
高斯投影满足以下两个条件：1、 它是正形投影；2、 中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。
将中央子午线东西各一定经差〔一般为6度或3度〕X 围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如以下图２－５右侧所示。
不同空间直角坐标系的转换
不同空间直角坐标系的转换
欧勒角
不同空间直角坐标系的转换，包括三个坐标轴的平移和坐标轴的旋转，以及两个坐标系的尺度比参数，坐标轴之间的三个旋转角叫欧勒角。
三参数法
三参数坐标转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，轴系间不存在欧勒角的条件下得出的。
实际应用中，因为欧勒角不大，可以用三参数公式近似地进行空间直角坐标系统的转换。
公共点只有一个时,采用三参数公式进行转换。
七参数法
用七参数进行空间直角坐标转换有布尔莎公式，莫洛琴斯基公式和范氏公式等。
下面给出布尔莎七参数公式：
坐标转换多项式回归模型
坐标转换七参数公式属于相似变换模型。
大地控制网中的系统误差一般呈区域性，当区域较小时，区域性的系统误差被相似变换参数拟合，故局部区域的坐标转换采用七参数公式模型是比较适宜的。
但对全国或一个省区范围内的坐标转换，可以采用多项式回归模型，将各区域的系统偏差拟合到回归参数中，从而提高坐标转换精度。
两种不同空间直角坐标系转换时，坐标转换的精度取决于坐标转换的数学模型和求解转换系数的公共点坐标精度，此外，还与公共点的分布有关。
鉴于地面控制网系统误差在⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000111222Z Y X Z Y X Z Y X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000111111222000)1(Z Y X Z Y X Z Y X m Z Y X X Y X Z Y Z εεεεεε
不同区域并非是一个常数，所以采用分区进行坐标转换能更好地反映实际情况，提高坐标转换的精度。
由大地坐标向空间直角坐标的转换的原理
由大地坐标向空间直角坐标的转换的原理
大地坐标与空间直角坐标之间的转换原理是通过地理测量学中的大地坐标系统和空间直角坐标系统之间的数学关系来实现的。
在大地测量中，我们使用经度、纬度和大地高来描述地球表面上的点。
大地测量学中使用的经度是指一个点相对于地球自转轴的角度。
经度的起始点被定义为本初子午线，通常选择通过伦敦的经线作为本初子午线。
经度可取值范围为-180度到+180度。
纬度是指一个点相对于地球赤道面的角度。
纬度的起始点被定义为赤道，赤道的纬度为0度，北纬为正，南纬为负。
大地高是指一个点相对于地球平均海平面的高度。
空间直角坐标系统是使用直角坐标系来描述地球上的点。
在空间直角坐标系中，我们使用三个正交坐标轴来确定一个点的位置，分别是X轴、Y轴和Z轴。
通常，以经度0度、纬度0度、大地高0米的点作为原点。
要将大地坐标转换为空间直角坐标，我们需要进行以下计算：
1. 根据给定的经度和纬度，计算该点的地球半径R。
地球半径通常可以通过现有的地球模型来进行计算或查询相关资料获取。
2. 然后，通过以下公式计算该点相对于X轴、Y轴和Z轴的直角坐标值：
X = (R + H) * cos(纬度) * cos(经度)
H为大地高，e为地球的离心率。
地球的离心率是指地球形状的椭圆度，其数值在0-1之间，可以根据现有的地球模型进行计算。
计算得到的X、Y、Z值即为该点在空间直角坐标系中的坐标值。
通过以上的计算过程，我们可以将大地坐标转换为空间直角坐标。
这种转换过程在地理测量、导航定位等领域有着广泛的应用。
七参数空间直角坐标系坐标转换
七参数空间直角坐标系坐标转换七参数空间直角坐标系坐标转换是一种用于坐标变换的方法，适用于不同坐标系统之间的几何空间数据转换。
该方法通过使用七个参数，将一个空间直角坐标系的坐标值转换为另一个空间直角坐标系的坐标值。
下面我将详细介绍七参数空间直角坐标系坐标转换的原理和步骤。
首先，我们需要了解各个参数的含义。
七参数包括三个平移参数(dx、dy、dz)，三个旋转参数(rx、ry、rz)，以及一个尺度参数(s)。
这些参数被用来描述两者之间的相对位移、旋转和尺度差异。
在进行坐标转换之前，我们需要确定参考坐标系和待转换坐标系之间的关系。
通常，一个参考点在两个坐标系之间进行观测，并且由以参考点为中心的变换可以表示为：X'=s(R*(X-T))其中，X'是待转换坐标系中的坐标，X是参考坐标系中的坐标，s是尺度因子，R是旋转矩阵，T是平移矩阵。
接下来，我们需要通过一组已知的点对来确定这七个参数的值。
通常情况下，我们至少需要三对已知点来确定平移参数和尺度参数；当需要考虑旋转参数时，通常需要更多的已知点对。
这些已知点对可以通过GNSS观测、GNSS/INS组合观测、摄影测量等手段来获取。
一旦我们确定了这七个参数的值，就可以使用它们来进行坐标转换了。
转换的步骤如下：1. 对于待转换的每一个坐标点(X, Y, Z)，将其减去参考点的坐标得到(dx, dy, dz)。
2. 根据旋转参数(rx, ry, rz)，计算旋转矩阵R。
3.计算变换矩阵R*(X-T)得到(X',Y',Z')。
4.使用尺度参数s来调整坐标(X',Y',Z')。
5. 将(X', Y', Z')加上平移参数(dx, dy, dz)得到最终的转换坐标。
需要注意的是，七参数空间直角坐标系转换是一种近似转换方法，它基于一些假设和简化，如刚体变换、平行投影等。
在实际应用中，可能会存在一定的误差。
空间直角坐标系转换参数计算
空间直角坐标转换参数计算
当需要将不同基准（参考椭球）的坐标相互转换时，例如54椭球的坐标转换为WGS－84椭球坐标、或在RTK测量中计算坐标转换参数时，可以利用GS P的空间直角坐标转换功能。
平面坐标平移旋转参见这里
利用GSP可以
•
通过计算两个空间直角坐标系间的转换参数，也可以直接利用转换参数进行坐标转换。
•
•
转换参数计算可以选用布尔莎模型或莫洛金斯基模型，
•
•
可以选用计算出3个平移、3个旋转和1个尺度的7参数或计算3个旋转和1个尺度的4参数模型。
利用3个及以上公共点时，采用最小二乘平差方法按等权方式计算转换参数，同时计算出单位权中误差，及每个转换点的转换误差。
4参数计算，是以第一个点为基准，计算到其他点的坐标增量，然后再计算旋转参数与尺度参数。
布尔莎模型与莫洛金斯基模型转换参数中仅平移参数不同（因旋转中心不同），当然由于计算原因可能出现旋转和尺度参数有微小差异。
莫洛金斯基模型的转换中心采用网的重心。
•
计算时，首先导入或输入公共点的两套空间直角坐标和需要转换的其他点的坐标，公共点的点数需要2个以上，然后在表格中选择公共点为采样点，选择转换参数个数和模型，单击“转换”按钮，GSP将首先计算出转换参数，然后利用转换参数计算转换坐标，并将公共点的转换坐标残差计算出来。
当有转换参数时，可以将转换参数先输入，并选择“使用下列参数转换坐标”
选项，单击“转换”按钮，即可完成坐标的转换工作。
【创新课堂】高考数学总复习 专题07 第6节 空间直角坐标系课件 文
典例分析
题型一 空间中点的坐标的确定 【例1】 设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当 的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标．
解析：(1)c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又|a|＝ 12＋12＋02＝ 2，
|b|＝ －12＋02＋22＝ 5
∴cos〈a·b〉＝|aa|·|bb|＝－
10 10 .
(3)由(2)知|a|＝ 2，|b|＝ 5，a·b＝－1， ∴(ka＋b)·(ka－2b) ＝k2a2－ka·b－2b2 ＝2k2＋k－10＝0.∴k＝2或－52.
4.空间任意两点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)之间的距离|M1M2|= (x 2 . x 1 )2 (y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2
x1 x2
5.空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点M的坐标是( 2 ,
y1 y2 z1 z2
第七单元 立体几何
第六节 空间直角坐标系
知识汇合
一、空间直角坐标系
1.如图所示,在空间取一点O,以点O为原点作三条互相垂直的且有相 同单位长度的数轴,分别称为x轴,y轴,z轴,统称为坐标轴. 这三个坐标 轴中每两条确定一个平面. 分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面,
这样的三条坐标轴就组成了空间坐标系.
8.如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、
空间直角坐标转换
空间直角坐标转换当需要将不同基准（参考椭球）的坐标相互转换时，例如54椭球的坐标转换为WGS －84椭球坐标、或在RTK 测量中计算坐标转换参数时，可以利用工测通软件GSP 的空间直角坐标转换功能。
工测通软件GSP 下载地址： /gspGSP 可以通过计算两个空间直角坐标系间的转换参数，也可以直接利用转换参数进行坐标转换。
转换参数计算可以选用布尔莎模型或莫洛金斯基模型，可以选用计算出3个平移、3个旋转和1个尺度的7参数或计算3个旋转和1个尺度的4参数模型。
计算时，首先导入或输入公共点的两套空间直角坐标和需要转换的其他点的坐标，公共点的点数需要2个以上，然后在表格中选择公共点为，选择转换参数个数和模型： 技术细节 1) 利用3个及以上公共点时，采用最小二乘平差方法按等权方式计算转换参数，同时计算出单位权中误差，及每个转换点的转换误差。
2) 4参数计算，是以第一个点为基准，计算到其他点的坐标增量，然后再计算旋转参数与尺度参数。
3) 布尔莎模型与莫洛金斯基模型转换参数中仅平移参数不同（因旋转中心不同），当然由于计算原因可能出现旋转和尺度参数有微小差异。
4) 莫洛金斯基模型的转换中心采用网的重心。
单击，GSP将首先计算出转换参数，然后利用转换参数计算转换坐标，并将公共点的转换坐标残差计算出来。
提示：1)如果是大地坐标请利用GSP转换成空间直角坐标。
2)在RTK测量中计算7参数时，可以先将地面平面坐标转换为大地坐标，采用正常高代替大地高，再转换成空间直角坐标，然后进行转换参数计算，对WGS－84坐标进行转换后将会是正常高结果。
当有转换参数时，可以将转换参数先输入，并选择，然后单击，即可完成坐标的转换工作。
高考文科数学一轮复习课件——第6节 空间直角坐标系
︱高中总复习︱一轮·文数
(2)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为
.
解析:(2)设 B 的坐标为(0,0,z).
|AB|= 2 02 3 02 4 z2
= z 42 13 ,
因为|AB|=7,所以 z 42 13 =7,
y轴
(-x,y,-z)
z轴
(-x,-y,z)
坐标平面xOy
(x,y,-z)
坐标平面yOz
(-x,y,z)
坐标平面xOz
(x,-y,z)
︱高中总复习︱一轮·文数
对点自测
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( C )
(A)y轴上
(B)xOy平面内
(C)xOz平面内 (D)yOz平面内
解析:由点的坐标的特征可得该点在xOz平面内.
(1)空间直角坐标系
以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说
建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做 坐标原点 ,x轴、y轴、z
轴叫做 坐标轴 ,通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面 .
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,
︱高中总复习︱一轮·文数
【跟踪训练2】 空间直角坐标系中,设A(1,2,a),B(2,3,4),若|AB|= 数a的值是( ) (A)3或5 (B)-3或-5 (C)3或-5 (D)-3或5
3 ,则实
解析:因为 A(1,2,a),B(2,3,4),|AB|= 3 , 所以(2-1)2+(3-2)2+(4-a)2=3, 即(a-4)2=1, 所以 a=3 或 5.故选 A.
「空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式」
「空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式」空间大地坐标系（也称为地理坐标系）和平面直角坐标系（也称为笛卡尔坐标系）之间的转换公式是用于将地球表面上的点的经纬度（或大地坐标）转换为平面直角坐标系中的x、y、z值（或直角坐标）。
这两种坐标系的转换是地理信息系统（GIS）和测量工程中必不可少的一项基础工作。
下面将详细介绍这两种坐标系的特点以及它们之间的转换公式。
一、空间大地坐标系空间大地坐标系是以地球为基准的一种坐标系，用于描述地球表面上的点的位置。
空间大地坐标系是由经度、纬度和高程三个参数确定的，它们分别表示一个点在地球上的经度、纬度和高程（相对于一个参考椭球面）。
经度是指一个点与本初子午线（通常取格林尼治子午线）之间的夹角，可以用度、分、秒（DMS）或小数度（DD）表示；纬度是指一个点与赤道之间的夹角，同样可以用DMS或DD表示；高程是指一个点相对于参考椭球面的高度。
二、平面直角坐标系平面直角坐标系是由直角坐标系的一个特例，它在平面上使用x和y 两个参数来表示一个点的位置。
平面直角坐标系中，原点通常是一个叫做“地理坐标系原点”的基准点，x轴和y轴分别与参考坐标系的经度和纬度方向相对应。
这样，一个点在平面直角坐标系中的位置就可以用x和y 坐标值表示。
三、空间大地坐标系与平面直角坐标系的转换公式空间大地坐标系与平面直角坐标系之间的转换可分为大地坐标到直角坐标的转换和直角坐标到大地坐标的转换两个方向。
这里，我们主要关注大地坐标到直角坐标的转换过程。
大地坐标到直角坐标的转换公式如下：1.计算参考椭球面的参数首先，需要确定参考椭球面的参数，包括椭球长半轴a、扁率f以及椭球表面上任意一点的第一偏心率e。
这些参数通常可以从现有的地理坐标系参数库中获取。
2.计算大地坐标到空间直角坐标的转换设待转换的点在大地坐标系下的经度、纬度、高程分别为(λ,φ,H)，则转换公式如下：X = (N + H) * cosφ * cosλY = (N + H) * cosφ * sinλZ = (N * (1 - e²) + H) * sinφ其中，N是参考椭球面上其中一点的曲率半径，由以下公式计算得到：N = a / (1 - e² * sin²φ)² 的平方根通过这些公式，可以将一个点从大地坐标系转换为平面直角坐标系中的x、y、z值。
第6-1节(空间直角坐标系、向量及其运算
江西理工大学理学院第 六 章 向量代数与 空间解析几何江西理工大学理学院第 1 节 空间直角坐标系 向量及其运算江西理工大学理学院数轴上的点与数 x具有一一对应的关系。
平面直角坐标系使我们建立了平面上的点( x , y ) 与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究。
为了沟通空间图形与数的研究，我们用类 似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角 坐标系来实现。
江西理工大学理学院一、空间点的直角坐标三个坐标轴的正方向 符合右手系.即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指从z 竖轴π 正向 x 轴以 角 2定点 o•y 纵轴度转向正向 y 轴时， 横轴 x 大拇指的指向就是 z 空间直角坐标系 轴的正向.注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感通 常把 x 轴和 y轴间的夹角画成 130 0 左右。
江西理工大学理学院Ⅲzzox 面Ⅱyoz 面Ⅳxoy 面Ⅶ ⅧoyⅥ ⅤⅠx空间直角坐标系共有八个卦限江西理工大学理学院⎯ 空间的点 ←⎯ → 有序数组 ( x , y , z )特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C ,1− −1O ( 0, 0, 0 )B ( 0, y , z )•zR ( 0, 0, z )C ( x , o, z )M ( x, y, z )o xP ( x , 0 ,0 )Q ( 0 , y ,0 )yA( x , y ,0)江西理工大学理学院）各坐标面；（ 2 ）各坐 例1 求点 ( a , b, c )关于（1 标轴；（3 ）坐标原点的对称点的 坐标。
解 (1)点( a , b , c )关于 xOy 面的对称点是 ( a , b ,− c );关于 yOz 面的对称点是 ( − a , b , c ); 关于 zOx 面的对称点是 ( a ,− b , c );( 2 )点( a , b , c )关于 x轴的对称点是 ( a ,− b ,− c ); 关于 y轴的对称点是 ( − a , b ,− c ); 关于 z轴的对 称点是 ( − a ,− b , c ); ( 3 )点( a , b , c )关于原点的对称点是 ( − a ,− b ,− c );江西理工大学理学院二、空间两点间的距离设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点zR• M2M1d = M1 M 2 = ?•Po x2在直角 ∆M 1 NM 2 Q 及 直 角 ∆M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知2 2d = M 1 P + PN + NM 2 ,2江西理工大学理学院Q M 1 P = x2 − x1 , PN = y2 − y1 , NM 2 = z2 − z1 ,zR• M2M1 •Po x2 2Q Ny∴d =M 1 P + PN + NM 222M1 M 2 =( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) .2 2空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O ( 0,0,0)d = OM = x 2 + y 2 + z 2 .江西理工大学理学院例 2 求证以 M 1 (4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 M1 M 22(7 − 4)2 + (1 − 3)2 + ( 2 − 1)2 = 14, =M 2 M 3 = (5 − 7)2 + ( 2 − 1)2 + ( 3 − 2)2 = 6,2M 3 M1 =2(4 − 5)2 + ( 3 − 2)2 + (1 − 3)2 = 6,∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,原结论成立.。
简述两个空间直角坐标系统七参数转换步骤
简述两个空间直角坐标系统七参数转换步骤空间直角坐标系统的七参数转换步骤指的是将两个不同的空间直角坐标系统进行参数化，从而实现坐标转换的过程。
使用精确的七参数转换可以确保坐标系之间的转换可靠、准确，这对地理信息系统、机器人系统、导航系统等应用非常重要。
一般而言，空间直角坐标系统的七参数转换步骤是通过三维旋转变换、平移变换和缩放变换实现的，根据空间直角坐标系统的七参数转换步骤的不同，可以简要分为以下几个步骤：第一步，在将坐标从一个系统转换到另一个系统之前，需要先设置好转换参数，包括旋转角度、平移距离、缩放尺度等。
第二步，将原始坐标值以及转换参数输入到算法中，算法会将原始坐标值进行旋转变换，以实现坐标系的旋转变换，从而获得新的坐标值。
第三步，继续将新的坐标值进行平移变换，从而实现坐标系的平移变换，从而获得更新的坐标值。
第四步，再次将最新的坐标值进行缩放变换，以实现坐标系的缩放变换，从而获得最新的坐标值。
第五步，将最新的坐标值输出，完成整个七参数转换步骤。
从上面可以看出，空间直角坐标系统的七参数转换步骤需要在实现转换之前先设置好转换参数，然后再进行三维旋转变换、平移变换和缩放变换，以实现坐标转换。
在实际应用中，可以根据两个不同的空间直角坐标系之间的位置关系和空间参考模型确定转换参数，使用七参数转换可以确保坐标系之间的转换可靠、准确，这对无人机、地理信息系统以及其他相关应用尤为重要。
当前，空间直角坐标系统七参数转换所使用的算法越来越复杂，计算速度也越来越快，可以满足不同应用领域的实际需求。
此外，传统的空间直角坐标系统转换算法也在不断完善和更新，以便更好地满足实际应用需求。
总之，空间直角坐标系统的七参数转换步骤是由三维旋转变换、平移变换和缩放变换三个步骤完成的，最后输出更新的坐标值，可以确保坐标系之间的转换可靠、准确，且可以满足不同应用领域实际需求。
大地坐标系与空间直角坐标系的相互转换公式
大地坐标系与空间直角坐标系的相互转换公式概述大地坐标系和空间直角坐标系是地理信息系统中两种常用的坐标系。
大地坐标系主要用于描述地球上点的位置，而空间直角坐标系则是使用笛卡尔坐标系的三维空间中的坐标来表示点的位置。
在地理信息系统中，需要经常进行大地坐标系和空间直角坐标系之间的转换，以便在不同的坐标系统之间进行数据交互和分析。
大地坐标系大地坐标系是一种基于地球椭球体的坐标系统，常用来描述地球上点的位置。
一般采用经度（longitude）、纬度（latitude）和高程（elevation）来表示点在地球表面的位置。
经度表示点在东经或西经的位置，纬度表示点在北纬或南纬的位置，高程表示点相对于海平面的高度。
大地坐标系中经度的表示方式有多种，常见的有度分秒制和十进制制。
而纬度则一般用度制表示。
对于高程的表示方式，通常使用米作为单位。
空间直角坐标系空间直角坐标系是使用笛卡尔坐标系的三维空间中的坐标来表示点的位置。
在空间直角坐标系中，每个点的位置由三个数值组成，分别表示点在X轴、Y轴和Z轴方向上的位置。
这三个数值通常以米为单位。
空间直角坐标系中的原点可以选择任意位置，常见的有地心、地心地固、地心地独立三种坐标系。
地心坐标系以地球质心为原点，地心地固坐标系以地球上某一固定点为原点，地心地独立坐标系则是相对于地轴的一个旋转坐标系。
大地坐标系到空间直角坐标系的转换将大地坐标系中的点转换为空间直角坐标系中的点需要使用转换公式。
常用的转换方法有大地测量学和地心测量学两种。
### 大地测量学方法大地测量学方法中，将地球近似为椭球体，利用椭球体的形状参数和点的大地坐标来进行转换。
该方法的核心思想是通过计算点在曲线面上的法线方向，将大地坐标系的点转换为空间直角坐标系的点。
### 地心测量学方法地心测量学方法中，将地球近似为球体，并以地球质心或地球上某一固定点为原点。
该方法利用球面三角学的原理，根据点的经纬度和高程来进行转换。
第六节 空间直角坐标系及空间向量的线性运算(知识梳理)
第六节空间直角坐标系及空间向量的线性运算复习目标学法指导1.会确定空间点的坐标.2.会求直线方向向量及平面法向量.3.会进行空间向量的几何运算及代数运算.4.会进行空间向量的数量积及坐标运算. 1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个数组成的有序数组.2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,平面的法向量与平面上的任何直线都垂直.3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量类似.4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达直线、平面位置关系.一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x 轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M 的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标. 2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式①设点A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则②点P(x,y,z)与坐标原点O 之间的距离为 .(2)中点公式设点P(x,y,z)为线段P 1P 2的中点,其中P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则有121212,2,2.2x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩3.空间向量的有关概念向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 a∥b共面向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量概念理解(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称ABu u u r为直线l的方向向量,与ABu u u r平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为0,0.n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ (4)共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b ≠0. (5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量. 二、数量积与坐标运算 1.数量积及相关概念(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA u u u r =a,OB u u u r=b,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=π2,则称向量a 与b 互相垂直,记作a ⊥b.若<a,b>=0,则称向量a 与b 同向共线,若<a,b>=π,则称向量a 与b 反向共线. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b 的数量积,记作 a ·b,即a ·b=|a||b|cos<a,b>. 2.两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量a 和b.(1)a ·e=|a|cos<a,e>(其中e 为单位向量). (2)a ⊥b ⇔a ·b=0. (3)cos<a,b>=a b a b⋅.(4)a 2=a ·a=|a|2,|a|=.(5)|a ·b|≤|a||b|.3.空间向量数量积的运算律 (1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a ·b).(2)交换律:a ·b=b ·a.(3)分配律:a ·(b+c)=a ·b+a·c. 4.向量坐标的定义设i,j,k 为空间三个两两垂直的单位向量,如果OP u u u r=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量OP u u u r的坐标. 5.空间向量运算的坐标表示 设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),那么(1)加、减运算:a ±b=(x 1±x 2,y 1±y 2,z 1±z 2). (2)数量积:a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. (3)夹角公式:cos<a,b>=121212222222111222x y z x y z ++++.(4)模长公式:|a|=a a ⋅=222111x y z ++.(5)数乘运算:λa=(λx 1,λy 1,λz 1)(λ∈R).(6)平行的充要条件:a ∥b ⇔x 1=λx 2,y 1=λy 2,z 1=λz 2(λ∈R). (7)垂直的充要条件:a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.1.概念理解(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致. (3)向量OP u u u r的坐标是终点坐标减去起点坐标.(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.2.与数量积及坐标运算相关联的结论(1)aa表示单位向量.(2)|a|2=a·a.(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG u u u r=2xABu u u r+3yBCu u u r+3zHDu u u r,则x+y+z等于( D )(A)76(B)23(C)56(D)12解析:因为AG u u u r=AB u u u r+BC u u u r-HD u u u r,所以21,31,31,xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以1,21,31,3xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以x+y+z=12.故选D.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB u u u r,AD u u u r,1AAu u u r两两的夹角均为60°,且|AB u u u r|=1,|AD u u u r|=2,|1AAu u u r|=3,则|1ACu u u u r|等于( A )(A)5 (B)6 (C)4 (D)8解析:设AB u u u r=a,AD u u u r=b,1AAu u u r=c,则1ACu u u u r=a+b+c,21ACu u u u r=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|1ACu u u u r|=5.故选A.3.在空间四边形ABCD中,AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r +AD u u u r·BC u u u r等于( B )(A)-1 (B)0(C)1 (D)不确定解析:如图,令AB u u u r=a,AC u u u r=b,AD u u u r=c,则AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r+AD u u u r·BC u u u r=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.考点一空间直角坐标系[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|= ;点A到坐标平面yOz的距离是.解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,得|OA|=()()()222-+-+-=3.102020因为A(1,2,2),所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.答案:3 1(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy (x,y,-z)坐标平面yOz (-x,y,z)坐标平面zOx (x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度;②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为( A )(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.考点二空间向量的线性运算[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重u u u u r.心,用基向量OA u u u r,OB u u u r,OC u u u r表示OG u u u r,MG解:OG u u u r =OA u u u r +AG u u u r=OA u u u r +23AN u u u r=OA u u u r +23(ON u u u r -OA u u u r)=OA u u u r+23[12(OB u u u r +OC u u u r )-OA u u u r]=13OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. MG u u u u r =OG u u u r -OM u u u u r=OG u u u r -12OA u u u r=13OA u u u r +13OB u u u r +13OC u u u r -12OA u u u r=-16OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示OG u u u r ,MG u u u u r等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N 分别是对边OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且分MN 所成的比为2,现用基向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示向量OG u u u r ,设OG u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r+z OCu u u r ,则x,y,z 的值分别是( D ) (A)x=13,y=13,z=13(B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=13解析:设OA u u u r =a,OB u u u r =b,OC u u u r=c, 因为G 分MN 所成的比为2,所以MG u u u u r =23MN u u u u r, 所以OG u u u r=OM u u u u r +MG u u u u r =OM u u u u r +23(ON u u u r -OM u u u u r) =12a+23(12b+12c-12a) =12a+13b+13c-13a =16a+13b+13c, 即x=16,y=13,z=13. 考点三 空间向量的数量积与坐标运算[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB u u u r ,b=AC u u u r,(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b 与ka-2b 互相垂直,求k 的值.解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB u u u r,b=AC u u u r,所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2). (1)cos θ=a b a b⋅=10025-++⨯=-1010,所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-1010.解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 解得k=-52或k=2. (1)求空间向量数量积的方法①定义法.设向量a,b 的夹角为θ,则a ·b=|a||b|cos θ; ②坐标法.设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. ③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算. (2)数量积的应用①求夹角.设非零向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a b a b⋅,进而可求两异面直线所成的角;②求长度(距离).运用公式|a|2=a ·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;③解决垂直问题.利用a ⊥b ⇔a ·b=0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD 中,E,F 分别为直线AB,CD 上的动点,且3若记EF 中点P 的轨迹为L,则|L|等于 .(注:|L|表示L 的测度,在本题,L 为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积)解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,设E(0,y 1,y 1),F(2,y 2,2-y 2),P(x,y,z),|EF|=()()()222121222yy y y +-+-+=3,即(y 1-y 2)2+(y 1+y 2-2)2=1,又12122,22x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩即121222,2x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪+-⎪⎪⎩代入上式得2222=1,即2)22)2=14,即P 的轨迹为半径为12的圆,周长为|L|=2πr=π. 答案:π2.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,M为BC 的中点,则△AMD 是( C )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:因为M 为BC 的中点, 所以AM u u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r).所以AM u u u u r·AD u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r )·AD u u u r=12AB u u u r·AD u u u r +12AC u u u r ·AD u u u r=0.所以AM ⊥AD,即△AMD 为直角三角形. 考点四 易错辨析[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(32,12,0),点D 在平面yOz 内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求OD u u u r的坐标;(2)设AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,求cos θ的值.解:(1)如图所示,过D 作DE ⊥BC,垂足为E.在Rt △DCB 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3.所以DE=CDsin 30°3.OE=OB-BDcos 60°=1-12=12.所以D 点坐标为(0,-12,3),即OD u u u r的坐标为(0,-12,3).解:(2)依题意,OA u u u r=(3, 12,0), OB u u u r =(0,-1,0), OC u u u r=(0,1,0),所以AD u u u r =OD u u u r -OA u u u r=(-3,-1,3),BC u u u r =OC u u u r -OB u u u r=(0,2,0).由AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,得 cos θ=AD BC AD BC⋅u u u r u u u ru u u r u u u r=()()2222223301202233102022-⨯+-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫-+-+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-10.所以cos θ=-10.解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误. (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.类型一 空间直角坐标系1.在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,设OA u u u r=a, OB u u u r=b,OC u u u r =c,则OD u u u r可表示为(A )(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a (D)a+c-2b 解析:因为OA u u u r=a,OB u u u r=b,OC u u u r=c,在▱ABCD 中,BA u u u r =OA u u u r -OB u u u r =a-b,OD u u u r - OC u u u r =CD u u u r =BA u u u r=a-b, 所以OD u u u r=OC u u u r+CD u u u r =a-b+c.故选A.2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r +z OC u u u r(x,y,z ∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的( B ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:当x=2,y=-3,z=2时, 即OP u u u r=2OA u u u r-3OB u u u r+2OC u u u r.则AP u u u r -AO u u u r =2OA u u u r -3(AB u u u r -AO u u u r )+2(AC u u u r -AO u u u r), 即AP u u u r=-3AB u u u r +2AC u u u r,根据共面向量定理知,P,A,B,C 四点共面; 反之,当P,A,B,C 四点共面时,根据共面向量定理, 设AP u u u r =m AB u u u r +n AC u u u r(m,n ∈R), 即OP u u u r-OA u u u r=m(OB u u u r-OA u u u r)+n(OC u u u r-OA u u u r), 即OP u u u r=(1-m-n)OA u u u r+m OB u u u r+n OC u u u r,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件.故选B.3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a ⊥b,则|b|= . 解析:因为a ⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2, 故|b|=()222422-++=26.答案:26类型二 空间向量线性运算4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r化简后的结果是( A )(A)1BD u u u u r (B)1D B u u u u r (C)1B D u u u u r (D)1DB u u u u r解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r =BA u u u r +BC u u u r +1BB u u u r =1BD u u u u r,故选A.类型三 空间向量数量积及坐标运算5.点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA u u u r·1PC u u u u r 的取值范围是(D )(A)[-1,-14] (B)[-12,-14] (C)[-1,0] (D)[-12,0] 解析:如图,以D 1为原点,以D 1C 1,D 1A 1,D 1D 方向为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C 1(1,0,0),P(x,y,0), PA u u u r=(-x,1-y,1),1PC u u u u r=(1-x,-y,0), PA u u u r ·1PC u u u u r =(x-12)2+(y-12)2-12,(其中0≤x ≤1,0≤y ≤1),所以PA u u u r ·1PC u u u u r的取值范围是[-12,0].故选D.6.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E,F 分别是BC,AD 的中点,则AE u u u r ·AF u u u r 的值为( C )(A)a 2 (B)12a 2 (C)14a 2(a 2解析:AE u u u r ·AF u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r)·12AD u u u r =14(AB u u u r ·AD u u u r +AC u u u r ·AD u u u r)=14(a 2cos 60°+a 2cos 60°)=14a 2.故选C. 7.在四棱锥P-ABCD 中,AB u u u r =(4,-2,3),AD u u u r=(-4,1,0),AP u u u r=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于( B )(A)1 (B)2 (C)13 (D)26解析:设平面ABCD 的法向量为n=(x,y,z),则,,n AB n AD ⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r ⊥⊥⇒4230,40,x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令y=4,则n=(1,4,43), 则h=n AP n⋅u u u r=326833-+-=2.故选B.8.OA u u u r=(1,2,3),OB u u u r=(2,1,2),OP u u u r=(1,1,2)(其中O 为坐标原点),点Q 在OP 上运动,当QA u u u r ·QB u u u r取最小值时,点Q 的坐标为( C )(A)( 12,34,13) (B)( 12,23,34) (C)( 43,43,83) (D)( 43,43,73) 解析:设OQ u u u r =λOP u u u r=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ), 则QA u u u r=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB u u u r=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA u u u r ·QB u u u r=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6(λ-43)2-23.当λ=43时,QA u u u r ·QB u u u r取得最小值,此时Q(43,43,83).故选C.9.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,则△BCD是( B )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:BC u u u r ·BC u u u r =(AD u u u r -AB u u u r )·(AC u u u r -AB u u u r) =AD u u u r ·AC u u u r -AD u u u r ·AB u u u r -AB u u u r ·AC u u u r +2AB u u u r =2AB u u u r >0,所以cos ∠DBC>0,∠DBC 为锐角, 同理∠BDC,∠BCD 为锐角. 所以△BCD 为锐角三角形,故选B.。
空间直角坐标系和极坐标系的转化
空间直角坐标系和极坐标系的转化简介空间直角坐标系和极坐标系是数学中两种常见的坐标系。
直角坐标系使用直角坐标表示点的位置，而极坐标系则使用极径和极角表示点的位置。
在某些情况下，我们需要将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系。
本文将介绍空间直角坐标系和极坐标系之间的转化方法。
空间直角坐标系空间直角坐标系是我们通常使用的坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴组成，分别表示x、y和z轴。
若一个点在空间直角坐标系中的坐标为(x, y, z)，则x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影，z表示点在z轴上的投影。
在空间直角坐标系中，点的位置可以通过三个坐标值确定，是一种三维坐标系。
极坐标系极坐标系是使用极径和极角来表示点的位置的一种坐标系。
在二维平面中，如果一个点距离原点的距离为r，与正x轴的夹角为θ，则该点的极坐标为(r, θ)。
极径表示点到原点的距离，极角表示点的方向。
在三维空间中，用极径r和两个角度θ和φ分别表示点在垂直于x-y平面的球面上的位置。
一个点的极坐标为(r, θ, φ)。
空间直角坐标系到极坐标系的转化将空间直角坐标系中表示点的坐标(x, y, z)转化为极坐标系中的坐标(r, θ, φ)。
转化过程如下：1.计算极径r的值： r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)2.计算极角θ的值：θ = atan(y / x)3.计算极角φ的值：φ = acos(z / r)通过以上步骤，可以将空间直角坐标系中的点的坐标转化为极坐标系中的坐标。
极坐标系到空间直角坐标系的转化将极坐标系中表示点的坐标(r, θ, φ)转化为空间直角坐标系中的坐标(x, y, z)。
转化过程如下：1.计算x的值：x = r * sin(φ) * cos(θ)2.计算y的值：y = r * sin(φ) * sin(θ)3.计算z的值：z = r * cos(φ)通过以上步骤，可以将极坐标系中的点的坐标转化为空间直角坐标系中的坐标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三步把S X Y Z 绕Z 轴(在平面X Y内)
角，于是 SX 转到 x 轴，SY 转到 y 轴，
( z Z 已经与 轴重合了)，此时旋转矩阵和坐标
转换为
cos R sin
sin cos
0 0
X Y
R
•
x y
0
0 1 Z
f
第四步把前三步公式综合，坐标转换为
tan a3 / c3
sin b3
tan b1 / b2
tan ' sin '
b3 / c3 a3
tan 'a2/ Nhomakorabeaa1
tan A a3 / b3
cos c3
tan c1 / c2
x0
y0
反算式为：
x'
y'
A
x y
x0 y0
y y'
a
x0 o
x'
y0
x
其中为原点在坐标系中的坐标值，即坐标原点 的平移量。
空间直角坐标变换
如图，设像空间直角坐标系 S xyz 与地面摄
影测量坐标系统 D X Y tp tpZtp ，两个坐标系原点 不重合，坐标轴不平行。像空间辅助坐标系统
S XYZ 的坐标轴与D X Y tp tpZtp 的轴平行，
但原点不重合。 S 到xyz S 的XY转Z 换只是旋
转问题。再把原点S平移到D就完成了
到 S xyz 的转换 D X Ytp tpZtp 的转换的过程
是：
第一步绕Y轴(在XZ平面内)转φ角，此时旋转 矩阵和坐标转换为
，
cos 0 sin
本节主要内容
1、核心詞：坐标转换 2、由像平面坐标系到像空间辅助坐标的转换。 （本节重点内容） 3、旋转矩阵的构成：特点或特性；构成方法。
2.3空间直角坐标变换
坐标变换的目的和意义
❖目大地测量中坐标变换的意义：为了更好地利用已有大
地测量成果、GPS测量成果。在不同的时期，不同的国家， 不同地区应用不同的参考椭球，不同的坐标系统。在每种 参考椭球中都有不同的坐标系统，为了最大限度的利用已 有资料和多时性数据的地理参考的统一，于是就存在新、 旧椭球内部坐标系的坐标转换和新、旧椭球之间坐标系的 坐标转换。各坐标系统之间转换参数精度直接影响转换成 果的质量，因此研究坐标转换及参数的确定有重要的意义。
a1 cos
a2 cos(90 ) sin
b1 cos(90 ) sin
b2 cos
则转换关系变为 xy
cos
sin
sin x'
cos
y'
上述公式适用于共同原点的两像平面坐标系间坐 标的相互变换。坐标原点不同时，则像点的平面 坐标变换关系可表示为
x
y
A
x' y'
a1 a2 a3
R b1
b2
b2
c1 c2 c3
R矩阵的性质
1、R是正交矩阵。即行、列、对角线元素平方和为 “1”,行列式的值是“1”。
2、正交矩阵的逆矩阵是它本身的转置即 R1 RT。
3、R矩阵的9个元素中只有3个是独立的，是三个旋转 角的函数。 4、无论采用坐标系统如何(旋转参数不同)，但R是不 变的。因为其转换关系是唯一确定的。所以有课本上 2-10的公式。
❖在解析摄影测量中，核心问题就是利用像点坐标计算相
应的地面点坐标，是平面到空间的解析，就是不同坐标系 统之间的关系(称为坐标转换或变换)。
空间直角坐标变换－2
❖工程测量中，施工坐标和国家坐标统一，也用到坐标
变换 。
❖几何坐标和栅格坐标也存在着坐标变换的问题 。
平面坐标
三维坐标
二维直角坐标变换
直接根据数学公式的变换原理
X
x
x a1 a2 a3 x
Y
R
R
R
•
y
R
•
y
b1
b2
b2
•
y
Z
f
f c1 c2 c3 f
R矩阵中的九个元素为
a1 cos cos sin sin sin
bbcccaa1132232
cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos cos
设某点a在两个坐
y'
y
a
标系统的坐标分别为
和(x, y) (x'。, y' )两者的关系
只存在轴系的旋转变换， 其数学表达式为：
x x'
y
A
y
'
x'
x
其中A
a1 b1
a2 b2
cos cos
xˆx' yˆx'
cos cos
xˆy' yˆy'
叫旋转矩阵
矩阵元素是第一坐标系轴分别与第二坐标系轴夹 角的余旋，是轴分别与轴夹角的余旋。
R
0
1
0
X
X
Y
R
•
Y
sin 0 cos Z
Z
第二步把 S X Y Z 绕 X 轴(在平面 Y Z 内)
角，于是SZ 转到 SZ ，SY 转到 SY ，此时旋 转矩阵和坐标转换为
1 R 0
0
0
cos sin
0
sin
cos
X Y
R
•
X Y
Z
Z